5.4 ∗ FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES RACINES

de (a) au polynômeQqui a les mêmes racines que P, mais avec multiplicité 1. On trouve donc, en notantd le degré deQ, et en utilisant qued d:

1

(sepP)² = 1

(sepQ)² (2C)^d2−d−2(2C)^d2−d−2.

5.4

FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES RACINES

Définition 5.35. Soit

P(X) = (X−t1)(X−t2). . .(X−tn) =Xⁿ−s1Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿsn, (17) considéré comme un polynôme enXà coefficients dans l’anneauZ[t₁, . . . , t_n].

Le polynômes_j(t₁, . . . , t_n) ∈ Z[t₁, . . . , t_n]s’appelle laj-ième fonction symétrique élémentaire desti.

On déduit immédiatement de (17) les relations suivantes : s₁ =t₁+· · ·+t_n

s₂=

i<j

t_it_j ... sn=t1. . . tn.

Soit maintenant A un anneau intègre (par exemple A = Z ou A = K, K étant un corps). Si on fait agir le groupe symétriqueSn sur les variables (t1, . . . , tn) par permutations, cette action induit une action deS_nsur l’anneauA[t₁, . . . , t_n]telle que pourσ ∈Sn,σ.Q(t1, . . . , tn) =Q(t_σ(1), . . . , t_σ(n)).

Définition 5.36. Un polynômeQ∈A[t1, . . . , tn]est dit symétrique s’il est invariant par cette action, i.e. siσ.Q=Qpour toutσ ∈S_n.

Exemples 5.37.

1. Les polynômessisont symétriques (d’où leur nom !) puisque pour toutσ ∈Sn

P(X) = (X−t₁). . .(X−t_n) = (X−t_σ(1)). . .(X−t_σ(n)).

2. Plus généralement si G ∈ A[X₁, . . . , X_n] est un polynôme en n variables, le polynômeG(s1, . . . , sn) ∈A[t1, . . . , tn]est évidemment symétrique. Nous allons voir plus bas que la réciproque est vraie.

3. Les polynômes

Nk =t^k₁+· · ·+t^k_n

sont symétriques pour tout entierk0. On les appelle « sommes de Newton ».

Nous allons rappeler la définition du degré d’un polynôme à plusieurs variables et introduire la notion de poids qui nous servira pour le prochain théorème.

Définition 5.38.

1. Le degré d’un monôme non nul λX₁^a1X₂^a2. . . X_n^an (λ ∈ A \ {0}) est l’entier a1 +a2 +· · ·+an. Le degré d’un polynôme non nul P ∈ A[X1, . . . , Xn]est le maximum des degrés de ses monômes.

2. Fixons pour chaque variableXiun nombrewi∈Nque nous appellerons poids de Xi. Le poids d’un monôme non nulλX₁^a1X₂^a2. . . X_n^an est l’entier n

i=1wiai; le poids d’un polynôme non nulPest le maximum des poids de ses monômes.

Exemples 5.39.

1. Si le poids deX_iest 1 pour touti, on retrouve la notion habituelle de degré.

2. Posons wi = i, 1 i n(wi est le poids deXi). Alors, un monôme non nul λX₁^a1X₂^a2. . . X_n^an (avec a_i 0) est de poids p = _n

j=1ja_j. Si l’on remplace chaque variableX_i par la i-ième fonction symétrique élémentaire s_i(t₁, . . . , t_n), on obtient le polynôme

P(t1, . . . , tn) =λs^a₁¹. . . s^a_nⁿ qui est homogène de degrép=

jaj en les variablest1, . . . , tn(cet exemple est la raison de l’introduction ici de la notion de poids). Plus généralement, il est clair que siP(X1, . . . , Xn)est un polynôme de poidsd,P(s1, . . . , sn)est de degréd en(t₁, . . . , t_n)puisque chaques_iest de degréien(t₁, . . . , t_n).

Dans le théorème suivant, le poids de chaque variable Xi est par définition l’entieri (comme dans l’exemple précédent), etAest toujours un anneau intègre.

Théorème 5.40. SoitG ∈ A[t₁, . . . , t_n]un polynôme symétrique. Il existe alors un polynôme uniqueR∈A[X1, . . . , Xn]tel que :

G=R(s1, . . . , sn).

De plus siGest de degréd,Rest de poidsd.

Exemple 5.41. Soit G = t²₁ +· · ·+t²_n (G = N₂, deuxième somme de Newton).

