Modules de type fini
2.3 MODULES LIBRES DE TYPE FINI
– soit l’élémenta1,1 divise tous les élémentsai,1, i >1de la sous-colonne d’indice 1, et la lignel1est inchangée (proposition 2.20) ; on a donc annulé à la fois la sous-ligne et la sous-colonne d’indice 1 (eta11=a1) ;
– soit ce n’est pas le cas, et la lignel1 est éventuellement modifiée (et donc les zéros de la sous-ligne peuvent disparaître). Mais dans ce cas on al(a1,1)< l(a1,1), et on refait la procédure ASL pour la matriceM.
Comme la longueur de l’élémenta1,1 est finie, disons égale àk, au bout dekétapes au plus la longueur ne baisse plus, et la procédure s’arrête.
Lemme 2.23. Il existe deux matricesL∈ SLn(A)etR ∈SLm(A)telles que dans la matriceLM Rle résultat soit le même que dans le lemme 2.22, mais que en plus l’élément˜a1,1 divise tous les éléments de la sous-matrice(˜ai,j)i>1,j>1.
Démonstration. Procédure « RSCSL » (« Réduction d’une sous-colonne et d’une sous-ligne à la fois »).
Si après la procédure ASCSL l’élément ˜a1,1 ne divise pas un élément a˜i,j avec i >1, j > 1, on remplace la ligne˜l1par˜l1+ ˜li. Cela se fait en multipliant à gauche par un élément de SLn(A) (lemme 2.13). Dans la matrice M1 obtenue, l’élément
˜
a1,1n’a pas changé, mais cette fois ne divise pas l’élémenta11,j= ˜ai,j. On réapplique alors la procédure ASLSC pour annuler la sous-ligne et la sous-colonne deM1, ce qui fait baisser la longueur de l’élément d’indice(1,1) (proposition 2.20). Au bout d’un
nombre fini de telles étapes, la procédure s’arrête.
Démonstration. (du théorème 2.17).
Appliquons la dernière procédure RSCSL à la matriceM. On obtient alors une matrice M1=LM Rde la forme
M1=
a1,1 0
0 Y
l’élémenta1,1 divisant tous les éléments de la matriceY. On répète alors la même procédure à la matriceY ce qui donne un matriceY1 = ˜L1YR˜1avecL˜1∈SLn−1(A) etR˜1 ∈SLm−1(A). Commea1,1divise tous les élémentsyi,jdeY, il divise tous les éléments deY1puisque ceux-ci sont combinaisons linéaires d’éléments deY.
On pose alorsL1 =
1 0 0 L˜1
∈ SLn(A) etR1 =
1 0 0 R˜1
∈ SLm(A) et on
continue récursivement.
2.3 MODULES LIBRES DE TYPE FINI
Dans ce paragraphe (et les suivants), l’anneauAest toujours un anneau principal (en faitA = ZouA =K[X]), bien que certaines des notions étudiées ci-dessous aient un sens pour un anneau plus général.
2.3.1. Rang
Définition 2.24. On dit qu’unA-moduleMest libre de type fini s’il possède une base finie(f1, . . . , fn).
Exemples 2.25.
1. Posonse1 = (1,0. . . ,0), . . . , en= (0, . . . ,1). Le module produitAnest libre de base(e1, . . . , en). Cette base est dite « base canonique ».
2. LeZ-moduleZ/nZn’est pas libre pourn= 0.
Proposition 2.26. SoitLunA-module libre ayant une base(f1, . . . , fn).
1. Le morphismeφ:L→Andéfini parφ(fi) =eiest un isomorphisme.
2. L’entiernne dépend pas de la base choisie. On l’appelle le rang deL.
Démonstration. Le fait que le morphismeφsoit défini par ses valeurs aux éléments fi vient de la définition d’une base. Le fait que ce soit un isomorphisme est évident (considérer le morphisme inverseψdéfini parψ(ei) =fi).
Pour montrer 2., il faut montrer que si l’on a un isomorphisme φ : An → Am, alors n = m. Nous allons nous ramener au cas des espaces vectoriels, et utiliser l’invariance de la dimension. Soitp∈Aun élément irréductible (donc non inversible).
Le quotient A/(p) est alors un corps k (proposition 1.39). Pour un A-module M, notons pM l’image de la multiplication par p (ensemble des éléments de M de la formepmpourm ∈ M). Dans le cas du module libreAn, On apAn (pA)n, et An/pAn(A/pA)n =kn(corollaire 2.8).
Si maintenant φ : M → M est un morphisme de modules, on a φ(pM) ⊂ pM, ce qui implique que φ « passe aux quotients », i.e. que l’on a un diagramme commutatif :
M −−−−→φ M
π
⏐⏐
π⏐⏐ M/pM −−−−→φ M/pM
π etπ étant les morphismes canoniques de passage au quotient. Appliquant ce fait aux modulesM =An,M = Am et à l’isomorphismeφ, on voit que le morphisme φest un morphisme surjectifkn→km. On a doncnmpuisquekest un corps. En
échangeant les rôles denetm, on voit quen=m.
