Pour cette analyse, nous avons considéré seulement des séries journalières. L’objectif est de faire des coupes spatiales (chaque coupe correspond à un jour) présentant le moins d’anomalies possibles (nous entendons par anomalies tous les défauts de la base que nous avons décrit ci dessus). Ainsi, nous avons choisi des dates pour lesquelles un maximum de stations disposent d’une mesure et pour lesquelles les totaux annuels semblent raisonnables,
étant entendu qu’il faut considérer un assez grand nombre de stations pour réaliser l’analyse spatiale. Eu égard à ces raisons, toutes les dates choisies sont telles que leur période effective d’enregistrement se trouve entièrement à l'intérieur de la période allant du 1 janvier 1997 au 31 décembre 2000. Pour chaque date, nous comptons le nombre de stations qui obéissent aux contraintes imposées (valeurs manques< 1% en durée, totaux annuels raisonnables,…). Nous avons choisi 40 dates, qui en plus des contraintes ci-dessus mentionnées, sont des dates pour lesquelles au maximum 3 stations (parmi les 190 stations retenues) ne disposent pas de mesure pour ce jour. Pour chacune des dates retenues, nous remplaçons ensuite les valeurs manquantes par 0 (hauteur de pluie nulle). Dans la suite, nous constituons pour chaque date, des grilles de 32 par 32 (Λ= 25 ) sur chacune des deux directions, ce qui donne au total 1024
pixels pour l’analyse spatiale. Ceci nous permet de couvrir pour les longitudes, les gammes d’échelle allant de l’échelle L=1315km11 (la plus faible résolution donc la plus grande
échelle) à l’échelle l=L/Λ=1315/32≈41km (la plus forte résolution donc la plus petite échelle) et pour les latitudes, les gammes d’échelle allant de l’échelle L'=1010 km (la plus faible résolution donc la plus grande échelle) à l’échelle l'=L'/Λ=1010/32≈32km (la plus forte résolution donc la plus petite échelle). Ainsi, la taille de la maille que nous utilisons pour cette analyse spatiale a pour dimensions 41 km suivant la latitude (rapport d'échelle suivant la longitude) et 32 km suivant les longitudes (rapport d'échelle suivant la latitude).
Dans une première étape, on procède à l’analyse des données sans prendre en compte le fait que le réseau de mesure est très hétérogène (on se limite dans ce cas à considérer le champ de pluie interceptant le réseau de mesure, c’est à dire que l'on n’essaie nullement de remplir, par interpolation, les pixels sans stations contrairement à la méthode de Thiessen d'emploi courant en hydrologie). Cela correspond à assigner une valeur nulle aux pixels n'ayant pas de station de mesure et de façon plus générale à assigner à chaque pixel la moyenne des valeurs de toutes les stations présentes sur ce pixel, c'est-à-dire que l'on effectue une intégration discrète sur le réseau (on crée un réseau fictif composé du réseau initial et complété par des stations fictifs à valeurs nulles sur des mailles n'en disposant pas). On procède ensuite à une analyse multifractale classique des données par la méthode du DTM.
Dans une seconde étape on procède à une correction statistique des estimations obtenues lors de la première étape. Cette correction est obtenue à l'aide d'un "théorème
11 Nous avons couvert entièrement toute la superficie de la France et utilisé grossièrement l’équivalence
1° →101 km
d'intersection généralisé" des champs multifractals. On peut expliciter ce théorème d’intersection simplement en remarquant que le champ mesuré Mλ résulte de la composition
du phénomène physique Pλ et de la densité du réseau de mesure ρλ. En effet, ce que fournit le
réseau de mesure est l’intersection du phénomène par le réseau.
