CORPS FINIS - Théorie des corps - Cours fondamental d’algèbre avec exercices corrigés

Théorie des corps

6.5 CORPS FINIS

Définition 6.18. Un corpsKest dit algébriquement clos s’il vérifie une des propriétés équivalentes suivantes :

1. Tout polynômeP ∈K[X]de degré1admet une racine dansK; 2. toutP ∈K[X]est produit de polynômes de degré 1 ;

3. si une extensionK⊂Lest algébrique, on aK=L.

La démonstration de l’équivalence des trois propriétés ci-dessus est immédiate et laissée au lecteur. Le corps C est algébriquement clos (théorème de d’Alembert-Gauss), mais il y en a d’autres, par exemple le sous-corps deCformé des éléments algébriques surQ.

6.5 CORPS FINIS

Rappelons que siKest un corps fini, le morphismeφ:Z→Kdéfini parφ(n) =n.1 a un noyau de la formepZ, oùpest un nombre premier non nul appelé la caractéris-tique deK. On noteF_ple corpsZ/pZ(1.39) et|K|le cardinal deK.

Lemme 6.19. SoitK un corps fini de caractéristiquep. AlorsK contient un sous-corps isomorphe àFp (que l’on identifie àFp), et son cardinal est de la formepⁿ, avecnentier1.

Démonstration. On a déjà vu que l’image deφétait isomorphe àF_p. IdentifionsImφ etF_p. Le corpsK est un espace vectoriel surF_p de dimension finien. Son cardinal

|K|est donc bienpⁿ.

Lemme 6.20. Soit K un corps de caractéristique p > 0. Notons F l’application K→K définie parF(x) =x^p(Fs’appelle le morphisme de Frobénius). Alors 1. F est un morphisme de corps (donc injectif).

2. SiKest fini, c’est un automorphisme (i.e.il est bijectif).

3. Pourx∈K,F(x) =xsi et seulement six∈F_p.

Démonstration. On a évidemmentF(xy) = F(x)F(y) etF(1) = 1, ce qui im-plique queF(x⁻¹) = (F(x))⁻¹ pourx= 0. Pour l’addition, écrivons la formule du binôme :

(x+y)^p =x^p+ p

x^p⁻¹y+· · ·+ p

x^p⁻ⁱyⁱ+· · ·+y^p. Il est bien connu (et facile à vérifier) quepdivise_p

(1ip−1). En caractéris-tiquep, la formule du binôme devient donc :(x+y)^p = x^p +y^p, ce qui montre 1.

F étant un morphisme de corps, il est injectif et donc bijectif si le cardinal deK est fini. Enfin on ax^p⁻¹= 1pour toutx∈Fpnon nul (carFp∗est de cardinalp−1) et doncx^p=xpourx∈F_p. Les éléments deF_psont les seuls vérifiant cette équation, puisque l’équationX^p−X= 0a au pluspracines dans le corpsK.

Le théorème suivant montre pour toutn >0l’existence d’un corps de cardinalq=pⁿ. L’unicité (à isomorphisme près) d’un tel corps sera montrée plus loin (proposition 6.30).

Théorème 6.21. (Existence du corpsF_q)

Soient pun nombre premier, n ∈ N^∗. On pose q = pⁿ. On considère le polynôme X^q−Xcomme à coefficients dansF_p. Alors le corps de décomposition du polynôme X^q−XsurFpest un corps àqéléments notéFq.

Démonstration. Soit K le corps de décomposition de X^q −X sur le corps F_p. L’ensembleA ⊂K des racines deX^q−X est un corps car six ∈ Aety ∈A, on a x^q = xety^q = y, d’où(xy)^q = xy et(x+y)^q = x+y carq étant égal àpⁿ, l’applicationx → x^q deK dansK est le morphisme de Frobenius itérénfois. On a doncxy ∈Aetx+y∈A. De plus six∈A,x= 0, on a évidemment1/x∈A, etA contientF_p(lemme 6.37). On a doncA= Kpuisque par définitionK est engendré sur F_p par les racines de X^q −X. D’autre part si l’on poseP = X^q −X, on a P = qX^q⁻¹ −1 = −1 puisque la caractéristiquep de K diviseq. Cela entraîne que les racines de P sont simples (puisque pour toute racine α de P dansK on a P(α) =−1= 0), et donc queA=Kest un corps àqéléments (puisque le polynôme X^q−Xa alors exactementqracines dansK). En particulier, siq=p, on aK =F_p. Remarques 6.22.

1. Il résulte du théorème ci-dessus que l’on aX^q−X=

a∈Fq(X−a)dans F_q[X], ou encore en enlevant la racine 0,X^q⁻¹−1 =

a∈Fq∗(X−a).