AlorsR(s1, s2) =s²₁−2s2. Le polynômeGest de degré 2, etR(X1, X2, . . . , Xn) = X₁²−2X₂(qui ne dépend ici que deX₁etX₂) est homogène de poids 2 (i.e. tous les monômes sont de poids 2).

Démonstration. (du théorème). Admettons l’unicité deR, et montrons son existence.

Nous allons raisonner par une double récurrence, d’abord sur le nombre de variables npuis sur le degréd, le casn= 1étant trivial (tout polynôme est alors symétrique, on at₁ = s₁ d’oùG = R), ainsi que le casd = 1(avec un nombre quelconque de variables).

Soit doncG(t₁, . . . , t_n)un polynôme symétrique de degréd, et supposons le théorème montré pour les polynômes en n−1 variables, ainsi que pour les polynômes enn variables de degréd−1. Notonss₁, . . . s_n−1les fonctions symétriques élémentaires des variables(t1, . . . , tn−1). Le polynômeG(t1, . . . , tn−1,0)est symétrique dans les

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5.4 ^∗Fonctions symétriques des racines 113

variables(t₁, . . . , t_n−1)et de degré d; il existe donc par hypothèse de récurrence (surn) un polynômeR₁(X₁, . . . , X_n−1)de poidsdtel que :

G(t₁, . . . , t_n−1,0) =R₁(s₁, . . . , s_n−1).

PosonsG1 = G−R1(s1, . . . , sn−1). Le polynôme G1(t1, . . . , tn) est symétrique puisqu’il est la différence de deux polynômes symétriques, et de degréd(exemple 5.39) puisqueGest de degrédet queR₁(s₁, . . . , s_n−1)est de poidsdpar hypothèse de récurrence. De plus il vérifieG1(t1, . . . , tn−1,0) = 0. Le polynômeG1 est donc divisible part_n, et comme il est symétrique, il est aussi divisible aussi part₁, . . . , t_n−1. On en déduit qu’il est divisible par le produit s_n = t₁. . . t_n (si G₁ = t_nG˜₁ est divisible part₁ par exemple, on aG₁(0, t₂, . . . , t_n) = t_nG˜₁(0, t₂, . . . , t_n) ≡0d’où G˜₁(0, t₂, . . . , t_n)≡0et doncG˜₁est divisible part₁, etG₁part_nt₁; on continue ainsi de proche en proche). Posons doncG₁=s_nG₂(t₁, . . . , t_n); le polynômeG₂est alors de degréd−net symétrique. On peut donc lui appliquer l’hypothèse de récurrence (surd) et écrireG₂(t₁, . . . , t_n) =R₂(s₁, . . . , s_n), le polynômeR₂(X₁, . . . , X_n)étant de poidsd−n. La relation :

G=s_nG₂(t₁, . . . , t_n) +R₁(s₁, . . . , s_n−1) =s_nR₂(s₁, . . . , s_n) +R₁(s₁, . . . , s_n−1) montre alors l’existence du polynômeR:

R =X_nR₂(X₁, . . . , X_n) +R₁(X₁, . . . , X_n−1).

Il est clair que le polynômeR est de poids d, et même exactement de poidsd, puisqueR(s1, . . . , sn)est par hypothèse de degrédent1, . . . , tn(siRétait de poids

< d,R(s₁, . . . , s_n)serait de degré< d: exemple 5.39).

Montrons maintenant l’unicité du polynômeR(X₁, . . . , X_n) (lorsque lest_i sont des variables indépendantes). Raisonnons par l’absurde et par récurrence surn. S’il exis-tait deux polynômes différents R₁ etR₂ tels que G(t₁, . . . , t_n) = R_i(s₁, . . . , s_n), i= 1,2, on en déduirait par différence un polynôme non nulH ∈Z[X1, . . . , Xn]tel queH(s₁, . . . , s_n) = 0. Considérons un tel polynômeHde degré minimald. On peut écrireHcomme un polynôme enX_n:

H(X1, . . . , Xn) =h0(X1, . . . , Xn−1) +· · ·+hd(X1, . . . , Xn−1)X_n^d. Le polynômeh₀est alors non nul, car sinon on pourrait écrire :

H(X₁, . . . , X_n) =X_nQ(X₁, . . . , X_n)

avecQde degréd−1etQ(s₁, . . . , s_n) = 0, ce qui contredirait la minimalité ded.

