b) Les niveaux de bas spin

C. Quesne montre que pour les niveaux de bas spin (j 13/2) l'accord obtenu entre les énergies des niveaux expérimentaux et calculés (3 trous) est bon. Par contre, les niveaux

calculés à l'approximation TD3 sont généralement prédits à trop haute énergie (de 100 keV à 200 keV).

o)

les niveaux de haut spin.

(figure V.C.l).

Nous notons le même accord entre les énergies des niveaux expérimentaux et calculés (3 trous). La comparaison est plus défavorable lorsque les niveaux calculés â l'approximation TD3 sont considérés. Les niveaux 33/2'*', 29/2*, 27/2“, 29/2 , 25/2~, 21/2 , et 2\/2* sont alors placés à trop basse énergie, pour les niveaux 33/2* et 29/2'*’, un écart supérieur à 600 keV est obtenu. Il faut remarquer que pour ces niveaux, la valeur moyenne de l'opérateur

(J?-

n) (figure V.C.l.) n'est pas négligeable. Il n'est pas évident que les niveaux 33/2* et 29/2*

soient mal décrits par le modèle des quasi-particules dans tous les isotopes. En effet, on peut prévoir que certaines conséquences de la non conservation du nombre de particules dans ce

modèle s'atténuent. Ainsi la valeur moyenne de l'opérateur (K*-n) (idéalement nulle) diminue lors­ que ^12/2'*' vers c'est-à-dire lorsque r)a tend vers zéro.

d) Conclusions.

De la comparaison des trois schémas de niveaux du Pb (expérimentaux, 3 trous dans un coeur de 208pb et 3 quasi-particules TD3), on peut conclure que l'interaction résiduelle S.D.I. est, à priori, utilisable pour décrire les isotopes plus déficients, le schéma de niveaux théoriques du ^®^Pb qu'elle permet d'obtenir, étant satisfaisant (3 trous dans le ^*^®Pb). Dans cet isotope il apparait que la principale source d'erreur est due à l'approximation des quasi- particules. La comparaison montre que, lors de l'examen des isotopes plus déficients, il est préférable de nous intéresser à l'évolution des niveaux plutôt qu'à leur énergie. Les impréci­ sions notées dans le 2Û5p^j^ indiquent que l'on ne peut pas attendre un bon accord entre les éner­ gies des niveav-" théoriques et expérimentaux.

2• LES NIVEAUX A UNE qUASI-PARTICULE.

Dans le tableau ci-dessous, nous portons l'énergie relative des niveaux théoriques à une quasi-particule calculés, pour le 201pb, avec les deux valeurs (0.14 MeV et 0.165 MeV) de l'intensité de la S.D.I. Il y apparait que ces énergies dépendent peu de l'intensité uti­ lisée, elles sont, principalement, déterminées par les énergies individuelles (e^) c'est-à-dire par le potentiel central (Vo), et par l'énergie du niveau de Fermi (X). La-comparaison de l'é­ nergie des niveaux expérimentaux et calculés, nous renseigne sur la validité de l'utilisation des énergies tirées du 207pb^ pour le calcul des différents isotopes.

Niveaux une quâsi'-partîculc

Energies relatives (keV) calculées O.JA MeV

Energies relatives (keV) calculées 0.163 MeV 1/2- 132. 71. 5/2- 0. 0. 3/2- 93, 102. 13/2* 579. 570. 7/2- 1207. 1179.

Cette comparaison est faite aux figures V.C.2. et V.C.3. dans les conditions suivantes

Fig*V.C*2. Comparaison des énergies relatives des niveaux à une quasi-particule : niveaux cal­ culés (traits tiretés) et niveaux expérimentaux

(traits pleins ou pointillés lorsque le niveau est douteux).

Fig.V.C.3. Valeur moyenne de l'opérateur (tAin) pour les niveaux â une quasi-particule.

- les niveaux théoriques sont calculés à l'approximation des quasi-particules indépendantes (S.D.I. 0.14 MeV).

-• les niveaux 5/2- expérimentaux et théoriques sont placés à l'origine des énergies. - la valeur moyenne de l'opérateur (Æn) pour ces niveaux est présentées à la figure

On note que l'évolution des niveaux est bien rendue, ce qui justifie l'bypothëse faite sur les énergies individuels («a). Les écarts les plus importants entre les énergies expérimentales et calculées sont trouvés dans le 205pb^ c'est-à-dire lorsque les valeurs moyennes de («JP-n) sont les plus grandes (étant donnée la valeur de l'opérateur (J£ n) pour le niveau 1/2- dans le il aurait, sans doute, été préférable d'ajuster le niveau 1/2“ calculé et expérimental. Cette solution n'est pas adoptée car elle n'est ni applicable, ni justifiée dans tous les isotopes).

