Multicritere et ordonnancement

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croix.

Cette gure montre egalement que la minimisation de l'un des criteres ne mini-mise pas forcement l'autre. D'ou l'inter^et de relever les optima de Pareto pour laisser au decideur le choix entre plusieurs solutions de bon compromis.

La decision multicritere est une theorie tres complete que nous n'allons pas expo-ser ici (voir Roy et Vincke [127], ou Roy et Bouyssou [126] pour une presentation generale). Nous nous sommes restreints, dans cette partie, aux denitions essen-tielles a notre approche. Dans la section suivante, nous exposons les problemes d'ordonnancement multicriteres traites dans la litterature.

3.5.3 Multicritere et ordonnancement

Nous avons vu dans la partie precedente l'importance, en environnement multi-critere, de considerer l'ensemble des criteres. Pourtant, la plupart des recherches en ordonnancement portent sur des objectifs monocriteres. Quelques travaux ont neanmoins ete menes et Nagar et al. [104] ou plus recemment, T'Kindt et Billaut [136], proposent un etat de l'art sur les problemes d'ordonnancement multicriteres et bicriteres, sur machine simple ou plusieurs machines. Beaucoup de problemes multicriteres, en ordonnancement, concernent des problemes bicriteres sur ma-chine unique.

Ainsi, Van Wassenhove et Gelders [141] ont etudie le cas d'une machine unique avec minimisation conjointe du ot et du retard maximal. Une solution optimale peut ^etre obtenue pour chacun des deux criteres pris separement en un temps polynomial (regle SPT: Shortest Processing Time, pour le ot et regle EDD: Earliest Due Date pour le retard maximal). Ils montrent que la regle SPT donne egalement une solution Pareto optimale lorsque les deux criteres sont consideres, ce qui n'est pas le cas pour la regle EDD. Ils proposent un algorithme pseudo-polynomial permettant de generer tous les points Pareto ecaces. Plus tard, Van Wassenhove et Baker [140] s'interessent a un probleme d'ordonnancement sur ma-chine simple ou temps et co^ut sont en con it et proposent une approche bicritere. Leur algorithme resoud optimalement l'un des criteres (regle EDD, par exemple) et modient la sequence trouvee de facon a diminuer la valeur de l'autre critere. Ils generent ainsi, l'ensemble des points ecaces (non domines).

De m^eme, Nelson et al. [105] etudient l'ordonnancement d'une machine en consi-derant les criteres de minimisation du ot, du nombre de t^aches en retard et du retard maximal deux a deux, puis les trois criteres ensemble. La encore, chaque probleme pris separement est solvable polynomialement. Ils proposent des me-thodes de separation et evaluation, basees sur les meme-thodes associees a chaque critere, pour generer l'ensemble des points Pareto ecaces. Pour la combinaison

des trois criteres, ils basent leur procedure de separation et evaluation sur les resultats des problemes bicriteres.

Hoogeveen et van de Velde ont etudie plusieurs problemes d'ordonnancement mul-ticriteres sur machine unique. Ainsi, ils proposent dans [72] des bornes inferieures pour le probleme 1=nmit=P

Ci+Lmax+Emax, ou nmit indique que les temps morts sur la machine ne sont pas admis, P

Ci represente le ot total, Lmax le retard maximal et Emax l'avance maximale. Pour cela ils comparent deux ap-proches: l'approche par amelioration potentielle maximale ("maximal potential improvement"), qui est une approche de type hierarchique considerant un cri-tere apres l'autre, et l'approche de separation des objectifs ("objective splitting") qui considere les trois criteres simultanement. Ils constatent que la deuxieme ap-proche est plus rapide et de meilleure performance que la premiere, et proposent de l'ameliorer de facon a obtenir, moyennant un peu de calculs supplementaires, une meilleure borne. Egalement, Hoogeveen et van de Velde [73] s'interessent a l'ordonnancement d'un ensemble de t^aches sur une machine unique avec minimi-sation du ot et d'un co^ut maximal, deni par une fonction reguliere de la date d'achevement. Emmons [42] propose de traiter le probleme de facon hierarchique en cherchant a minimiser le ot pour un co^ut minimal determine par la regle de Lawler [90]. Hoogeveen et van de Velde recherchent polynomialement, pour une valeur du co^ut ne depassant pas une certaine borne, l'ensemble de points Pareto optimaux,dont le nombreest borne parn(n,1)=2+1, si n est le nombre de t^aches. La particularite des travaux de Mittenthal et al. [102] est l'etude de fonctions non regulieres des dates de ns d'execution des t^aches. Dans ces fonctions, l'un des criteres (CT) est la mesure de la tendance centrale (fonction reguliere, par exemple le ot moyen ou la date de n de la t^ache du milieu), tandis que l'autre critere (DSP) est la mesure de la dispersion des dates de n (fonction non re-guliere, par exemple variance, deviation par rapport a la moyenne,...). Dans ce contexte, De et al [36] etudient le probleme bicritere du ot moyen et de la va-riance et proposent un algorithme pseudo-polynomial de resolution. Dans [102], Mittenthal et al. presentent pour l'ensemble des problemes CT-DSP, les resultats connus ainsi que leurs propres resultats sur les combinaisons connexes des deux criteres.