On a donc en substituant :

h0(s1, . . . , sn−1) +· · ·+h_d(s1, . . . , sn−1)s^d_n= 0

dans l’anneauZ[t₁, . . . , t_n]. En faisantt_n= 0, on obtient alorsh₀(s₁, . . . , s_n−1) = 0 avech0 = 0, ce qui est absurde car contraire à l’hypothèse de récurrence surn.

Il résulte en particulier du théorème 5.40 que pournfixé les sommes de NewtonN_i (exemple 5.37) sont des polynômes en les fonctionss₁, . . . , s_i. Les formules qui ex-priment lesSien fonction dess_ksont connues sous le nom de « formules de Newton » ; on a par exemple :

N₀ =n, N₁ =s₁, N₂ =s²₁−2s₂.

Nous allons montrer comment on peut effectivement calculer ces formules par récur-rence surn.

Lemme 5.42. Pourkn, on a :

N_k−s₁N_k−1+· · ·+ (−1)ⁿs_nN_k−n= 0. (18) Démonstration. Considérons le polynôme de la définition 5.35 :

P(X) = (X−t₁)(X−t₂). . .(X−t_n) =Xⁿ−s₁Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿs_n. (19) Démonstration. Dérivons (19) par rapport àX. En utilisant la première égalité (et le fait queP(t_i) = 0), cela donne : et en remplaçant, on trouve :

P(X) =

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Exercices 115

Si maintenant on dérive la deuxième expression deP(X)dans (19), il vient : P(X) =

n−1

h=0

(−1)^h(n−h)s_hX^n−h−1, d’où :

(n−h)s_h = h k=0

(−1)^ks_h−kN_k en identifiant les termes enX^n−h−1avec (21), ce qui donne

−hs_h=_h

k=1(−1)^ks_h−kN_ket (20).

Remarques 5.44.

1. Réciproquement les formules (20) montrent que lessis’expriment comme des polynômes en N₁, . . . , N_i : le théorème 5.40 est donc aussi vrai en remplaçant lessipar lesNi.

2. Considérons le polynôme enX:

P(X) = (X−t₁)(X−t₂). . .(X−t_n)

à coefficients dans l’anneauB = Z[t1, . . . , tn], lestiétant des indétermi-nées. SiKest un corps, etφle morphisme :Z[t₁, . . . , t_n]→K défini par φ(ti) = αi,φinduit un morphisme d’anneaux :B[X]→ K[X]. L’image deP par ce morphisme est le polynôme unitaire deK[X]ayant lesαipour racines (i.e.φ(P) = (X−α₁). . .(X−α_n)). Tous les calculs effectués sur lesti se transposent ainsi auxαi.

EXERCICES

Les solutions des exercices et problèmes sont données en fin d’ouvrage.

POLYNÔMES

Exercice 5.1. SoitP(X) =a_nXⁿ+· · ·+a₀∈Z[X]; montrer que sip/q∈Qest une racine deP(X)alorsq(resp.p) divisean(resp.a0). Factoriser3X³+ 4X²+ 2X−4 surQ,R,C.

Exercice 5.2. SoitP(X)∈Q[X]etxune racine deP(X)de multiplicité strictement supérieure à(degP)/2; montrer quex∈Q.

Exercice 5.3. SoitP ∈R[X]tel queP(X) diviseP(X); montrer que le quotient est de la formea(X−α)poura, αréels.

En dérivantk fois (k < degP) l’égalité P(X) = P(X)a(X −α), montrer que P^(k)(α) = 0et en déduire queP(X) = ^P(n)_n!^(α)(X−α)ⁿ, oùnest le degré deP(X).

Exercice 5.4. SoitP ∈R[X]tel queP(x)0∀x∈R. Montrer queP =R²+S² dansR[X].

Exercice 5.5. Soienta∈RetP un polynôme de degrénà coefficients réels tels que P(a) >0et pour1 k n,P^(k)(a) 0; montrer queP n’a pas de racines dans [a,+∞[.

Exercice 5.6. Montrer quen k=0

X^k

n! n’a pas de racines multiples.

Exercice 5.7. SoitP(X) = X⁶ −6X⁵ + 15X⁴−20X³ + 12X²−4; calculer le pgcd deP etP puis factoriserP surRetC.

Exercice 5.8. Montrer que Xⁿsinθ−Xsin(nθ) + sin(n−1)θ est divisible par X²−2Xcosθ+ 1et donner le quotient.

Exercice 5.9. Soient a = b ∈ C, calculer le reste de la division euclidienne de P(X)∈C[X]par(X−a)(X−b).