Remarques : - comme nous l'avons mentionné au paragraphe A, le niveau 7/2“ à une quasi-particule est identifié grâce à cette comparaison. Il est à noter que les niveaux ainsi identifiés se désexcitentessentiellement vers le niveau "simple" f5/2. Par ailleurs, cette reconnaissance est confirmée par les résultats obtenus grâce aux réactions

206pb(pd)205pb [WL75] et 204pb(d,t)203pb [JB67]. Rappelons que le facteur spectroscopique du pick-up d'un neutron a, est donné théori­ quement par l'expression :

Sa(J-T) = |«;^j,^,|^r^(JaJmaM|j'M')ca

où sont les fonctions d'onde de l'état final et ini­ tial, et est un opérateur de création d'un trou de neutron a. Ce facteur Sj-,. (0,7/2“) est proche de l'unité lorsque la fonction d'onde de l'état final est approximativement donnée par

|7/2“ ^ y ® ^ '^^^^P/2’’ * L'analyse en terme de quasi-parti­ cule est plus complexe, mais il est, qualitativement, vrai que, lorsque la quasi-particule f7/2“ diffère peu d'un trou de neutron f7/2, le ni­ veau 7/2“ à une quasi particule est fortement peuplé lors du pick-up d'un neutron il, Ceci est observé dans les réactions mentionnées plus haut.

- pour la comparaison des énergies, nous avons utilisé des niveaux cal­ culés à l'approximation des quasi-particules indépendantes. Dans le cas de l'approximation TD3, l'état 7/2“ à une quasi-particule est parfois fragmenté en raison de la proximité de niveaux 7/2“ à trois quasi- particules (cette proximité est due à la mauvaise description de ces derniers niveaux voir ci-dessous).

- nous n'avons pas trouvé de niveau 9/2 à une quasi-particule (h9/2). Deux raisons peuvent expliquer cette absence :

. La désintégration radioactive des 205,203,201,199g£^ peuple peu ce niveau, car dans la fonction d'onde des isotopes de Bismuth, la sous-couche de neutron hg/2 est remplie.

. Ce niveau est situé (vraissemblablement) dans une région de haute densité de niveaux 9/2“ et le caractère à une quasi-particule est fragmenté.

3* les niveaux de BASSPIN^ATROIS qUASI-PARTICULES. (figures V.C.4. et V.C.5).

Les niveaux calculés à l'approximation TD3 avec une intensité 0.14 MeV sont, en général, trouvés à une énergie trop élevée. M. Pautrat [MP72] a montré que pour la même inten­ sité les niveaux à deux quasi-particules de bas spin (2+,4+) sont également mal placés. En fait, on trouve entre les niveaux 5/2“, 7/2“, 9/2“ calculés et expérimentaux et les niveaux 2+ calculés et expérimentaux des écarts semblables. Ces écarts augmentent pour un nombre croissant de trous de neutron, alors que la valeur moyenne de l'opérateur (<P-n) diminue. Ci-après, nous avons porté la valeur moyenne de l'opérateur (XLn) calculée pour le niveau 2+ dans les noyaux de masse paire.

3.0-2J,

. 7\9* 7 7-.9M1- nM3*

25-20

-7* 9* 9" 9* 7*,9* 9'*’ anâ^

1.5-1

.

0

-.9-. 7- ir . 9-. 9* • 7- 9-• 7" ■ 7“ 9-■ 5*,l .13* 7‘ : 5’ 9* .7* • 5" 3-•13* . 5',7- . lU • 7*9- . 9 + 7-r

57

. ■ 9 ,Î1 -. 5- -9-•5:, 11\13* 9* . 7-• 5-. 9-• 5-.7* . 13*

0.5- -3--3“ - r

0.14

203

__

5-exp.

Pb

5*

0.12

(MeV)

3. 2J.7T ⁺

2

.-1

.- (9.H)-(9)+ (7.9) -(7.9) + (9.nr 7+) 9+) (9-) (9+) (11+) 9+ 7-(H-) (7.9)+ 15+ 17+ (9Ï1)+ (9.11)+ 7+ 11+ 7% 5'— 11^ 13+ ¹³⁺ (3-) 13+ r 3 -5* 0.14

exp

(3-)

5-exp.

5 -3 -0.14 201 pb

Fig.V.C.5. Comparaison des schémas de niveaux des 201,199p^, expéri mentaux et théoriques.