2. Siq=p, on a la factorisationX^p−X=X(X−1). . .(X−(p−1))dans F_p[X], si l’on notekl’élémentk.1deF_p =Z/pZ.

3. PosonsP =X^q−X,Pétant considéré comme un élément deF_p[X]. Alors la factorisation dePdansFp[X](en produit de polynômes irréductibles sur F_p) est le produit des polynômes minimaux (distincts) des éléments deF_q. En effet, sia ∈ F_q, son polynôme minimal q_a(sur le corps F_p) est irré-ductible et est un diviseur deP (puisqueP(a) = 0). Réciproquement tout facteur irréductibleQdeP est le polynôme minimal d’une quelconque de ses racines.

4. On suppose toujours q = pⁿ. Si Q est un facteur irréductible de P =X^q−X(sur le corpsF_p), son degréddivisen.

En effet, soit α une racine de Q dans Fq. Le corps Fp(α) est alors un sous-corps deF_q, et[F_p(α) :F_p] =d(proposition 6.10). La formule

n= [F_q:F_p] = [F_q:F_p(α)] [F_p(α) :F_p] montre l’assertion.

5. En fait nous allons montrer ci-dessous (corollaire 6.34) que tout polynôme unitaire irréductible de Fp[X]dont le degré divisen apparaît une fois et une seule dans la factorisation deP.

©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.

6.5 Corps finis 131

Étudions maintenant le groupe(F_q^∗,×). En appliquant la proposition 6.1, on a : Proposition 6.23. Soitq=pⁿ,pétant un nombre premier. Alors

(F_q^∗,×)(Z/(q−1)Z,+).

Définition 6.24. Un élémenta ∈ F_q qui engendre le groupe cycliqueF_q^∗ est dit primitif.

Remarques 6.25.

1. Il y a ϕ(q−1) éléments primitifs dans F_q^∗, ϕétant la fonction d’Euler (définition 1.40).

2. Si a ∈ F_q^∗ est primitif, les éléments primitifs sont les aⁱ avec 1i < q−1eti∧(q−1) = 1(cf. la proposition 1.38).

Proposition 6.26. Soientpun nombre premier,nun entier>0,q =pⁿ,a∈F_qun élément primitif,q_ason polynôme minimal sur le corpsF_p. Alorsq_aest de degrénet est un diviseur irréductible du polynômeX^q−X. En particulier l’élémentaengendre l’extensionF_qdeF_p (doncF_qest à la fois le corps de décomposition du polynôme X^q−Xet le corps de rupture du polynômeqasur le corpsF_p).

Démonstration. Commeaest primitif, il engendre l’extensionFqdeFppuisqu’alors tout élément non nul deF_qest une puissance dea. On a donc _(q^F^p^(X⁾

a(X)) F_q, ce qui implique queqaest irréductible et de degrén= [Fq:Fp](proposition 6.8). De plus

il diviseP =X^q−XpuisqueP annulea.

Remarque 6.27. Avec les notations ci-dessus, comme qa est un diviseur de X^q−X, il a toutes ses racines dansF_qqui chacune engendre l’extensionF_q deFp.

Corollaire 6.28. Soit p un nombre premier. Alors pour tout entier n il existe un polynômeP ∈Fp[X]de degrénirréductible.

Démonstration. Il suffit de prendre pourP le polynôme minimal d’un élément pri-mitif de l’extensionF_qdeF_ppourq=pⁿ(le corpsF_qexiste par le théorème 6.21).

Exemple 6.29. Soitq = 16 = 2⁴. Le lecteur pourra vérifier à titre d’exercice que la décomposition deX¹⁶−Xen facteurs irréductibles surF₂s’écrit :

X(X+ 1)(X²+X+ 1)(X⁴+X+ 1)(X⁴+X³+ 1)(X⁴+X³+X²+X+ 1).

Si l’on noteaune racine du polynômeX⁴+X+ 1, on aF₁₆=F₂(a). L’élémenta est de plus primitif, car d’ordre (multiplicatif) 15 dansF16∗ (l’ordre deadivise 15 ; comme on a la relationa⁴ +a+ 1 = 0, il est immédiat de voir que ane peut être d’ordre 1, 3 ou 5).

En revanche l’élémenta³est d’ordre 5 dansF₁₆^∗; il n’est donc pas primitif. Cepen-dant son polynôme minimal estX⁴ +X³+X²+X+ 1aussi de degré 4, et l’on a F₁₆=F₂(a³).

