Modelisation du probleme global

Dans cette partie, nous exposons une formulation mathematique de la problema-tique qui permet une meilleure comprehension du probleme et de ses contraintes. La taille de ce programme lineaire mixte augmente tres rapidement lorsque l'on considere plusieurs produits et plusieurs periodes. De plus, certaines variables de decision sont bivalentes ce qui rend l'obtention de solutions optimales ou m^eme simplement realisables dicile. C'est pourquoi, ce programme lineaire ne pourra ^etre exploite tel quel pour la resolution du probleme, mais permet neanmoins d'en preciser les contraintes et de comprendre l'in uence des aspects de production sur les aspects de distribution et vice-versa.

4.2.2.1 Les donnees du probleme

Les donnees du probleme concernent la production, le stockage et les clients. Les indices i et j sont relatifs aux produits, l'indice m aux machines (ou lignes de production), l'indice s aux stocks, l'indice c aux clients et l'exposant t aux pe-riodes.

Production

Tpim,Cpim : Temps et co^ut de production de i sur m (en heures par millier). Tcijm, Ccijm : Temps et co^ut de changement lors du passage de i a j sur m. Btm : Capacite du processeur m pour la periode t (en heures).

Stockage

Ctms : Co^ut de transport de m a s (par unite de volume). Ks : Capacite de stockage du stock s (en volume). Vi : Volume du produit i (pour un millier de produit).

Csis : Co^ut de stockage de i dans le stock s (par millier). Details: Ceis: Co^ut d'entree en stock.

Cdis: Co^ut de sortie.

Ciis: Co^ut d'immobilisation.

Clients

Nous considerons que les clients passent leurs commandes pour une periode don-nee, sans precision supplementaire sur la date de livraison.

4.2. POSITIONNEMENT DE LA PROBL 

EMATIQUE 133

Dtic : Demande en produiti du client c pour la periode t (par millier). Clsc : Co^ut de livraison de s a c (par unite de volume).

Camc : Co^ut d'acheminement de m a c (par unite de volume).

4.2.2.2 Les variables de decision

Les variables necessaires a la modelisation du probleme concernent les decisions a prendre au niveau de la production, du stockage et du transport. Les variables concernant l'aectation et l'ordonnancement des productions sur les lignes sont de m^eme type que les variables utilisees dans le chapitre 3 pour le probleme d'or-donnancement sur machines paralleles. La dierence est qu'il s'agit d'aecter la production d'un type de produit dont la quantite reste a determiner par d'autres variables, tandis que pour le probleme d'ordonnancement sur machines paralleles, il s'agissait d'aecter l'execution complete d'une t^ache (tout ou rien).

Production

qtim : Quantite de i fabriquee sur m pendant t (en millier). ytilm : = 1 si i est fabrique en position l sur m pendant t,

: = 0 sinon.

xtijm : = 1 si j suit immediatement i sur m pendant t, : = 0 sinon.

Stockage

ttims : Quantite de i transportee depuis m jusqu'a s pendant t (en millier). stis : Quantite de i dans le stock s a la n de t (en millier).

Livraison

atimc : Quantite de i acheminee directement de m a c pendant t (en millier). ltimc : Quantite de i livree depuis s jusqu'a c pendant t (en millier).

4.2.2.3 Les contraintes

De m^eme les contraintes permettant de modeliser le probleme se situent aux dif-ferents niveaux de la problematique. Au niveau de la production, il faut verier le respect des capacites de production, le bon encha^nement des produits et la prise en compte des temps de changement entre produits dierents. Au niveau du stockage, les contraintes concernent le respect des capacites de stockage, et l'equilibrage entre les entrees et sorties. Finalement, au niveau des clients, les contraintes assurent chaque client d'obtenir sa demande. Ces contraintes sont ex-posees ci-dessous.

Production

Tout d'abord, les inequations (4.1) permettent de s'assurer que pour chacune des lignes, le temps passe a la production et aux changements, pendant une periode, ne depasse pas la capacite horaire de la ligne pour cette periode.

