LES NIVEAUX RESULTANT D'UN COUPLAGE

Nous essayons de classer les niveaux en fonction de similitude observées entre les états des isotopes de masse paire et impaire. Nous avons vu, au chapitre précédent, qù'il existe une analogie entre des niveaux dans les isotopes de masse paire et impaire, par exemple entre les niveaux 33/2'*’, 29/2’*' et 12'*', 10'*’. Ceci nous amène à considérer certains niveaux comme résultant du couplage d'un nucléon célibataire à un état excité des noyaux paires. Dans cette optique, les niveaux "simples" sont décrits comme les couplages

<

0

+

I

fi pJ/2, <

0

+

1

a p3/2, <

0 + I a

£5/2, <

0 + I

a f7/2 et <

0

+ | a il3/2. Il faut noter que les ressemblances dont nous nous servons, sont difficilement remarquées entre des niveaux situés dans des régions de haute densité de niveaux. Nous limitons, donc notre discussion, aux états de basse énergie. Cette classification est, en principe, aisément applicable aux niveaux similaires du niveau 2+ des isotopes de masse paire. Ces derniers peuvent être classés en fonc­ tion de leur appartenance aux différents multiplets < 2+| û pJ/2, < 2+1 â p3/2, <2+| a f5/2 et

<2+1 a

il3/2 (étant donnée l'énergie du niveau "simple" f7/2, les niveaux <2+1 a f7/2, ont peu de chance d'être reconnus). Aux trois premiers multiplets correspondent des niveaux de parité négative. Les états < 2 + 1 a iI3/2 étant de parité positive, ils ne se mélangent pas aux autres niveaux

(<

2

+

1

a

pl/2,

<

2

+ 1 a

p3/2 et

<

2

+ 1 a

f5/2). On peut donc supposer qu'ils ont une structure moins complexe, ils sont donc mieux adaptés â une discussion en terme de couplage. Avant d'envisager ces niveaux,il convient de noter que, en discutant les niveaux en terme de couplage d'un nucléon célibataire avec un état du coeur (état dont nous ignorons la fonction d'onde), nous négligeons différents effets :

- Nous ne tenons pas compte d'éventuels effets de structure, notamment des effets flûs au principe d'exclusion de Pauli. Cette remarque prend tout son sens lorsque l'on se souvient que les états du coeur sont dûs à l'excitation de neutrons dans un coeur de 208pb^ et que le nucléon célibataire que nous considérons, est un neutron. Si le couplage du nucléon à une composante importante de l'état du coeur est interdit, il peut en résulter une modification sensible de l'énergie. L'exemple le plus notable de cet effet est donné par l'absence de niveau 35/2'*' dû au couplage d'un neutron il3/2 au niveau 12+(1) des noyaux de masse paire. En effet, on sait que ce niveau

12+(1) appartient à la configuration (il3/2)2, et il est facile de voir qu'il n'existe pas de niveau 35/2'*' qui ait une configuration (il3/2)3.

- Il faut également remarquer que dans cette approche qualitative, nous négligeons certains mélanges possibles. Par exemple, en considérant le niveau 9/2"'' co.ame membre de < 2 + 1 fi il 3/2, nous ne tenons pas compte d'autres couplages tels que

< 4 + I fi il3/2, < 3-1 û f5/2 etc.

a) Les niveaux 9/2+, 27/2+, 15/2+, 17/2+,

Ils sont classés comme membres du multiplet <2+1 fi il3/2 pour les raisons suivantes - La similitude de l'énergie de ces niveaux et de celle du niveau 2+ des isotopes de

plomb de masse paire voisins(à cette fin, on place les niveaux 13/2 (1) et 0+ (1) en regard les uns des autres).

- La décroissance de ces niveaux, ils se désexcitent principalement vers le niveau "simple" 13/2+ (par une transition de multipolarité E2) .

