Integralite

EMATIQUE 135

changement (variables xt+1_ijm), entre le dernier produit i de la periode t et le pre-mier produit j de la periode t+1, a 1. Le dernier produit de la periode t est celui qui n'a pas de successeur c'est-a-dire celui pour lequel, la somme P

jP l0>lytjl0m est nulle. yt+1_j1m+ytilm, X j X l0>lytjl0m,xt+1_ijm 1 8i;8j;8l;8m;8t (4.7)

Stockage

Un niveau du stockage, un premier type de contraintes est necessaire pour per-mettre la conservation du ot de produits passant par les stocks. Ainsi, l'equation (4.8) indique que la quantite de produit i stockee en s a la n de la periode t est egale a la quantite transportee jusqu'a ce stock pendant la periode t plus la quantite deja presente en n de periode t,1 moins la quantite livree aux clients depuis le stock pendant t. Les contraintes (4.9), quant a elles, assurent le respect des capacites de stockage.

X m ttims+stis,1, X c ltisc,stis = 0 8i;8s;8t (4.8) X i stisVi Ks 8s;8t (4.9)

Livraison

Les deux ensembles de contraintes qui suivent, gerent le transport des marchan-dises. Tout d'abord, les contraintes (4.10) s'assurent que chaque client recoit bien la quantite de produit demandee, au bon moment. Puis les contraintes (4.11) expriment que la quantite de produit i acheminee directement aux clients depuis une ligne de production plus la quantite transportee jusqu'aux stocks depuis cette ligne est egale a la quantite produite sur la ligne.

X m atimc+X s ltisc =Dtic 8c;8i;8t (4.10) qtim, X c atimc, X s ttims = 0 8i;8m;8t (4.11)

Integralite

Les contraintes suivantes determinent le domaine de validite de chacune des va-riables.

ytilm;xtijm 2f0;1g 8i;8j;8l;8m;8t (4.12) qtim;ttims;stis;atimc;ltisc 0 8i;8m;8s;8c;8t (4.13)

En fait, il s'avere que les contraintes d'integralite sont redondantes et que seule l'integralite sur les variables ytilm est necessaire. En eet, les contraintes (4.6) et (4.7) susent, dans le cas d'une minimisation, pour positionner les variablesxtijm

a 0 ou a 1, sans qu'il soit necessaire de le preciser. Ainsi, les domaines de validite des variables peuvent ^etre decrits par:

ytilm 2f0;1g 8i;8l;8m;8t

xtijm;qtim;ttims;stis;atimc;ltisc 0 8i;8j;8m;8s;8c;8t

(4.12') (4.13')

4.2.2.4 La fonction objectif

L'objectif de l'etude de ce probleme est la minimisation de l'ensemble des co^uts (production, changement, transport, stockage), ce qui peut ^etre modelise par la fonction suivante. X t X i [X m(qtimCpim+X j xtijmCcijm+X s ttimsViCtms+X c atimcViCamc) +X s (X c ltiscViClsc+stisCsis)] (4.14) Le premier terme correspond aux co^uts de production, le deuxieme aux co^uts relatifs aux changements. Les trois terme suivants correspondent aux dierents types de transport: transports lignes-stocks, acheminements lignes-clients et li-vraisons stocks-clients. Enn le dernier terme est relatif aux frais de stockage, consideres de facon globale.

4.2.3 Description du probleme etudie

Ayant presente precisement le probleme tel qu'il a ete expose initialement, nous proposons maintenant de denir quels sont les elements consideres ici. En fait, dans la suite du chapitre, nous allons etudier la problematique avec ses aspects:

{ multisite (plusieurs sites repartis sur un territoire),

{ multiproduit (avec des lignes de production de comportement dierents vis a vis des produits et des temps de changements dependants de la sequence entre les produits),

{ monoperiode (les aspects de stockage n'interviennent pas).

