Modelisation multi-periode



ELISATION MULTI-P 

ERIODE 163

5.2.4 Fonction objectif mono-periode

La fonction objectif concerne la minimisation de l'ensemble des co^uts. Dans le probleme mono-periode, les co^uts sont composes des co^uts de production, de changement de production et de transport (lignes-stocks et stocks-clients). La fonction objectif est exprimee par l'equation (5.13)

min X m (X i CPimpim+ X s2S(m)CCsmyms) +X w (X i X m CTmw timw +X c CTwcqwc) (5.13) Le modele propose pour le probleme mono-periode est le programme lineaire mixte P consistant en la minimisation de la fonction objectif (5.13) sous les contraintes (5.1-5.12).

5.3 Modelisation multi-periode

Le modele P expose dans la section precedente represente le systeme pendant une seule periode. Comme nous sommes dans un environnement ou la demande varie fortement d'une saison a l'autre, il est necessaire d'etendre ce modele de facon a pouvoir considerer plusieurs periodes. Pour cela, nous reutilisons le pro-gramme lineaire mixte P, autant de fois que le nombre de periodes souhaitees. Les periodes sont indexees par t et les dierentes copies de P sont distinguees par un exposant qui indique la periode a laquelle elles font reference. De la m^eme maniere, tous les parametres et variables lies a la periodet sont marques de l'ex-posant t (exemple: ttimw = quantite de produit i transportee depuis la ligne m jusqu'au stock w pendant la periode t).

Il est maintenant necessaire de lier correctement l'ensemble de ces problemesPt. Deux types de liens existent entre deux periodes adjacentes. Ils concernent le sto-ckage des produits et le choix des sequences des lignes de production.

La gure 5.3 presente le modele du probleme multi-periode. Sur cette gure, les liens entre les stocks de dierentes periodes sont representes car ils correspondent physiquement a des ux de produits, tandis que les liens existant entre sequences de periodes adjacentes ne le sont pas, car ils ne representent rien physiquement,et ne sont que des liens logiques. Ils seront exprimes plus loin sous forme d'equations.

5.3.1 Le stockage

De facon a anticiper les periodes de fortes demandes, il est necessaire de produire en avance certains produits puis de les stocker.

t-1 t+1 t P P P Stocks Depuis t-2 Lignes Etats Clients Periode t-1 Periode t Periode t+1 Vers t+2

Fig. 5.3 - Le modele multi-periode

Modelisation graphique

Des arcs sont necessaires pour relier un m^eme stock entre deux periodes adjacentes. Les produits circulant le long de ces arcs representent les pro-duits restant en stock, d'une periode a l'autre. Des co^uts de stockage sont associes a ces ux de produits.

Modelisation formelle

Lors de la presentation du modelemonoperiode, nous avons propose les contraintes 5.7 pour veiller au respect des capacites de stockage. Ces contraintes, en environ-nement multiperiode, vont proceder a une verication de ces capacites en n de chaque periode (etant donnees les denitions des dierentes variables). Cela peut donc appara^tre comme une simplication du modele qui devrait verier a tout instant que la capacitee est respectee. En fait cela peut ^etre justie par le fait que les commandes des clients sont passees pour certaines periodes. Ainsi, des qu'une commande, qui doit ^etre livree dans la periode courante est pr^ete, elle est envoyee au client. De cette facon, en cours de periode, le volume de produits stockes ne

5.3. MOD 

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depasse pas celui de la n de la periode qui correspond aux commandes produites en avance pour les periodes futures.

D'autre part, les autres contraintes a satisfaire visent la conservation des ux de produits.

Les contraintes (5.8') veillent a l'equilibrage des ux de produits. En fait, les contraintes 5.8 et 5.10 du modele mono-periode ne sont pas completes pour le probleme multi-periode et doivent ^etre remplacees par la contrainte (5.8').

Les ux de produits arrivant a un stock sont composes des produits transportes depuis l'ensemble des lignes vers ce stock, plus les produits deja en stock a la n de la periode precedente. De la m^eme maniere, les ux de produits sortant d'un stock sont composes des produits livres aux clients et des produits restant en stock pour la periode suivante.

s t iw q t wc s iw t-1 t t imw C(i) X m ttimw +stiw,1, X c2C(i)qtwc,stiw = 0 8t;8w;8i stiw 0 8t;8w;8i (5.14) (5.8')

5.3.2 Choix des sequences

Le second type de liens existant entre les periodes concerne le choix des sequences pour chacune des lignes de production. Ces liens ne sont pas representes graphi-quement car ils ne re etent pas de ux de produits.

Modelisation formelle

Dans la presentation du probleme, nous avons indique que les changements de productions etaient interdits aux moment des changements de periodes. Il en de-coule, qu'une ligne de production doit commencer une periode en fabriquant le m^eme produit qu'a la n de la periode precedente. Ainsi, a chaque periode, la sequence choisie doit ^etre compatible avec les sequences choisies pour la periode precedente et la periode suivante. Nous denissons les ensembles de predecesseurs PR(s) et successeurs SU(s) compatibles avec chaque sequence s d'une ligne don-nee. Par exemple, pour une ligne de type L2, fabriquant les produits A et B, PR(AB) =fA;BAgand SU(AB) =fB;BAg).

Il existe plusieurs facons d'exprimer les compatibilites et incompatibilites entre les sequences d'une m^eme ligne pour des periodes adjacentes. Chacune de ces facons mene a un type de contraintes. Nous en proposons plusieurs ci-dessous.