Comme ces niveaux constituent un cas favorable d'application du couplage, et comme certain de ces niveaux sont connus dans de nombreux isotopes, nous pouvons tester la qualité de cette approche en envisageant la variation de leur énergie par rapport à celle du niveau 2+ du coeur (cette dernière est obtenue par une interpolation faite au départ des noyaux voisins) figure V.A.l. Nous constatons qu'ils sont généralement trouvés en dessous du niveau 2+, que leur position varie de manière importante, et nous observons des croisements de niveaux.

Ce genre d'évolution est difficilement rendue par des modèles de couplage faible. Il est certai­ nement préférable de chercher une explication dans le cadre de théorie microscopique.

Fig.V.A.l. Variation du paramètre

partenant au multiplet <2+|8iI3/2 ^

a) courbe expérimentale.

b) courbe théorique (TD3 ,SDI 165 MeV)

E(J,tt)-E(13/2 + ) (E(2+,A+1)+E (E+,A-D)

pour les niveaux

ap-b) Les membres des nrult-ùplets < 2 + \ â pl/2, <2+18 pS/2 et < 2 + \ ® f 5/2.

De nombreux niveaux peuvent résulter de ces différents couplages : couplage spin des niveaux possibles

<2+10 pl/2 <2+10 p3/2 <2+10 f5/2 3/2 5/2 1/2 3/2 5/2 7/2 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2

Les niveaux 7/2 sont intéressants parce qu'ils sont clairement mis en évidence expérimentalement et parce qu'ils permettent d'évaluer qualitativement le mélange des configu­ rations < 2 + I 0 p3/2 et < 2+ I 0 f5/2. Nous constatons que dans le 205p^, gj. pg 203p|j pg premier niveau 7/2“ se désexcite uniquement vers le niveau "simple" 5/2” par une transition essentielle­ ment E2. Dans ces isotopes, ce niveau possède donc, en première approximation, une configuration <2 + 10 f5/2 dominante. Dès le ^®*Pb, les deux premiers niveaux 7/2“ se désexcitent à la fois vers les niveaux "simples" 5/2“ et 3/2“. Ces niveaux ont donc des configurations mélangées < 2 + I 0 f5/2 et < 2 + I 0 p3/2. On note que ce mélange apparait lorsque les niveaux "simples" 5/2 et 3/2 se rapprochent. D'autre part, il est intéressant de remarquer que, dans les

205pb et 203pt,^ ggg niveaux simples ne sont pas très éloignés (205pij . 262 keV et 203pjj ; l86keV). On peut en conclure que l'interaction résiduelle responsable du mélange des deux configurations < 2+1 0 f5/2 et < 2"*'f fî P 3/2 est faible.

?ns

3* les niveaux apparentes aux ETATS 9/2+ SITUES A ENVIRON 2.5 MeV DANS LE Pb.

205 203 201

Dans les Pb, Pb et Pb, on trouve des niveaux qui ont les caractéristiques suivantes :

- Ils ont des nombres quantiques 9/2'*'

- Ils sont fortement peuplés lors de la désintégration radioactive des Bismuth - Ils se désexcitent préférentiellement vers le, ou les niveaux 7/2 de la configu­

ration <2+1 Q f5/2.

La signification de ces caractéristiques est montrée dans le 205p^j_ Dans cette iso­ tope, ces niveaux ont été étudiés par la réaction 204p'b(d,p)205pb [CM77], C.F. Maguire et al. indiquent une importante composante <0+1 â g9/2 pour ces niveaux. De plus, ces auteurs établissent un parallèle entre l'énergie des niveaux 9/2* et l'énergie du niveau 3" collectif du 204p^^ proposent donc des fonctions d'onde de la forme <9/2+1 = x]<0+lüg9/2+