Comme nous l'avons expose plus haut, en vue de minimiser l'ensemble des co^uts, un compromis est a trouver entre trois decisions possibles et souvent contradic-toires:

{ aecter les produits sur leur(s) meilleure(s)ligne(s) pour minimiserles co^uts de production,

4.2. POSITIONNEMENT DE LA PROBL 

EMATIQUE 137

{ regrouper les produits semblables sur des m^emes lignes pour diminuer les co^uts de changement,

{ fabriquer les produits dans les usines proches des clients pour diminuer les co^uts de distribution.

Ces trois elements sont tres importants et aucun ne peut ^etre neglige. En parti-culier, il est necessaire, a tout niveau, de considerer les temps de changement car ceux-ci peuvent durer jusqu'a six jours et diminuent fortement les capacites de production. Ainsi, notre etude porte, non seulement sur la recherche d'une aec-tation des produits aux lignes mais, egalement sur la recherche des sequencements des produits sur les lignes qui permettent d'evaluer les temps et co^uts associes aux changements et donc de contr^oler le respect des capacites de production des lignes. Nous nous interessons alors a la recherche, pour une periode donnee, de l'aectation et de l'ordonnancement d'un ensemble de produits sur un ensemble de lignes de production, de caracteristiques dierentes, reparties sur une zone geographique, de facon a minimiser les co^uts de production, de changement et de distribution aux clients. Le stockage n'etant pas considere dans ce probleme monoperiode.

Pour traiter ce probleme tres general, nous modions, comme dans la premiere partie du document, la notion de produit. Dans la problematique, les clients commandent une certaine quantite de produits. Nous appelons une t^ache, la fa-brication d'une demande. De cette facon, la notion de destination d'un produit est integree dans la caracterisation de la t^ache a realiser et les co^uts de distri-bution ne dependent alors que de la t^ache et de la ligne de fabrication. Si une demande est trop importante (quantite trop importante pour ^etre produite par une seule machine), elle est decoupee en plusieurs t^aches.

Ainsi, les dierents elements du systeme de production a considerer sont: F = f1:::jFjg ensemble des fabriques (usines).

M = f1:::jMjg ensemble des lignes de production (non liees). J = f1:::jJjg ensemble des t^aches a realiser.

Les donnees sont:

Tpim : temps de production de la t^achei sur la ligne m. Cpim : co^ut de production de la t^achei sur la ligne m. Tcijm : temps de changement entrei et j sur la ligne m. Ccijm : co^ut de changement entre i et j sur la ligne m. Bm : capacite de la lignem.

Ctim : co^ut de distribution de la t^ache i depuis la ligne m (rappelons que la notion de destination est incluse dans la notion de t^ache).

4.3 Approche centralisee

La facon optimale de considerer ce probleme, serait de centraliser toute les de-mandes en un m^eme centre de decision qui procederait, en ayant une vue globale de l'ensemble du systeme de production, a l'ordonnancement des productions sur l'ensemble des lignes de la division industrielle.

Lorsque l'on considere une gestion centralisee de ce systeme, le probleme consiste en un probleme d'ordonnancement sur machines paralleles non liees, dispersees sur une zone geographique, avec temps de changement entre produits dependant de la sequence. Il peut donc ^etre modelise a l'aide du programme lineaire

PL1

presente section 3.2, lors de l'etude du probleme d'ordonnancement expose dans la premiere partie du document, avec les parametres adequats:

PL1

Comme nous l'avons vu au chapitre 3, ce probleme est dicile a resoudre et les methodes exactes ne sont utilisables que pour des problemes de petites tailles. Dans le cas d'une gestion centralisee, le probleme est de grande taille et seule des heuristiques, comme celles presentees au chapitre 3, permettent de trouver des solutions.

Pour cela, dans la partie suivante, nous proposons une decomposition spatiale protant de la repartition geographique des centres de production pour diviser le probleme global en sous-problemes de tailles plus petites de facon a utiliser de meilleures methodes de resolution [47].

4.4 Decomposition spatiale hierarchique

Lors de l'etude de problemes complexes faisant intervenir de nombreux para-metres, une methode couramment utilisee est la decomposition du probleme glo-bal en sous-problemes de tailles plus petites. An de tirer parti, au mieux, de l'aspect multisite du probleme, nous proposons d'adopter une decomposition spa-tiale [49].

