Nombre d'échantillons de 32 joursα

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

C

Figure 3-28 : Résultats du DTM spatio-temporelle réalisée sur plusieurs sous échantillons. Les chiffres 25,30,35,40 de la légende représentent les moyenne effectuées respectivement sur les 25, 30 35 et 40 premières valeurs des moments dans la première étape du DTM

Pour étudier ce comportement et le comparer à celui de plusieurs études à échantillon unique, nous avons considéré le cas de plusieurs échantillons consécutifs de 32 valeurs de même rang pour toutes les séries considérées (bien sûr dans la direction temporelle) et pour chaque échantillon, nous avons déroulé le DTM spatio-temporel. Pour fixer les idées, on considère les 190 séries retenues et on prélève un premier (échantillon 1) échantillon du 1 Janvier 1997 au 1 Février 1997 sur lequel on applique la technique du DTM. L’échantillon 2 (du 2 Février 1997 au 5 Mars 1997) subit le même processus ainsi de suite jusqu’au 40ième

Sur cette figure, nous avons mis en évidence les fluctuations en fonction de la position des échantillons dans les séries. On voit que les résultats du DTM dépendent très franchement de cette position.

Nous avons par ailleurs fait apparaître sur cette figure les moyennes réalisées sur les 25, 30, 35, 40 premiers échantillons respectivement. Ces moyennes sont sensiblement identiques, contrairement à la prise en compte de 25, 30, 35, 40 échantillons directement dans le calcul du DTM depuis la première étape de la technique. Ceci nous interpelle sur la démarche à adopter quant à la prise en compte de l’intégralité (ou presque) de la taille des série dont-on dispose : faudrait-il considérer n échantillons consécutifs de m valeurs dans un même processus de DTM pour en sortir une valeur unique (comme valeur moyenne) ou au contraire, faudrait-il réaliser séparément n DTM sur des échantillons consécutifs de m valeurs et prendre la valeur moyenne des valeurs obtenues ? Cette question devrait s’adresser également à l’analyse temporelle dans laquelle nous considérons plusieurs échantillons.

Il serait intéressant de voir l’influence des zéros sur ces différentes analyses, éléments de poids forts (événements extrêmes). Nous ne nous attardons pas sur cette partie, aussi, nous contentons nous de faire remarquer que l’influence d’un événement extrême devrait jouer énormément dans la contribution totale, car sa contribution à la moyenne des moments est forcément élevée puisque étant contribution en puissance (puissances positives). Ces éléments de poids fort suffisent à modifier assez sensiblement la contribution de l’ensemble au point même de masquer les effets des petites contributions. C’est précisément ce que nous observons dans le cas des analyses avec un certain nombre d’échantillons. En effet, en considérant un certain nombre d’échantillons et en prenant la moyenne des moments sur ce nombre d’échantillons avant la deuxième partie du DTM, les moments des échantillons comportant des valeurs fortes sont suffisamment dominants au point d’imposer leurs seules contributions. Il s’agit donc d’un effet de masque de ces quelques valeurs, qui ne nous permet pas d’apprécier la physique d’ensemble du phénomène. C’est la raison pour laquelle nous optons pour la deuxième solution, celle qui consiste à dérouler entièrement le DTM sur chacun des échantillons consécutifs, puis à prendre la moyenne sur les valeurs trouvées. Le résultat de l’analyse spatio-temporelle (moyenne sur 40 échantillons) est présenté dans le tableau 3-5.

Tableau 3-5 Résultats de l’analyse spatio-temporelle sur échantillons consécutifs de taille 32 N° Alpha C1 1 0.493 0.495 2 0.911 0.334 3 0.753 0.49 4 0.514 0.377 5 0.827 0.332 6 0.899 0.252 7 0.557 0.474 8 0.593 0.418 9 0.99 0.315 10 1.091 0.253 11 1.439 0.178 12 1.077 0.171 13 0.864 0.411 14 0.63 0.303 N° Alpha C1 15 0.928 0.163 16 0.768 0.345 17 1.237 0.233 18 0.898 0.307 19 0.708 0.413 20 1.471 0.172 21 1.058 0.181 22 0.729 0.241 23 1.197 0.228 24 1.357 0.24 25 1.658 0.17 26 1.047 0.261 27 1.157 0.177 28 0.797 0.268 N° Alpha C1 29 0.816 0.333 30 0.829 0.274 31 0.8 0.362 32 1.185 0.25 33 1.139 0.247 34 0.703 0.216 35 1.199 0.269 36 0.941 0.179 37 0.632 0.291 38 1.017 0.177 39 0.894 0.25 40 0.66 0.364 Moy. 0.937±0.3 0.285±0.1

3.5- Conclusion

L’analyse multifractale par la méthode du DTM, conduite sur les champs de précipitations représentés ici par les bases PRECIP et du Doubs a permis de déterminer les caractéristiques multifractales des champs de pluies tant dans le cas temporel que spatial mais aussi spatio-temporel. La principale caractéristique déterminée à l’issue de ces analyses est la scalance qui s’étend sur une plage allant de 3 heures à 1 mois dans le cas temporel et d’une trentaine de kilomètres à un millier de kilomètres dans le cas spatial. Cette analyse a consisté à déterminer les paramètres α et C1 dans les cas temporel, spatial et aussi spatio-temporel,

paramètres qui vont permettre la mise en place du modèle de désagrégation spatio-temporelle dont il sera question dans le chapitre suivant.

Les plages d'invariance d'échelle ainsi que les valeurs des paramètres caractéristiques déterminés sont en accord avec ce que prévoit la théorie et sont proches des valeurs trouvées pour d’autres études menées dans le cas d'analyses multifractales de champs de précipitations.

Par ailleurs, les plages d'invariance d'échelle englobent les échelles de GCM ( Prévision d’un mois sur une grille spatiale de l’ordre de 250×250 km), ce qui nous permet de confirmer a fortiori l’utilisation des approches multifractales pour la désagrégation des champs de précipitation. A remarquer enfin que l'analyse sommaire des données GCM révèle un comportement multifractal acceptable pour ces données. En effet, ces données présentent une invariance d'échelle qui confirme ce qui a été déterminé à partir des valeurs journalières, mais aussi des paramètres multifractals α et C1 acceptables, ce qui conforte l'idée de l'utilisation

des résultats du GCM dans le modèle de désagrégation.

Dans le chapitre suivant, nous discutons la mise en place du modèle de désagrégation spatio-temporelle utilisant les cascades multifractales.

4- Le modèle

Dans ce chapitre, nous construisons le modèle de désagrégation, en nous basant sur les cascades multifractales. La construction d’une cascade multifractale repose sur la définition de deux opérateurs à savoir : un générateur de structures physiques qui permet le découpage de la structure initiale en sous structures et un générateur de variables aléatoires indépendantes qui permet d’attribuer des intensités ou énergies aux sous structures obtenues. Nous avons présenté les différents types de cascades, dans le chapitre 2, à partir des générateurs de structures physiques. Nous discutons dans ce chapitre de la construction des cascades dans chacun des deux cas. Si la construction des cascades dans le cas discret se déroule sous forme d’une itération d’un processus combinant distinctement les deux générateurs (de structures et de variables aléatoires), les cascades continues, elles, combinent étroitement ces deux générateurs, non pas de façon séparée, puisque cet ensemble est englobé dans un processus d’aller retour de l’espace de Fourier à l’espace physique.