X2<3-]af5/2+ ... Il faut noter que comme le nucléon g9/2 est un neutron (et pas un trou de neutron) la fonction d'onde <0+1 qui intervient est celle du niveau fondamental du 204p^j^ La fonction d'onde proposée explique qualitativement les caractéristiques mention­ nées, La composante < 3 - . fi f5/2 est responsable de la transition 9/2+ •+ 7/2-, celle-ci est équivalente à la transition 3—>■ 2+, le nucléon f5/2 joue le rôle d'un spectateur. La désinté­ gration radioactive du 205g£ gg(. transformation d'un proton h9/2 en un neutron g9/2 (on peut, en première approximation considérer le niveau fondamental du 205Bi comme résultant du couplage d'un proton h9/2 à un coeur de 204pgj^ jp n'est pas possible de donner, avec certi­ tude, la même interprétation pour les niveaux 9/2+ des noyaux plus légers, ces noyaux ne peu­ vent être atteints par des réactions de type (d,p) et, on ignore la position des niveaux 3- collectifs dans les isotopes 202,200, < • Néanmoins, les composantes <0+1 û g9/2 et < 3- I 0 f5/2 peuvent expliquer les propriétés données ci-dessus. On note également que l'énergie de ces niveaux 9/2+ est, au premier abord, stable.

B - APPROXIMATION DES QUASI-PARTICULES ET LE CHOIX DE L'INTERACTION RESIDUELLE. 208

Le caractère doublement magique du ^ permis d'introduire des hypothèses simplificatrices dans la description des isotopes au plomb.

- La fermeture à Z = 82 du coeur de protons conduit à considérer ces nucléons comme spectateurs. ^

- Les états de l'isotope ^ "^Pb sont décrits à l'aide de n trous de neutron en interaction. On limite le nombre d'états individuels aux sous couches les moins liées (figure V.B.l). La base d'états individuels que nous utilisons habituellement,

est donnée par les sous couches (3pl/2, 2f5/2, 3p3/2, lil3/2 et 2f7/2). Nous la désignons par le symbole elle comporte 34 états différents.

Ces premières approximations se heurtent rapidement à des difficultés de calcul, qui sont dues à la taille de l'espace spectroscopique qu'il faut considérer. La dimension D(n) de cet espace est donnée pour un nombre n de trous de neutrons (n < 17) et pour par ; D(n) = 34!/((34-n)!n!).

Pour n supérieur à 5, les calculs sont pratiquement irréalisables (D(5) = 278256). On introduit donc des hypothèses simplificatrices. Nous utilisons ici l'approximation, mainte­ nant classique, des quasi-particules. Afin de montrer les limitations de cette théorie, nous donnons brièvement les définitions et les formules principales. Le formalisme employé est donné à la référence [CQ68].

0

cale. obs. cale. obs.

N = 126 Z=82

Fig*V.B.I. Les états individuels des noyaux proches du [AB69] : Les états de neu­ tron (de proton) figurent à gauche (à droite). Les états situés en-dessous (au-dessus) du trait interrompu sont occupés (vacants) dans le niveau fondamental du

126 82

1. APPROXIMATION DES QUASI-PARTICULES.

a) Transformation de Bogoliuhov-Valatin.

Un ensemble d'opérateurs de création (a^) et de destruction (a^^) de quasi-parti­ cules, est défini au départ des opérateurs de création (cj) et de destruction (c^) de particule

(ou de trou), par la transformation linéaire de Bogoliubov-Valatin : + + , .Ja “a

a = u c - (-) Va c

a a a a -a

(

1

)

f .ja“®a + «a = «a^ct - (-) Vac_^

où a est mis pour les symboles (na, la, jai ma) et a pour (na, la,

ja)-(2)

Pour que a* et a^ respectent les relations d'anticommutation habituelles des opé­ rateurs de création et ae destruction, on impose :

2 u

a ⁺ (3)

b J Etat de B.C.S.