A 206 204 202 200 198 196 194 192 <2+U!’-n| 2+> 1.0 .63 .35 .12 .02 -.02 .06 .08

L'écart entre les énergies calculées et expérimentales est moindre lorsque l'on utilise une interaction moins intense (figure V.C.4.)* Cette amélioration n'est sans doute pas signifi­ cative car elle aboutit à prendre dans chaque isotope une intensité très différente. L'origine de cet écart est à chercher, sans doute, dans la troncature dans l'espace des quasi-particules et dans le choix de l'interaction résiduelle. Il faut noter que la ressemblance observée entre les schémas de niveaux expérimentaux des isotopes de masse paire et impaire, est également trou­ vée entre les niveaux calculés.

A la figure V.A.l.b, nous portons la valeur du paramètre :

1 - pour les niveaux calculés (9/2'*', 11/2''', 13/2'*'(2), 15/2"'', 17/2'*') ■j(E(2+,A-H)+E(2+,A-l))

appartenant â la configuration <2+1 fi il3/2. On ne retrouve pas exactement les variations ob­ servées (figure V.A.l.a), mais il existe un accord qualitatif. Dans les deux cas, on trouve, le plus souvent, des valeurs négatives pour les paramètres et on observe des croisements de niveaux, mais ceux-ci ne sont pas obtenus pour la même masse (par exemple les niveaux expéri­ mentaux 17/2'*' et se croisent dans le 203p]j^ ces mêmes niveaux calculés se croisent dans

le >97pb).

• LES NIVEAUX DE HAUT SPIN (figure V.C. 6. ) . On peut distinguer deux catégories de niveaux :

- les niveaux qui, théoriquement, ont une fonction d'onde complexe : 15/2"'', 17/2'*', 19/2''', 21/2''', 21/2“, 25/2“.

- les niveaux dont la fonction d'onde est simple 27/2“, 29/2“, 29/2''' et 33/2'*'.

a) Uveaux 1S/2+, 17/2-^, 19/2+, 21/2-*-, 21/2~ et 25/2~.

Pour ces niveaux, l'évolution n'est pas rendue, et on peut répéter, ce qui a été noté, pour les niveaux de bas spin à trois quasi-particules : énergies trop élevées des niveaux calculés, similitude entre les niveaux calculés dans les isotopes de masse paire et impaire. Le désaccord le plus notable est trouvé pour les niveaux 2+, 15/2+ et 17/2+. L'écart entre l'éner­ gie de ces niveaux calculés et expérimentaux croît avec le nombre de trous de neutrons, pour le niveau \7/2*, cet écart passe, de 150 keV dans le 205pb g plus de 600 keV dans le *®^Pb. Le maximum observé de l'énergie du niveau 17/2''' (2+) au '9'Pb (198pb) n'est pas reproduit.

b) Les niveaux 55/2'*', 29/2'*' et 29/2~

Ils sont bien décrits par le modèle, de la m'èrae manière, l'énergie des niveaux 12+, 10+ et 9- est correctement donnée par les calculs fait â l'approximation TD2. En fait, l'accord excellent dans les noyaux les plus légers, est un peu moins bon dans les 206,205pb, Ces niveaux ont des fonctions d'onde simple : (il3/2)^ pour les niveaux

33/2'*

et

29/2'*,

et

E

MeV ^2J

¹ O*

---205 203 201 199 197

Pb

195 193

Fig.V.C.6. Comparaison des niveaux de haut spin expérimentaux et théori­ ques des isotopes du plomb déficients en neutrons de masse impaire (les niveaux 13/2+ expérimentaux et calculés sont placés en vis à vis). Les schémas expérimentaux des gj- 201p{j sont respectivement ceux

des références [CL76],[CL77] et [HH77]. Pour la simplicité, nous ne por­ tons que l'hypothèse a du schéma de niveaux du *^^Pb.

Fig.V.C.7. Evolution des différences d'énergie entre les niveaux expérimentaux 13/2+ et 5/2- , 10+ et 9-, 29/2+ et 29/2-.

La figure V.C.7 montre le parallèlisme de l'évolution de différentes énergies expé­ rimentales et calculées, ce qui donne à penser que les fonctions d'onde données ci-dessus sont réalistes.

cy Le niveau 27/2~

Le cas du niveau 21 !2 est plus complexe, car nous ne disposons pas de données expéri­ mentales suffisantes. Il est certain que le niveau 27/2” calculé est prévu à trop haute énergie. L ampleur du désaccord est difficile à déterminer, car le modèle prévoit deux niveaux 27/2“ à des énergies proches :

- le premier est principalement, dû à la configuration (il3/2)^f5/2 ,1e coefficient de mélange X de celle-ci varie de 0.97 dans le 199pb à 0.89 dans le >^Spb

- le second a une fonction d'onde dominée par (il3/2)2p3/2, son coefficient de mé­ lange X varie de 0.98 dans le à 0.92 dans le Dans ces isotopes, ces niveaux 27/2 (1) et 27/2” (2) sont à environ 100 keV l'un de l'autre.