Mλ =ρλ∩Pλ (3.1)
En faisant l’hypothèse de l’indépendance entre ces deux champs (champ phénomène et champ réseau) (Giraud et al. (1986) ; Ladoy et al. (1987) ; Tessier et al. (1994)), les fonctions de lois d’échelle des moments K(q) du phénomène et KR(q) du réseau, en tant
qu'exposants des lois de probabilités des champs respectifs, s'additionnent tout simplement pour donner celle de leur intersection, c'est-à-dire celle KM(q) de la mesure:
KM(q)=K(q)+KR(q) (3.2)
En opérant une transformation de Legendre sur chacun des termes, on arrive à une relation similaire pour les fonctions de lois d'échelle des moments.
De façon pratique, le champ fractal ρλ défini par le réseau sur un pixel, à une
résolution λ, vaut 1 si ce pixel dispose d’au moins une station de mesure et 0 dans le cas contraire, on obtient une équation du même type que l’équation (3.2) pour les K(q,η). En remarquant par ailleurs que pour le réseau, KR(q,η)= KR(q), on obtient la relation :
KM(q, η)=K(q, η) + KR(q) (3.3)
Cette dernière équation (qui rappelle une étape de la méthode du DTM) donne un moyen très simple d'effectuer directement une correction statistique -KR(q) du biais introduit
par l'hétérogénéité du réseau sur la fonction de loi d'échelle des moments de la mesure KM(q,η).
Nous avons envisagé deux cas de figures possibles, le premier est celui du calcul normal sur les séries initiales. Le deuxième cas de figure est celui qui consiste à normaliser les séries utilisées, en rapportant chaque valeur à la moyenne de la série, effectuée sur toute la période considérée, avant de leur appliquer le calcul du DTM spatial. Les résultats des calculs dans les deux cas de figure (avec ou sans normalisation) sont présentés dans le tableau 4 de l’annexe B, en faisant apparaître les valeurs avant et après la correction statistique. Les valeurs moyennes des paramètres figurent dans le tableau 3-3. Ce tableau montre qu’il n’y pas
de changement notable pour les analyses multifractales respectivement sur les séries normalisées et sur les séries non normalisées. Cette remarque est rassurante et pourra nous permettre, pour la suite, de nous dispenser d’une normalisation des séries avant les analyses multifractale.
Tableau 3-3 : Résultats de l’analyse spatiale.
Séries Avant la correction Après la correction
Alpha C1 Alpha C1
Non Normalisées 0.481±0.2 0.997±0.3 0.989±0.3 0.428±0.3
Normalisées 0.477±0.2 0.965±0.3 0.981±0.3 0.398±0.3
La gamme spatiale étudiée est de 41 km environ à 1315 km pour les longitudes et de 32 km à environ 1010 km pour les latitudes.
La figure 3-25 montre que le scaling est acceptable (coefficient de détermination > 0.90 pou la plus petite valeur de η, quand bien même cette valeur n'appartient à la partie linéaire de la figure 3-26, la seule qui nous intéresse) l sur toute la gamme, nous suggérant une plage d’invariance d’échelle sur toute la gamme. Ce résultat est très important dans la mesure où cela va dans le sens de ce que prévoit la théorie des multifractals, à savoir leur invariance d’échelle sur une large gamme d’échelles spatiales.
Si les parties supérieures de cette gamme pour notre étude se trouvent largement au dessus de nos besoins (les résultats des Modèles de Circulation Générale que nous cherchons à désagréger fournissent des valeurs spatiales dans les gammes d’échelle de l’ordre de 200 à 500 km), les limites inférieures restent pour nous des inconnues. Pour mieux les connaître, il faudrait une densité de réseau plus importante, ce qui nous permettrait de diminuer les tailles de nos pixels (64×64, 128×128, 256×256 pixels…) sans être gênés par les effets des zéro, car plus on diminue la taille du pixel pour un réseau de mesure peu dense, plus on perd en ce qui concerne la pertinence de l’analyse du phénomène à proprement parler. Il ne serait donc pas inutile d’avoir recours à une base un peu plus dense, qui nous permettrait de connaître la borne inférieure de l’invariance d’échelle et d’affiner l’estimation des paramètres.
Figure 3-25 : Invariance d’échelle dans le cas de l’analyse spatiale des séries journalières de PRECIP.