Le lecteur vérifiera que les éléments primitifs sont les racines des polynômes X⁴+X+ 1etX⁴+X³+ 1.

Montrons maintenant l’unicité (à isomorphisme près) du corps fini àq=pⁿéléments.

Proposition 6.30. « Unicité du corpsF_q».

SoitLun corps fini à q = pⁿéléments. Alors il est isomorphe au corpsF_q(par un Fp-isomorphisme).

Démonstration. Comme|L|=q=pⁿ, le corpsLest de caractéristiquep. Il contient donc le corpsF_p.

Soita∈ F_qun élément primitif,q_a ∈ F_p[X]son polynôme minimal. Le polynôme q_aest de degrén, et

F_q={λ₀+λ₁a+· · ·+λ_n₋₁aⁿ⁻¹, λ_i∈F_p}, puisqueF_q _(q^F^p^[X]

a(X)).

Comme|L|=q, les éléments deLvérifient aussi l’équationX^q−X= 0(proposition 1.18) et L s’identifie aussi à l’ensemble des solutions de l’équationX^q −X = 0.

Commeq_aest un diviseur irréductible (surF_p) deX^q−X, il existeb∈Ltel queq_a soit le polynôme minimal deb(best une racine dansLdu polynômeqa). Considérons l’applicationf:F_q−→L:

λ₀+λ₁a+· · ·+λ_n₋₁aⁿ⁻¹ →λ₀+λ₁b+· · ·+λ_n₋₁bⁿ⁻¹.

Il est immédiat de vérifier quef est un isomorphisme (en fait unF_p-isomorphisme)

de corps.

Étudions maintenant les sous-corps deFq. Proposition 6.31. Posonsq=pⁿavecppremier.

1. Pour tout entierdtel qued|n, il y a un unique corpsKde cardinalp^dtel que : Fp ⊂K ⊂Fq.

Ce corpsK est l’ensemble desx ∈ Fqtels quex^p^d = xet est isomorphe àFq

avecq =p^d.

2. Réciproquement, tout corpsKtel queF_p ⊂K ⊂F_qest de cardinalp^davecd|n.

Démonstration. Soit dun entier tel que d|n. Montrons l’existence deK. Soit K l’ensemble des racines (dansF_q) du polynômeX^p^d−X: il a déjà été démontré que K était un corps (démonstration du théorème 6.21).

©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.

6.5 Corps finis 133

Lemme 6.32. Soit k un entier tels que k−1 soit un diviseur de q −1. Alors le polynômeX^k−Xa exactementkracines dansFq.

Démonstration. Le nombre de racines d’un polynôme de degrékdans un corps est k. D’autre part(Fq∗,×) (Z/(q−1)Z,+). La proposition 1.35 implique qu’il y a dansF_q^∗ exactementk−1éléments d’ordre divisantk−1. Cesk−1éléments plus{0}sont racines du polynômeX(X^k⁻¹−1) =X^k−X.

Lemme 6.33. Soient d et n deux entiers tels que d|n, p un entier > 1. Alors (p^d−1)|(pⁿ−1).

Démonstration. Il suffit de considérer l’identité polynomiale :

Xⁿ−1 = (X^d−1)(X⁽ⁿ⁻^d)+X⁽ⁿ⁻^2d)+· · ·+X^d+ 1)

et de faireX=p.

Le lemme 6.32 appliqué aveck = p^d implique que |K| = p^d. Le corps K étant de cardinalq = p^d, il est isomorphe à F_q (théorème 6.21). Pour l’unicité, soitK1

un sous-corps de F_q de cardinal p^d. Le corps K₁ est alors isomorphe aussi à F_q ce qui montre l’unicité (i.e.K = K1), car tout élément deF_q vérifiant l’équation X^q−X= 0, il en est de même pour les éléments deK₁.

Réciproquement, siKest un corps tel que : Fp ⊂K ⊂Fq

c’est une extension de degréddeF_p,F_qest une extension de degrébdeK, on a donc

n=bdavec card(K) =p^d.

Corollaire 6.34. Soientpun nombre premier, q = pⁿ,{Qi}, i ∈ I, l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles deF_p[X]dont le degré divisen. On a alors :

X^q−X=

i∈I

En particulier, les(X−αj)α_j∈Fp sont parmi lesQi.

Démonstration. On a déjà montré (remarque 6.22) que siQest un facteur irréductible deP =X^q−X, son degré divisen.