X

i qtimTpim+X

i

X

j xtijmTctijm Btm 8m;8t (4.1) Les contraintes suivantes (4.2 - 4.6) permettent de denir l'encha^nement des produits et de comptabiliser les temps de changement. Ainsi, les inegalites (4.2) aectent a chaque produit, dont la quantite fabriquee sur une ligne pendant une periode donnee est non nulle, une place dans l'ordonnancement (HV repre-sente une grande valeur). L'inequation suivante (4.3) s'assure qu'une place de l'ordonnancement n'est utilisee que par la fabrication d'un seul produit, tandis que l'inequation (4.4) verie qu'un produit n'est fabrique qu'une seule fois sur une machine donnee pendant une periode (coherence avec la minimisation des temps et co^uts de changements). Ensuite, l'inequation (4.5) assure la continuite de l'ordonnancement en interdisant a une production d'occuper la place l + 1 si aucune production n'occupe la place l. Enn, les contraintes (4.6) positionnent les variables de successionxtijm a 1 lorsque les produits i et j se succedent sur la machinem pendant la periode t, ce qui permet de considerer les temps et co^uts de changement entre produits successifs.

qtim,HV  X l ytilm 0 8i;8m;8t (4.2) X i ytilm 1 8l;8m;8t (4.3) X l ytilm 1 8i;8m;8t (4.4) X i yti(l+1)m, X i ytilm 0 8l;8m;8t (4.5) ytj(l+1)m+ytilm,xtijm 1 8i;8j;8l;8m;8t (4.6) De m^eme que pour l'encha^nement des produits au sein d'une periode, l'encha^ne-ment des produits entre periodes doit ^etre considere. Nous prenons la convention de toujours terminer une periode avec une production (ou eventuellement un temps mort) et de commencer la periode suivante avec un changement de pro-duction qui peut ^etre nul si la fabrication d'un m^eme produit termine une periode et commence la suivante. Ainsi, nous interdisons aux changements de production d'intervenir au moment des changements de periode (cas tres diciles a mo-deliser). Dans ce contexte, les contraintes (4.7) positionnent les indicateurs de

4.2. POSITIONNEMENT DE LA PROBL 

EMATIQUE 135

changement (variables xt+1_ijm), entre le dernier produit i de la periode t et le pre-mier produit j de la periode t+1, a 1. Le dernier produit de la periode t est celui qui n'a pas de successeur c'est-a-dire celui pour lequel, la somme P

jP l0>lytjl0m est nulle. yt+1_j1m+ytilm, X j X l0>lytjl0m,xt+1_ijm 1 8i;8j;8l;8m;8t (4.7)

Stockage

Un niveau du stockage, un premier type de contraintes est necessaire pour per-mettre la conservation du ot de produits passant par les stocks. Ainsi, l'equation (4.8) indique que la quantite de produit i stockee en s a la n de la periode t est egale a la quantite transportee jusqu'a ce stock pendant la periode t plus la quantite deja presente en n de periode t,1 moins la quantite livree aux clients depuis le stock pendant t. Les contraintes (4.9), quant a elles, assurent le respect des capacites de stockage.

X m ttims+stis,1, X c ltisc,stis = 0 8i;8s;8t (4.8) X i stisVi Ks 8s;8t (4.9)

Livraison

Les deux ensembles de contraintes qui suivent, gerent le transport des marchan-dises. Tout d'abord, les contraintes (4.10) s'assurent que chaque client recoit bien la quantite de produit demandee, au bon moment. Puis les contraintes (4.11) expriment que la quantite de produit i acheminee directement aux clients depuis une ligne de production plus la quantite transportee jusqu'aux stocks depuis cette ligne est egale a la quantite produite sur la ligne.

X m atimc+X s ltisc =Dtic 8c;8i;8t (4.10) qtim, X c atimc, X s ttims = 0 8i;8m;8t (4.11)