L'état de B.C.S. ou l'état du vide de quasi-particule est obtenu par la destruc­ tion des quasi-particules dans le vide de particule (ou de trou) |0>.

|Î5> = n a^jj I

0

>

L'état de B.C.S. est utilisé comme description du niveau fondamental des noyaux de masse paire (à l'approximation des quasi-particules indépendantes et à l'approximation TD2 ci-dessous).

N.B. |?{> n'est pas état propre de l'opérateur nombre de particules (.JT= I c^ Cq() .

c/ Hamiltonien de quasi-partiaules et équations du gccp.

Les paramètres (ug et v^) de la transformation de Bogolinbov-Valatin sont déterminés en minimisant l'énergie de l'état de B.C.S. Ils doivent être calculés pour chaque isotope. De plus, on impose que la valeur moyenne de l'opérateur soit égale au nombre de particules du système n.

<2)|^|?{>=n (4) On introduit donc l'hamiltonien auxiliaire^

H - X cF

où X est un multiplicateur de Lagrange analogue â un potentiel chimique. Les paramètres u^, v^ et X sont déterminés par le principe variationnel :

6 < ^ |^|?5> = 0 (5) L'hamiltonien du système s'écrit :

+/^ (6)

avec

Les opérateurs^^^ s'expriment comme la somme de produits normaux à i opérateurs de création aj et j opérateurs de destruction a,^.

Les équations (3), (4) et (5) donnent un système d'équations implicites dépendantes des u^, v^ et X (les équations du gap) .

2 “a Va avec 2 2 u^ - v^

E

Da 2Qa V? = n a “3

E/S

b T 52 252a - 2ja+l

G(a,a,b,b,0)

e sont les énergies de particules indépendantes

G(a,b,c,d,J) et F(a,b,c,d,J) sont respectivement les éléments de matrice (de l'hamil­ tonien d'interaction résiduelle) antisymétrisés particule-particule et particule-trou.

On obtient alors pour l'hamiltonien les relations :

%

^II

S- ^

(7)

Les Eqj représentent les énergies des quasi-particules indépendantes, Va terme de self-énergie, X l'énergie de Fermi et Ag le demi-gap.

Exprimé en terme de quasi-particules, l'opérateur nombre de particules ){^ s'écrit :

Avec

JP =^o

2 f2a <

(8)

= Zl(u2

20 v2) a a"^ a a *^20 ^ , . Ja“% + +

Il apparaît que v^ donne la probabilité d'occupation d'un état a.

NB : Une description en terme de trous (de particules) est obtenue en prenant la transformation de Bogoliubov-Valatin triviale

Va

Ua = 0 et Va = I (ua = I et Va = 0)

- Dans la mesure où il n'y a pas deux sous couches a et b telle que (j Jb. la = Ib St na / nb), alors les

termes

îfè 02 et^ 20 gont nuis. Cette propriété est vraie pour l'espace que nous considérons.

df Approximation des quasi-particules indépendantes.

Cette approximation est obtenue lorsque les termes 5^2 de l'hamiltonien sont négligés. Le système est alors décrit par l'hamiltonien des quasi-particules indépendantes :

e) Description des noyaux de masse paire à l'approximation TD2.

Pour décrire les noyaux il faut tronquer l'espace spectroscopique. Souvent, dans la description des isotopes de masse paire, on ne considère eue les états à 0 et 2 quasi-parti­ cules. A l'approximation TD2, on néglige les termes^'3^^ 31^^04 de l'hamiltonien (7). Dans ce cas, l'interaction résiduelle ne mélange pas les états à 2 quasi-particules à l'état de B.C.S., et ce dernier donne la description du niveau fondamental. Les états excités sont obtenus par la diagonalisation dedans l'espace des états à 2 quasi-particules. Les vecteurs orthonormés de base ont la forme ;

k * (a,b, JM) |?(> _I—-—I ^I _{(iaJb ™a} V'+'Sab “3%

JM > a^ a^ \'6

a 3 '

Avec a < b

A'*‘(a,b,JM) = yj i + S a h Â'^(a,b, J,M) .