Réciproquement, soitQun polynôme irréductible unitaire deF_p[X]dont le degréd divise n. Le corpsK₁ = ^F_(Q)^p^[X^] est de cardinalq = p^d donc isomorphe au corps KF_q tel que :

F_p ⊂K ⊂F_q

(proposition 6.31). L’élémentx∈K1 (image deX) a pour polynôme minimal le po-lynômeQ. Son imageα∈K par leFp-isomorphismeK₁ Ka le même polynôme minimal qui divise doncP(puisqueαest annulé parP). Ce facteur n’apparaît qu’une fois dans la décomposition deP puisque toutes les racines deP sont simples.

Corollaire 6.35. SoitP ∈F_p[X]un polynôme de degrén. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

1. P est réductible sur le corpsFp;

2. P a une racine dans un corpsF_p^davecdn/2.

6.6

^∗

COMPLÉMENTS

6.6.1. Automorphismes deF_q

Rappelons que siK est un corps, un automorphismeφdeK est un morphisme non nul (donc bijectif)K →K.

Plus généralement, si K ⊂ L est une extension de corps, un K-automorphisme de Lest un automorphismeφdeLtel queφ|K = Id(cf. la définition 6.3). L’ensemble des automorphismes deK(resp. desK-automorphismes deL) est un groupe (pour la composition). Il résulte du lemme 6.37 que siKest un corps fini de caractéristiquep, alors pours∈ N, l’applicationF^s : K → K définie parF^s(x) = x^p^s (« Frobenius itéré sfois ») est un automorphisme de K. Nous allons montrer que tout automor-phisme est de cette forme. On peut supposer queK =F_q, avecq =pⁿ(proposition 6.30).

Proposition 6.36. Soient p un nombre premier, n un entier > 0, q = pⁿ, φ un automorphisme du corpsF_q. Il existe alors un entiersntel queφ(x) = x^p^s pour toutx∈F_q.

Démonstration. Montrons deux résultats préliminaires.

Lemme 6.37. Soit P ∈ Fq[X] un polynôme. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. P ∈F_p[X]; 2. (P(X))^p =P(X^p).

Démonstration. PosonsP(X) =a_dX^d+· · ·+a₁X+a₀. On a alors

(P(X))^p =a^p_d(X^p)^d+· · ·+a^p₁X^p+a^p₀. Ce polynôme est égal àP(X^p)si et seulement sia^p_i =a_ipour touti, i.e.si et seulement sia_i ∈F_ppour touti(en effet, lespracines dansF_qdu polynômeX^p−Xsont les éléments deF_p).

Lemme 6.38. Soitα∈Fq,qα(X)∈Fp[X]le polynôme minimal deαsurFp. Soit rle plus petit entier0tel queα^p^r =α. On a alors

q_α(X) = (X−α)(X−α^p). . .(X−α^p^r−¹).

En particulier,qα(X)est de degrér, et doncr|n(proposition 6.31).

6.6 ^∗Compléments 135

Démonstration. Remarquons d’abord que pour0i < j < r, on aα^pⁱ =α^p^j. En effet, dans le cas contraire on aurait :

α^p^i+r−j = (α^pⁱ)^p^r−j = (α^p^j)^p^r−j =α^p^r =α contrairement à la propriété de minimalité der(cari+r−j < r).

PosonsP(X) = (X −α)(X −α^p). . .(X −α^p^r−¹). Le polynômeP est de de-gré r, vérifie P(α) = 0, mais est a priori à coefficients dans Fq. Montrons que P(X)∈F_p[X]. On a :

P(X)^p = (X^p−α^p)(X^p−α^p²). . .(X^p−α^p^r) =P(X^p)

(puisqueα^p^r =α), d’oùP ∈F_p[X]par le lemme 6.37. Le polynômeq_α(X)divise doncP(X)dansFp[X]. Maisqα(X)étant invariant par le morphisme de Frobenius F (puisqueq_α(X) ∈F_p[X]), l’ensemble de ses racines aussi. Lesα^pⁱétant distincts, on en déduit que deg(qα)r, et donc queqα(X) =P(X).

Montrons maintenant la proposition 6.36. Soit φ un automorphisme de Fq. On a φ(1) = 1, d’oùφ(n.1) =n.1pour tout entiern. On en déduit queφ|_F_p est l’identité.

Prenons pourαun élément deFqprimitif surFp (définition 6.24). Comme le poly-nômeq_α(X) ∈ F_p[X]est invariant parφ, on a queφ(α)est aussi racine deq_α(X), doncφ(α) =α^p^s pour un entierstel que0s < n(lemme 6.38). Mais l’ensemble desx ∈ Fqqui vérifientφ(x) = x^p^s est un sous-corpsK deFqqui contientFp et

l’élémentα. On a doncK =F_qpuisqueF_q=F_p(α).

Corollaire 6.39.

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