Plus proche de notre problematique, Aguilera [2] et Bourgade et al. [18] consi-derent un probleme d'ordonnancement bicritere sur machine unique avec minimi-sation du retard maximal et des co^uts de changement. Ils proposent d'adapter, pour la recherche de solutions ecaces, la procedure de separation et evaluation de Little et al. [97], developpee pour le probleme du voyageur de commerce. Pour l'evaluation des solutions, deux fonctions objectif, agregeant les deux criteres, sont retenues et comparees. Il est a noter que l'une de ces fonctions objectif peut generer des solutions dominees au sens strict.

3.5. EVALUATIONBI-CRIT 

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Les dierents problemes reportes ci-dessus ont deux points communs qui dierent avec notre probleme. Tout d'abord, tous ces articles traitent de problemes sur ma-chine unique, ce qui elimine le probleme d'aectation sous-jacent a l'utilisation de machines en parallele. De plus, dans chacun des problemes etudies, l'un au moins des deux criteres, est solvable polynomialement lorsqu'il est pris indivi-duellement. Ainsi, la solution optimale obtenue pour ce critere est une bonne reference et peut servir de borne pour les methodes multicriteres. Dans notre cas, chacun des criteres (makespan et co^uts) conduit a un probleme NP-dicile, et il en est de m^eme pour le probleme bicritere. Il n'est donc pas possible d'utiliser de bonnes methodes permettant de rechercher l'ensemble des solutions ecaces. Nous noterons tout de m^eme, dans un contexte similaire au notre, l'etude recente de T'Kindt et al [137] concernant l'ordonnancement de machines paralleles non liees avec prise en compte de deux criteres: la maximisation de la marge et la minimisation de Imax representant la dierence entre le Cmax et le Cmin (plus petite date de n d'une machine).

D'autres travaux, moins nombreux, ont ete menes pour les problemes de owshop ou jobshop multicriteres. Ainsi, Rajendran [118] etudie un probleme de owshop a deux etages avec minimisation conjointe de deux criteres: le makespan (date maximale de n d'execution) et le ot moyen. Le premier critere est solvable polynomialement par l'algorithme de Johnson [80], tandis que le deuxieme est

NP-dicile. Il propose un algorithme de separation et evaluation s'appuyant sur la solution optimale obtenue pour le makespan, ainsi que deux heuristiques pri-vilegiant chacune, l'un ou l'autre des criteres. De plus, T'Kindt et al. [138], [14] ont propose des methodes exactes ainsi que des heuristiques pour un probleme de owshop sur deux machines bicritere, note F2==Lex(Cmax; C).

Belton et Elder [13], se sont interesses a un probleme de jobshop ou la performance des solutions est mesuree selon dix criteres, dont la plupart, pris individuellement, rendent le probleme NP-dicile. Ils adoptent une approche heuristique de reso-lution, utilisant une somme ponderee des sept parametres d'entree, pour fournir une solution initiale au decideur. Ils insistent sur l'inter^et d'avoir des methodes in-teractives permettant au decideur d'agir sur la solution proposee, mais aimeraient proposer un mechanisme de contr^ole systematique permettant de reagir automa-tiquement, en fonction de la solution trouvee, sur les parametres d'entree an de reexecuter l'heuristique et obtenir une meilleure solution. La realisabilite d'un tel mechanisme de contr^ole impose de trouver des correlations entre les parametres d'entree et les performances mesurees, ce qui permettrait a une heuristique de contr^oler les performances des solutions. Ils etudient alors les relations existantes entre les poids donnes aux parametres d'entree et les performances des solutions trouvees, et concluent que ces relations ne sont pas directes.