2.3.2. Sous-modules d’un module libre
Nous allons tout d’abord donner des conséquences de la proposition 2.14.
©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
2.3 Modules libres de type fini 37
Proposition 2.27. SoitGun sous-module de type fini deAn. AlorsGest libre de rang mn.
Démonstration. Soit(v1, . . . , vp)un système de générateurs de G, avecvi ∈ An. On peut former une matrice M à coefficients dans A et de taille (p, n) (les lignes de M sont les vi exprimés dans la base canonique de An). En appliquant le corol-laire 2.15, on obtient une matriceM1 = LM avecmlignes non nullesw1, . . . , wm de longueur strictement décroissante (on a doncm n et m p). Les vecteurs wi (1 i m) sont dansG(car combinaisons linéaires à coefficients dansA des vi), libres (car la longueur deswi est strictement décroissante), et générateurs car la matriceL∈SLp(A)étant inversible, la relationM =L−1M1exprime lesvicomme
combinaisons linéaires deswjà coefficients dansA.
Théorème 2.28. SoientL un A-module libre de rang n,N ⊂ L un sous-module.
AlorsNest libre de rangmn.
Démonstration. On peut supposer queL=An(proposition 2.26). D’après la propo-sition 2.27, il suffit alors de montrer queN est de type fini. Raisonnons par récurrence surn.
a)n= 1. Dans ce cas,N est un idéal deA, donc engendré par un élémentapuisque A est supposé principal. On a alors N = aA et la multiplication par a donne un isomorphismeAAa.
b) Passage den−1àn. Soitπ1le morphismeN −→Adéfini parπ1(a1, . . . , an) =a1
(restriction à N de la première projectionAn → A). L’ensemble π1(N) est alors un sous-module de A, donc un idéal engendré par un élément b1. On suppose b1 = 0, sinon N est contenu dans le sous-module engendré par (e2, . . . , en) ((e1, . . . , en)est la base canonique deAn), isomorphe à An−1 et on peut appliquer l’hypothèse de récurrence. Soitg1 ∈ N un élément tel que π1(g1) = b1. Posons N1 =N∩(Ae2⊕ · · · ⊕Aen). Montrons que l’on a alors :
N =g1A⊕N1
En effet six∈g1A∩N1, on ax=λg1(λ∈A),π1(x) =λa1etπ1(x) = 0puisque x ∈ N1; on a doncλ = 0puisquea1 = 0par hypothèse (A étant principal, il est intègre). On a ainsig1A∩N1 = (0).
D’autre part on a N = g1A + N1, car si x ∈ N, posons π1(x) = µb1 avec µ ∈ A. On écrit alors x = µg1 + (x −µg1), et comme π1(x) = µπ1(g1), on a x−µg1 ∈N1 = kerπ1. On a donc bienN =g1A⊕N1et on applique l’hypothèse de récurrence àN1(contenu dansAe2⊕ · · · ⊕Aen).
2.3.3. Bases adaptées
Donnons maintenant une conséquence du théorème 2.17.
Théorème 2.29. Soit N ⊂ An un sous-module de An. Il existe alors une base (f1, . . . , fn)deAnet des élémentsai ∈A,1intels que :
a1|a2 | · · · |an,
les(aifi)tels queai= 0forment une base deN.
De plus, la suite des idéaux (ai) satisfaisant ces conditions est unique (les(ai) ne dépendent que deN et non de son plongement dansAn).
Démonstration. On sait que N est libre de rang m n (théorème 2.28) ; soit (g1, . . . , gk) un système de générateurs de N avec m k n. En écrivant les vecteursgi (développés sur la base canonique deAn) en colonnes, et en complétant par n−k colonnes de 0 placées au début, on obtient une matrice M ∈ Mn(A) (« matrice de passage » dans le cas où m = n). Appliquons le théorème 2.17 à la matrice M. Il existe doncL ∈ SLnAetR ∈ SLn(A)telles queM = LM Rsoit réduite avec des élémentsai,isur la diagonale que l’on note simplementai.
Si l’on fixe la base de An (qui sauf mention du contraire est la base canonique), une matriceB∈ Mn(A)s’interprète comme une application linéaire deAndansAnque nous noterons encoreB. L’application correspondant à la matriceM se décompose alors en trois applications linéaires :
An R //An M //An L //An
telles queLetRsoient inversibles et que l’image deMsoit le sous-moduleN deAn. Si on note (ei)1inla base canonique de An, on définit(fi)1incomme l’image inverse de (ei) par L : L(fi) = ei (1 i n). La famille (fi)1in est bien une base de An puisque L est inversible, et comme LM R(ei) = aiei, on a M R(ei) =aifi, 1 in(ce qui est une autre façon de définir lesfi), et donc les (aifi)tels queai = 0forment une base de ImM =N satisfaisant aux conditions de l’énoncé.
L’unicité des idéaux(ai)sera démontrée au paragraphe suivant (remarque 2.38).
Définition 2.30. La base(f1, . . . , fn)s’appelle une base adaptée au sous-moduleN deAn.