Le premier niveau doit évoluer parallèlement au niveau 5/2”, le second parallèlement au niveau Dans le premier cas, la différence d'énergie entre les niveaux 29/2“ et 27/2” doit être à peu près constante, dans le second cas, cette différence d'énergie doit évoluer de manière comparable à l'énergie relative des niveaux "simples" 5/2“ et 3/2“. Dans le

E(29/2”) - E(27/2“) (84 keV ± 4 keV) est approximativement égale à E(5/2“) - E(3/2“) (84.'9keV). Cette comparaison ne peut être faite dans les autres isotopes car les niveaux 29/2“, 27/2”, 5/2”_et 3/2” n'y sont pas tous connus. On peut tenter de prédire l'énergie relative des niveaux 29/2 et 27/2” dans le >99pb au départ d'une extrapolation des niveaux des '^^Pb et ^95pb (hypothèse a du schéma de niveau du *®^Pb). Elle montre que ces niveaux, comme les niveaux 5/2” et 3/2” s^nt proches. Cette conjecture, si elle est vérifiée, indiquerait une fonction d'onde (il3/2) p3/2 pour le niveau 27/2“ ', ce qui montrerait un désaccord important entre les prédictions du modèle et les niveaux observés. La vérification de cette hypothèse nécessite la recherche des niveaux 29/2“ et 27/2“ dans le '^^Pb, et l'étude de la désintégration du

Bi afin de découvrir les niveaux 5/2” et 3/2“ "simples".

D - LES PROBABILITES DE TRANSITION.

La comparaison des valeurs mesurées et calculées des probabilités réduites de transi­ tion offre la possibilité de tester les fonctions d'onde prévues par les modèles. Avant de procéder à ces comparaisons, nous exposons brièvement le formalisme théorique employé en ne donnant explicitement que les aspects qui sont utiles par la suite. Des exposés plus complets peuvent être trouvés aux références [RA65] et [CQ68] pour le formalisme des quasi-particules, et [AD63] pour les.opérateurs multipolaires de transition magnétique ou électrique.

'• iS_l!

25

î?Ai;IS^_THEORigUE.

Dans le modèle des quasi-particules, l'opérateur tensoriel T^X,y)(a est mis pour spécifier le caractère électrique ou magnétique de l'opérateur) à une particule qui décrit l'émission d'une radiation multipolaire d'ordre X et de composants p s'écrit :

• t'^(X.p) = T^,(X,y) + T^q(X,p)

Où T*^j(XjP) conserve le nombre de quasi-particules et où T2q(X^vi) crée, ou détruit, deux quasi-particules.

Si on ne s'intéresse pas aux transitions X = 0, dans ce modèle les opérateurs sont donnés par les expressions suivantes :

“Xlt^'J(X)[ ‘^(a,b,J.M) + (-)^Â(a.b.J-M) ab l

T^,(X,y) =Z!- t*'J(X) Y. (“)^^"”^(ja ib “a «>b|jM) ^ ^-6

ab ’ mamb ^

avec t2«^(X) = i a||t''(X)||b > (u^v^, + (-)^“^ v^)

et t‘'^(X) = (U U (_) )

/2X+T

où < a I I t (X) II b > sont les éléments de matrice réduite de l'opérateur T (X,u) En fonction des vecteurs de base >, la probabilité réduite de transition (Xa) entre des états |ij;(i)> = J ^ ®st donnée par :

J J j J J J j' J'

B(Aa ; Ji J’^.) = I <Ÿ || T^WMV’j > |‘ j j J J '

a) Approximation TD2

Les vecteurs de base utilisés dans ce modèle sont de la forme |a,b,J>, si on ne s'intéresse qu'aux transitions reliant des états à deux quasi-particules on trouve :

< a,b,J 11 T^^CX) Il cd.J' > =■ X) (a,b,c,d,J,J',X)ô.,., tj*'? (X) ^ j(j')

Les indices ii'(jj') sont mis pour les symboles a b (c,d) et où l'ensemble {i,i'}({j,j'}) est obtenu par la permutation de {a,b}({c,d}).

(2)

Le facteur N ne dépend que des indices i,i', j,j'i et que des différents moments angulaires jg, 1^, Ib, je, le, îd> Id, J.J' et X (ce sont des produits de facteurs de phase, de facteurs de normalisation et de coefficients 6j).

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