L’algorithme de Lanczos permet d’acc´eder `a toutes les quantit´es souhait´ees et avec une pr´ecision remarquable. Malheureusement, le seul d´efaut de la m´ethode est de ne pouvoir traiter que des petits syst`emes, ce qui n’est pas toujours suffisant pour pouvoir extrapoler `a la limite thermodynamique.
En utilisant des m´ethodes de chimie quantique [125], Riera et Dagotto ont pro- pos´e d’am´eliorer les performances de cet algorithme en utilisant une portion seulement de l’espace de Hilbert pour des probl`emes de fermions corr´el´es [126, 127]. `A cause des difficult´es dans le choix de la base, ils sont toutefois limit´es `a certains mod`eles tel que t–Jz.
Ces id´ees ont regagn´e un peu d’int´erˆet dans l’´etude des ´echelles de spin dop´es. En effet, suite `a la suggestion de certains th´eoriciens comme Rice comme quoi un tel syst`eme pourrait ˆetre supraconducteur, des compos´es ont effectivement ´et´e r´ealis´es et confirment cette pr´ediction. Il s’ensuivit d`es lors une intense activit´e dans l’´etude de ces ´echelles. Il apparaˆıt comme bien ´etabli que la tendance de ces syst`emes est de former des singulets sur les barreaux. En effet, cela est clair dans le cas non dop´e et `a la limite d’un fort couplage sur les barreaux ; des arguments analytiques et num´eriques ont confirm´e cette image au-del`a du couplage fort. En introduisant deux trous dans un tel syst`eme, il est plus avantageux, d’un point de vue ´energ´etique, pour les trous de se placer sur un mˆeme barreau : il apparaˆıt un appariement effectif qui peut conduire `a une condensation de ces paires et `a de la supraconductivit´e. Bien entendu, ce sc´enario est trop simpliste et il faudrait pouvoir ´etudier ce probl`eme plus pr´ecis´ement. Dagotto et coll. proposent `a cet effet de r´eduire l’espace de Hilbert en ne gardant que certains ´etats (( importants )) [128] afin de pouvoir acc´eder `a de plus grosses tailles dans les simulations num´eriques. Mentionnons que cette id´ee consistant `a restreindre le nombre d’´etats est ´egalement utilis´ee dans l’algorithme de DMRG (abr´eviation anglaise pour Groupe de Renormalisation de la Matrice Densit´e) qui a permis d’obtenir d’excellents
2. M´ethode de Lanczos tronqu´e r´esultats pour les syst`emes unidimensionnels [129, 130].
Pour l’instant, cette m´ethode de troncature de l’espace de Hilbert a ´et´e utilis´ee dans des ´echelles `a deux montants. Nous proposons d’´etendre cela `a tout syst`eme constitu´e de sous-unit´es faiblement coupl´ees. Cette m´ethode permettra alors de travailler avec de plus grands syst`emes et d’obtenir une tr`es bonne pr´ecision ; mais surtout, un ´enorme avantage est de conserver toutes les sym´etries du syst`eme comme dans l’algorithme de Lanczos. PSfrag replacements S S S S S H⊥ H⊥ H⊥ H⊥ H⊥
Fig. III.10 – Sch´ema g´en´erique de sous-syst`emes S coupl´es par un hamiltonien H⊥. Nous allons d´etailler le principe de cet algorithme avant de passer `a des exemples.
i) Principe
Imaginons un syst`eme constitu´e de sous-unit´es S r´egies par un hamiltonien H0
faiblement coupl´ees entre elles par un hamiltonien H⊥ (sch´ematis´e sur la figure III.10). L’id´ee de la m´ethode est de traiter le probl`eme par la th´eorie des perturbations tout en conservant les sym´etries, et donc les nombres quantiques, du probl`eme global.
On commence donc par diagonaliser compl`etement et exactement le probl`eme dans un sous-syst`eme S et on stocke tous les ´etats propres en fonction du remplissage et des nombres quantiques (impulsion, ´etat de spin etc.). Puis, il va s’agir d’´ecrire la matrice de H⊥ dans la base form´ee par les produits tensoriels des ´etats propres de S. En effet, par d´efinition mˆeme de cette base, la partie H0 qui ne couple pas les chaˆınes est diagonale et donc triviale `a ´ecrire. `A l’inverse, l’op´erateur H⊥ poss`ede une structure simple dans la base des sites (il s’agira typiquement de couplage Heisenberg ou cin´etique) mais sa matrice r´e´ecrite dans la base des produits tensoriels d’´etats propres poss´edera beaucoup moins d’´el´ements non nuls.
ii) Convergence de l’algorithme
Pour l’instant, il ne s’agit que d’une r´e´ecriture dans une nouvelle base et on peut toujours pas r´esoudre exactement le probl`eme global. Nous allons donc proc´eder par it´erations en ne gardant que les meilleurs ´etats `a chaque ´etape. Plus pr´ecis´ement, on d´emarre en prenant l’´etat form´e par le produit tensoriel des fondamentaux de chaque
sous-syst`eme S en l’absence de couplage ; puis, on applique H⊥ pour engendrer une
base B0 dans laquelle nous diagonalisons H et nous calculons le fondamental. `A par-
tir de l`a, il ne faut conserver qu’un certain nombre d’´etats, par exemple ceux ayant un recouvrement avec le fondamental sup´erieur `a un certain poids fix´e `a l’avance, et reprendre l’algorithme `a l’´etape initiale.
Bien entendu, dans un secteur de sym´etrie fix´e, l’´etat fondamental exact du syst`eme est une combinaison lin´eaire de tous les vecteurs de base et, par cons´equent, en se limitant `a certains ´etats seulement, on ne peut pas obtenir le fondamental exact. Par contre, on peut obtenir un ´etat qui aura un recouvrement tr`es proche de un avec le vrai fondamental et donc une tr`es bonne approximation de l’´energie.
Chapitre III. M´ethodes num´eriques
iii) Choix des ´etats `a conserver
`
A chaque ´etape de cet algorithme, il ne faut conserver que certains ´etats qui doivent ˆetre les plus importants dans un certain sens `a pr´eciser. Nous avons propos´e de prendre comme crit`ere le recouvrement sur l’´etat fondamental mais nous voulons v´erifier que d’autres choix conduisent aux mˆemes ´etats. En effet, dans une th´eorie de perturbations comme celle-ci, on sait que les ´etats sont d’autant plus importants que leur ´energie non
perturb´ee est proche de celle du fondamental de H0, et, par cons´equent, on peut ne
garder que les ´etats qui ont une ´energie non perturb´ee proche de E0. Nous v´erifions alors que ces ´etats sont effectivement ceux qui ont un fort recouvrement avec le fondamental. Nous allons pr´esenter un exemple d’application de cet algorithme aux ´echelles de spin. Nous discuterons les performances de notre algorithme en comparant aux r´esultats exacts quand ils existent.