M.C. Portmann indique qu'au niveau de l'atelier, "la decomposition spatiale cherche a constituer des sous-ateliers les plus independants possibles les uns des autres" [113]. Deux types de decoupage sont mis en evidence: le decoupage par fonction qui regroupe les machines qui correspondent a une m^eme phase de fa-brication et le decoupage par famille de produits, ou une famille de produits est (presque) entierement fabriquee au sein d'un groupe. Une methode de decompo-sition par famille de produits, inspiree d'une methode de resolution des problemes de technologies de groupe, est proposee pour la resolution de problemes d'ordon-nancement.

4.4. D 

ECOMPOSITION SPATIALE HI 

ERARCHIQUE 139

Pour une meilleure ecacite des methodes de decomposition, l'accent est porte sur la necessite d'obtenir des groupes independants, donnant des problemes pou-vant alors ^etre resolus separement et plus facilement que le probleme global [113]. C'est dans cette optique que nous proposons une decomposition basee sur des considerations spatiales. Nous rappelons ici que la particularite de notre etude est de se placer au niveau court terme pour la recherche de l'ordonnancement des lignes de production des dierents sites. Ainsi, la decomposition spatiale propo-see divise le probleme global en plusieurs sous-problemes, lies par une structure hierarchique a plusieurs niveaux, chaque niveau ayant le m^eme horizon de plani-cation.

Pour decrire la decomposition spatiale et la structure hierarchique necessaire a la coordination des sous-problemes, nous presentons, tout d'abord, le schema global de la structure. Puis nous detaillons les dierents elements de cette structure avec leurs donnees et resultats. Enn, nous terminons par decrire les echanges de donnees necessaires entre ces elements.

4.4.1 Schema global

Le systeme est decompose en quatre niveaux (voir gure 4.1). Le premier niveau (compose de la division industrielle toute entiere) est le plus general. Le niveau quatre (compose des lignes de production) est le plus precis.

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Directives ^{Remontées d’informations} (Toutes ne sont pas représentées)

Division globale

Affectation aux usines Répartition par régions

Niveau 4

Affectation aux lignes

Etant donne l'importance des co^uts de distribution (du m^eme ordre que les co^uts de fabrication), la localisation des clients par rapport aux usines est un facteur important. C'est pourquoi, nous proposons une decomposition spatiale qui re-groupe les usines en regions geographiques (comme dans Proust et Grunenberger [116]). Ces regions sont construites en fonction de la localisation des clients et des caracteristiques des lignes de production des usines. Les clients sont ensuite aectes, en fonction de leur position geographique essentiellement,a une region et adressent leurs demandes a cette region qui doit ensuite les repartir sur l'ensemble de ses usines.

4.4.2 Niveau 1: Le niveau central - C

Le r^ole du niveau central est de repartir les usines en regions en fonction de la dispersion des clients et du type de leur demande. Pour cela il se base sur les don-nees concernant plusieurs andon-nees de fonctionnement an de pouvoir equilibrer les demandes et les capacites de production. Il prend des decisions a long terme qui peuvent de temps en temps modier la composition en regions en deplacant une usine d'une region a une autre.

Egalement, le niveau central prend les decisions concernant l'anticipation des pe-riodes de fortes demandes et peut imposer a certaines regions de produire des demandes supplementaires de facon a remplir les stocks et pouvoir repondre a la demande des clients en periodes de sous-capacites de production. En eet, les demandes en bo^tes de boissons varient d'une periode a l'autre en fonction de la saison. Au printemps, les demandes augmentent tres fortement pour diminuer des la n de l'ete. Il est alors necessaire de prevoir ces variations et de produire en avance. Ainsi, pendant les periodes de faible demande, une demande visant a remplir les stocks (Dis) est ajoutee a la demande des clients, alors que pendant les periodes de fortes demandes, des produits issus des stocks sont utilises pour satisfaire les clients (correspond alors a desDisnegatifs). A ce niveau, les donnees et resultats sont les suivants: