En effet, les propri´et´es macroscopiques des solides ne vont d´ependre que des excita- tions sur des ´echelles d’´energie, c’est-`a-dire de temp´erature, tr`es petites devant l’´energie de Fermi (typiquement de l’ordre de quelques eV). Par cons´equent, on peut d´ecrire ces excitations ´el´ementaires comme des ´etats dans lesquels des paires particules-trous sont excit´ees par rapport au fondamental du syst`eme. Ces excitations qui sont parfaite- ment d´efinies en l’absence d’interactions ´evoluent continˆument quand les interactions sont branch´ees de mani`ere adiabatique1. Ce sont les quasi-particules qui poss`edent les mˆemes propri´et´es que les ´electrons mis `a part des facteurs de renormalisation.
En continuant cette analyse, on pr´edit les mˆemes comportements en temp´erature que pour un gaz d’´electrons soumis `a des interactions r´esiduelles, mais en introduisant cependant de mani`ere ph´enom´enologique une masse effective etc. D’un point de vue plus formel, dans le cas isotrope, la fonction de Green du syst`eme peut se mettre sous la forme G(~k,ω) = 1 ε0(~k)− ω − Σ(~k,ω) = Ginc(~k,ω) + Z~k ω− v(|~k| − kF) + iu sgn(|~k| − kF)(|~k| − kF)2 (II.1)
o`u nous avons lin´earis´e le spectre des excitations au voisinage de la surface de Fermi.
1.2
Echec du liquide de Fermi en une dimension´
Pour clarifier les id´ees, nous consid´erons le cas d’un gaz d’´electrons sur r´eseau avec des termes de saut entre premiers voisins (mod`ele dit des liaisons fortes) et une interaction vers l’avant g. La relation de dispersion en l’absence d’interactions s’´ecrit : ε(k) =−2t cos(k) o`u t est l’amplitude du saut.
Apr`es avoir mis en ´evidence l’importance des excitations particule-trou dans la physique de basse ´energie d’un gaz d’´electrons, il est temps de s’int´eresser au cas particulier de la dimension un. En effet, alors qu’en dimension plus ´elev´ee, il existe de telles excitations pour des valeurs arbitraires de l’impulsion et de l’´energie, une des particularit´es de la dimension un est de contraindre les valeurs possibles (voir la figure II.1).
De surcroˆıt, `a une dimension, la (( surface )) de Fermi qui se r´esume aux deux points de Fermi poss`ede une propri´et´e dite d’emboˆıtement parfait, c’est-`a-dire qu’il existe un vecteur ~q ´egal `a 2kF (o`u kF est le vecteur d’onde de Fermi) qui fait correspondre deux parties de cette surface avec la propri´et´e suivante
ε(k + q) =−ε(k).
Il en r´esulte une divergence logarithmique des bulles de polarisation `a basse fr´equence et, par cons´equent, une approximation de phase al´eatoire pr´edirait la formation d’une Onde de Densit´e de Spin ou de Charge selon le signe de l’interaction. On voit une fois de plus que les syst`emes unidimensionnels sont tr`es enclins aux brisures de sym´etrie
1. Le paradigme du liquide de Fermi
PSfrag replacements
-2kF 2kF
ω(q)
q
Fig.II.1 – En gris´e, domaine d’existence des paires particule-trou en fonction de l’im- pulsion et de l’´energie en une dimension. Contrairement `a ce qui arrive en dimension plus ´elev´ee, il n’existe pas d’excitations de basse ´energie pour tous les vecteurs d’onde mais seulement pour q proche de 0 et 2kF.
et ce m´ecanisme d’instabilit´e a ´et´e d´ecouvert par Peierls [5]. Bien entendu, en vertu du th´eor`eme de Mermin-Wagner [3] qui stipule qu’il ne peut pas exister de brisure de sym´etrie en une dimension mˆeme `a temp´erature nulle, ces transitions pr´edites au niveau du champ moyen vont ˆetre d´etruites par les fluctuations quantiques ; par contre, un couplage interchaˆıne, mˆeme infime, suffit `a produire une vraie transition de phase `a temp´erature finie.
Essayons de calculer les corrections `a la fonction de Green aux premiers ordres en perturbation. Les techniques diagrammatiques standards [76] ram`enent ce probl`eme `a l’´evaluation de la self-´energie Σ qui est la somme de tous les diagrammes connexes (figure II.2). En outre, pour les propri´et´es de basse ´energie qui nous int´eressent, on peut lin´eariser la relation de dispersion au voisinage des points de Fermi.
(a) (b) (c) (d)
Σ =
+
+
+
+ …
Fig. II.2 – Diagrammes de self-´energie jusqu’`a l’ordre deux. Les lignes en trait plein sont des fonctions de Green sans interaction, les lignes ondul´ees repr´esentent l’inter- action g.
Pour des ´etats de spin initiaux et finals identiques, les termes de Hartree (a) et de Fock (b) se compensent exactement `a basse ´energie. Pour des ´etats de spin diff´erents, 43
Chapitre II. Approche th´eorique des syst`emes unidimensionnels
les diagrammes (b) et (d) n’existent pas, le diagramme (a) donne une constante qui renormalise le potentiel chimique et il reste `a calculer (c).
La fonction de Green totale s’´ecrit d’apr`es l’´equation de Dyson [76] G−1(k,ω) = G−1
0 − Σ = (ω − vF(k− kF))− Σ(k,ω) (II.3)
et ses pˆoles sont donn´es par
ω = vF ¡ 1± √g 8π ¢ (k− kF)
Ainsi, on a l’existence de deux pˆoles `a cet ordre. En poussant le calcul aux ordres sup´erieurs, on s’aper¸coit qu’il apparaˆıt de plus en plus de pˆoles qui vont former un continuum comme on le verra avec la solution exacte.
Par cons´equent, les interactions ne renormalisent pas le moment de Fermi, qui reste constant en vertu du th´eor`eme de Luttinger, mais brisent la structure en pˆole simple de la fonction de Green. C’est un premier indice de l’´echec du liquide de Fermi et de la s´eparation spin-charge que nous allons ´etudier en d´etail avec le mod`ele de Tomonaga- Luttinger.
2
Le mod`ele de Tomonaga-Luttinger
Comme nous l’avons sugg´er´e `a l’instant, les hypoth`eses conduisant `a un liquide de Fermi sont mises en d´efaut en une dimension. Il faut donc trouver une nouvelle image pour comprendre le gaz d’´electrons unidimensionnel. Pour cela, nous allons re- venir sur un mod`ele ancien introduit dans les ann´ees et par Tomonaga [77] et Luttinger [78] respectivement, et qui peut ˆetre r´esolu exactement : le mod`ele de Tomonaga-Luttinger.