Le crit`ere de coh´erence ´enonc´e par Clarke, Strong et Anderson [74] est issu d’une analogie formelle entre deux liquides de Luttinger coupl´es et un syst`eme `a deux niveaux coupl´e `a un bain thermique. Dans ce dernier cas, le concept de coh´erence est exactement celui de la coh´erence quantique des ´etats : il s’agit d’´etudier la probabilit´e de retour du syst`eme dans son ´etat initial.
De mani`ere pr´ecise, consid´erons le syst`eme de deux liquides de Luttinger en l’ab- sence de saut avec une diff´erence ∆N de particules entre les deux et branchons le couplage `a t = 0 de sorte que le hamiltonien du syst`eme soit :
H0 = H + H
⊥, H|ψ0i = E0|ψ0i,
o`u |ψ0i d´esigne l’´etat de d´epart et H⊥ est le hamiltonien de saut transverse. Soit P (t) =|A(t)|2 la probabilit´e de retour dans l’´etat initial avec :
A(t) =hψ0|eiH 0t
e−iHt|ψ0i.
Pour des ´electrons libres, cette probabilit´e peut ˆetre calcul´ee exactement et vaut
P (t) = | cos∆N(t⊥t) + i∆Nsin∆N(t⊥t)|2. (IV.16)
Elle pr´esente des oscillations caract´eristiques d’un comportement coh´erent avec une p´eriode de π/(4t⊥).
Quand on branche des interactions, on s’attend `a ce que les particules se r´epartissent uniform´ement sur chaque chaˆıne en moyenne et donc, P (t) tend vers 0 quand t tend vers l’infini. Par contre, il subsiste deux comportements possibles suivant la coh´erence ou non du saut : un comportement coh´erent (incoh´erent) sera caract´eris´e par la pr´esence (absence) d’oscillations.
Cette d´efinition se traduit directement pour la transform´ee de Fourier P (E) de P (t). Dans le cas coh´erent, P (E) poss`ede des pics aux ´energies±E0 tandis que le cas incoh´erent se caract´erise par une large structure autour de E = 0.
i) Analogie avec un syst`eme `a deux niveaux
Le syst`eme le plus simple consiste `a coupler un ´etat `a deux niveaux (spin 1/2) `a un bain d’oscillateurs harmoniques. Ce mod`ele, appel´e (( spin-boson )) dans la litt´erature, a ´et´e largement ´etudi´e et on peut montrer que plusieurs probl`emes fermioniques s’y ram`enent [152, 153]. Dans le r´egime ohmique, il existe plusieurs comportements en fonction de la valeur du couplage α.
Consid´erons en effet la valeur moyenne P (t) de l’op´erateur de spin selon z au cours du temps. En l’absence de couplage (α = 0), elle oscille de mani`ere sinuso¨ıdale ; puis, en branchant le couplage, les effets d’interf´erences vont d´etruire ces oscillations et on sait que pour α = 1/2, le comportement de P (t) est une exponentielle d´ecroissante [152].
Or, la forme bosonis´ee d’un couplage interchaˆıne se met sous une forme similaire au terme spin-boson ci-dessus et cela a amen´e Clarke, Strong et Anderson [74] `a proposer que le comportement de P (t) pour des chaˆınes fermioniques coupl´ees d´epend de la valeur du param`etre α du liquide de Luttinger pour une chaˆıne. Ils conjecturent 95
Chapitre IV. ´Etude de syst`emes de chaˆınes de fermions coupl´ees
que la transition entre les comportements coh´erent et incoh´erent se situe autour de α = 1/2. Toutefois, l’analogie n’est pas compl`ete puisque dans le cas des chaˆınes coupl´ees, ce sont les mˆemes particules qui jouent le rˆole du syst`eme `a deux niveaux et du bain et, en outre, les degr´es de libert´e de spin qui sont d´ecoupl´es de ceux de charge peuvent faciliter un comportement incoh´erent. En effet, les excitations de spin et de charge qui sont s´epar´ees spatialement en une dimension doivent se propager ensemble entre les chaˆınes ce qui doit ˆetre (( difficile )) [146]. Il faut ´egalement insister sur le fait que ces mod`eles ne sont pas exactement solubles et il n’est pas du tout ´evident que le r´egime coh´erent s’´etende au-del`a de α = 0. En effet, d’apr`es Chakravarty, ce comportement coh´erent pour α < 1/2 n’est apparemment valable que pour des temps courts [153] et n’est pas repr´esentatif de la dynamique.
ii) Lien avec l’int´egrabilit´e du mod`ele
En calculant cette probabilit´e de retour exactement pour des ´echelles t–J, Mila et Poilblanc [154] ont montr´e que son comportement aux petits temps n’´etait pas seulement fonction de α, comme cela a ´et´e sugg´er´e pr´ec´edemment, mais d´ependait fortement du caract`ere int´egrable ou non du mod`ele2.
En effet, pour un syst`eme int´egrable, les niveaux d’´energie peuvent ˆetre fortement d´eg´en´er´es et l’effet d’un terme de saut peut se r´esumer `a la s´eparation de ces niveaux d’une quantit´e proportionnelle `a t⊥, ce qui donne lieu `a de la coh´erence (cf. le cas sans interactions (IV.16)).
Au contraire, quand le syst`eme n’est plus int´egrable, la r´epulsion des niveaux va ´elargir la bande des fr´equences ce qui est susceptible de favoriser les interf´erences des- tructrices et l’incoh´erence.
De surcroˆıt, en accord avec [153], ces auteurs constatent que le comportement g´en´erique est incoh´erent, mˆeme avec un faible param`etre α = 0,1, et ils attirent l’at- tention sur le fait que le comportement de P (t) aux temps courts ne permet pas de conclure quant `a la coh´erence ou non du saut interchaˆıne.
En conclusion, la notion de coh´erence est essentielle dans l’interpr´etation des donn´ees exp´erimentales et dans la compr´ehension de la physique de ces syst`emes, mais il va fal- loir utiliser d’autres m´ethodes pour pouvoir comprendre le syst`eme de deux chaˆınes.
Il faudrait donc comprendre si, dans un syst`eme de deux chaˆınes, un faible saut transverse induit une s´eparation des deux bandes de dispersion et un comportement transverse coh´erent ou non. Cette question peut ˆetre d´ebattue par de nombreuses m´ethodes et nous allons rappeler les diff´erentes pr´edictions avant de pr´esenter nos r´esultats.
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Diff´erentes approches analytiques
Les diverses propositions concernant l’´etat fondamental d’un syst`eme de liquides de Luttinger coupl´es se rangent en deux grandes cat´egories. On consid`ere soit qu’un syst`eme de deux chaˆınes est suffisant, soit qu’il faut ´etudier un grand nombre de chaˆınes coupl´ees et nous allons voir ce qui se passe dans chaque cas.
2. Diff´erentes approches analytiques