Groupe de renormalisation

i) M´ethode de couplage faible pour N chaˆınes

Cas de deux chaˆınes

Fabrizioet coll. ont ´etudi´e l’effet d’un terme de saut interchaˆıne pour un syst`eme de deux chaˆınes de Hubbard coupl´ees en analysant l’´evolution des constantes de cou- plage lors de l’int´egration du flot de renormalisation [158, 159]. Il s’agit d’une m´ethode

2. Diff´erentes approches analytiques de couplage faible, valable pour U < t_⊥: ils introduisent d’abord deux bandes s´epar´ees de t_⊥ puis ils ´etudient les effets d’une interaction U . L’´etude du flot fait apparaˆıtre des phases de couplage fort pour lesquelles l’analyse perturbative n’est ´evidemment plus valable. En particulier, il semble exister une phase supraconductrice de type d dans un mod`ele purement r´epulsif; ils trouvent ´egalement une phase confin´ee avec une valeur effective du saut nulle.

C1S1

C1S1

C1S0

C2S1

C2S2

C0S1

C1S2

C1S0

dx

_-y

C0S0

C0S0

n

0

1/2

1

0

1

2

t

t

Fig.IV.3 – Diagramme de phase pour deux chaˆınes de Hubbard coupl´ees dans la limite

U _{→ 0}+_{. La notation CnSm d´esigne une phase comportant n modes de charge et m}

modes de spin sans gap (figure extraite de [160]).

Plus r´ecemment Balents et Fisher ont repris cette m´ethode du groupe de renor- malisation alli´ee `a la technique de bosonisation, afin d’obtenir le diagramme de phase de deux chaˆınes de Hubbard coupl´ees [160]. Apr`es avoir ´ecrit le hamiltonien dans sa forme bosonis´ee en incluant tous les processus possibles3_{, ces auteurs ´ecrivent les ´equations} de renormalisation de ces constantes de couplage. En int´egrant le flot, ils identifient alors celles qui divergent, ce qui signale l’ouverture d’un gap dans certains modes. Ils ne gardent alors que les param`etres pertinents pour d´ecrire un hamiltonien effectif et,

3. En particulier, ils consid`erent les processus Umklapp pour les remplissages commensurables.

Chapitre IV. ´Etude de syst`emes de chaˆınes de fermions coupl´ees

ainsi, ils proposent le diagramme de phase de la figure IV.3. S’agissant d’un r´esultat perturbatif, ce diagramme est valable dans la limite o`u l’interaction U → 0+_.

La phase dominante de ce syst`eme est C1S0, c’est-`a-dire que toutes les excitations de spin ont un gap, tandis qu’il ne reste qu’un seul mode de charge sans gap. En outre, ils confirment l’´emergence d’une phase supraconductrice de sym´etrie d. Nous allons voir si cette image est confirm´ee dans le r´egime de couplage fort, mais auparavant, nous discutons les phases qui existent pour un plus grand nombre de chaˆınes.

Cas de trois chaˆınes

Arrigonia trait´e le probl`eme de trois chaˆınes coupl´ees par la mˆeme m´ethode [161]. Bien sˆur, dans ce cas, il faut distinguer selon le type de conditions aux limites trans- verses qui peuvent ˆetre ouvertes ou p´eriodiques.

Au-del`a

Enfin, la mˆeme m´ethode a permis `a Lin, Balents et Fisher de discuter le dia- gramme de phase de N chaˆınes [162].

Cependant, cette approche a ´et´e critiqu´ee par Emery et coll. [163] pour plusieurs raisons. Premi`erement, la seule conclusion de l’analyse par le groupe de renormalisation est que le syst`eme de d´epart est instable vis-`a-vis de la perturbation. Deuxi`emement, en supposant que la phase de couplage fort puisse ˆetre d´etermin´ee par cette m´ethode, il faudrait v´erifier sa stabilit´e puisque certaines interactions qui ´etaient n´eglig´ees au d´epart, car non pertinentes, ont pu le devenir et peuvent d´estabiliser le point fixe. Enfin, un dernier commentaire concerne le traitement des op´erateurs marginaux. En modifiant ces points, ces auteurs obtiennent un diagramme de phase diff´erent. Il est donc souhaitable de pouvoir b´en´eficier d’autres m´ethodes afin de discuter ces r´egimes de couplage fort.

ii) M´ethodes de couplage fort pour deux chaˆınes

La bosonisation permet de traiter le saut interchaˆıne et les interactions sur un pied d’´egalit´e et on peut obtenir ainsi des r´esultats valables mˆeme en couplage fort.

Khveshchenko et Rice ont ´etudi´e le cas de deux chaˆınes de Hubbard coupl´ees

dans la limite de couplage fort U > t_⊥ [164]. Ils montrent l’existence d’une phase avec gap de spin bien au-del`a du demi-remplissage et ils observent ´egalement une phase contenant des fluctuations dominantes supraconductrices de type d en accord avec l’analyse pr´ec´edente.

Une discussion minutieuse de ce probl`eme a ´et´e faite par Schulz [165]. Il s’agit d’une extension au cas avec spin de la m´ethode d´ecrite dans la partie 1.1, qui avait permis d’´etablir le diagramme de phase d’une ´echelle de fermions sans spin (figure IV.2). Dans le cas g´en´erique, c’est-`a-dire en incluant tous les types d’interactions y compris la diffusion vers l’arri`ere g1, Schulz trouve que tous les modes de spin ont un gap et qu’il ne subsiste qu’un mode de charge sans gap : il s’agit d’une phase C1S0 en accord avec les arguments de couplage faible. En outre, le cas r´epulsif exhibe effectivement une tendance `a la supraconductivit´e d. Le diagramme de phase g´en´erique obtenu est d’ailleurs similaire `a celui du cas sans spin (voir la figure IV.4) puisque les mˆemes phases sont pr´esentes. Une nouvelle phase apparaˆıt pour des interactions tr`es r´epulsives : il

2. Diff´erentes approches analytiques PSfrag replacements g1 Kρ 1/2 1 0 mod`ele t–V AFO SCs ODCπ SCd ODC4kF

Fig. IV.4 – Diagramme de phase pour deux chaˆınes coupl´ees de fermions avec spin en

fonction de la constante de diffusion vers l’arri`ere g1 et du param`etre Kρ d´ecrivant le seul mode sans gap. Les diff´erentes phases sont d´efinies dans le texte. D’apr`es [165]. s’agit d’une onde de densit´e `a 4kF (ODC4kF). En outre, la possibilit´e d’existence, dans des ´echelles, de fluctuations dominantes supraconductrices pour des interactions purement r´epulsives est confirm´ee dans cette analyse. Rappelons que, dans le cas de fermions sans spin, cette phase n´ecessite des interactions attractives.

Depuis, de nombreuses v´erifications num´eriques ont confirm´e ces pr´edictions analy- tiques [166, 167, 168, 169, 170, 104, 171]. Soulignons que ces r´esultats sont ´egalement valables en couplage faible et fort ce qui laisse penser que ces phases doivent exister pour des interactions quelconques.

Enfin, pour conclure sur ces approches qui s’int´eressent `a un petit nombre de chaˆınes, il n’est pas ´evident que ces r´esultats soient identiques `a ceux trouv´es pour un grand nombre de chaˆınes, puisque le concept de coh´erence transverse n’a de sens qu’`a la limite thermodynamique. Nous poursuivons donc cette revue des pr´edictions analytiques par le cas d’un plus grand nombre de chaˆınes coupl´ees.