La fonction d'onde du vecteur propre de spin J de l'hamiltonien peut s'écrire : = S. X,''^a,b,J)Â (a,b,JM)|î) >

(a,b)

E

i,

Le signe Z-/ indique que l'on somme sur tout les états a b tels que a < b. (a,b)

Les coefficients de mélange (a,b,J) doivent satisfaire au système d'équations séculaires.

E

(c d) ^{(E + E. ) 6 ô, , + Q (a} a b ac bd ^ ' ^{ib I c} d I} ,(i) (c,d,J) = Ei^^X$^^(a,b,J)

avec Q (a,b,c,d,J) = <î?lÂ(a b J M) | |;^g^^|‘^(c,d, J,M) >

Q (a,b,c,d,J) dépend en général des u^j ujj, u^,, uj, Va, v^j, v^., v<j, et des éléments de matrices antisymétrisés particule-particule et particule-trou.

E^^^ est la valeur propre du ième vecteur propre de spin J de l'hamiltonien.

Remarques : - En raison de la non conservation du nombre de particules, il existe dans l'espace à 2 quasi-particules, un état non physique, c'est-à- dire un état qui n'a pas de composante au bon nombre de particule, il est caractérisé par les nombres quantiques J = 0 et tt = +1. Pour éliminer cet état, on diagonalise, dans le sous espace défini jjar les nombres quantiques J = 0 et ir = +1, une matrice transformée M obtenue au départ de la matrice.originelle M et du projecteur P sur l'état parasite.

Îî = 0-P) M(l-P)

r\j

L état parasite est le vecteur propre de M qui correspond à une valeur propre nulle.

- En général, le nombre moyen de particules dans les états propres n'est pas égale à n (n = <0|c)r|u>). On mesure l'écart entre ces valeurs en calculant la valeur moyenne de l'opérateur (vlf^n).

< I I

-E

(a,b) ^{(a, b,}

)

f) Description des noyccux de masse impaire à l'approximation TDS.

On tronque l'espace spectroscopique, en ne considérant que les états à 1 et 3 quasi- particules, on néglige les termes^®^ et?ê de l'hamiltonien. Les paramètres u^, v^ et X sont déterminés par le principe variationnel (5). Le niveau fondamental est le niveau de plus faible énergie obtenu en diagonalisant l'hamiltonien dans l'espace à 1 et 3 quasi-particules. Les vec­ teurs de bases de l'espace à une quasi-particule ont la forme :

\b‘“c ’

avec (a < b < c).

De manière générale, ces vecteurs ne sont pas orthonormés, les vecteurs orthonormés de base sont définis par :

B (a,b,V,c,J ,cK>) I N(a,b, ^j^,c,V J )

B"^(a,b, J ,J6) I >

On peut écrire le i®®® vecteur propre de spin

I ■ xî‘’(a.3 >

_a,b,c,V

^ >

Les équations séculaires s'écrivent sous forme matricielle. ;

.(i)

3 h

où est la valeur propre de >

Ep représente les énergies des quasi-particules indépendantes. L dépend de^'^ et^^*

K dépend de^^^

(a,b,V, c, d, e, V ,f,^ ) =tEg + Ejj + E(,) 6^^ *^b e ^c f *^V v'

Remarques : - A chaque état à une quasi-particule (jg, correspond un état non physique (^ = jg et tt = tt^) dans l'espace a trois quasi-particules.

n élimine cet état en diagonalisant la matrice transformée ■ (1-P) M (1-P) où P est le projecteur sur l'état parasite.

- Sur un état la valeur moyenne de l'opérateur, qui décrit l'écart entre le nombre moyen de particules dans l'état et dans l'état de B.C.S, (cA^_ji) est, en général, non nulle. o

. E

(a,b,c,v)

(X^^^(a,b,c,V,^))^(u^ - '‘b " ^b "'c ■ ^c^

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