1.3 Description de la couche physique du système GSM/GPRS
1.3.1 La modulation GMSK dans le système GSM
1.3.1.1 Les modulations CPM
Les explications et équations suivantes sont particulièrement inspirées de l’ouvrage [24]. Avant de décrire à proprement parler la modulation GMSK, nous allons tout d’abord nous intéresser à la modulation MSK. La modulation MSK fait partie des modulations dites à modulation de phase continue ou CPM (Continuous Phase Modulation). Comme son nom l’indique, une modulation CPM a la particularité d’imposer une continuité de la phase du signal émis. Une expression générale du signal est donnée sous la forme,
s(t) = A cos(2πfct + φ(t, I) + φ0). (1.7) L’amplitude du signal A est supposée constante, de même que la phase initiale du signal φ0. fc est la fréquence porteuse à laquelle est transmis le signal. Enfin, φ(t, I) est la phase modulée du signal, avec I l’ensemble des symboles en entrée du modulateur jusqu’à l’instant t. La séquence d’information I prend typiquement ses valeurs dans une constellation de taille fixe, dépendant de la modulation utilisée, avec les éléments ±1, ±3, ±5, etc ... Une expression générale de la phase modulée est,
φ(t, I) = 2π
n
X
k=−∞
Ikhkq(t − kT ), nT ≤ t ≤ (n + 1)T , (1.8) où les Ikreprésentent la séquence d’information, T est la durée d’un symbole Ik, les hksont les indices de modulation et q(t) est une forme d’onde normalisée propre à la modulation CPM choisie. D’après l’équation (1.8), on constate la présence d’une forme de mémoire dans la phase modulée, par l’utilisation de l’ensemble des Ik jusqu’à l’instant t. C’est pourquoi on appelle les modulations CPM des modulations à mémoire, et c’est aussi pourquoi la phase est continue : la transition de phase induite par un nouveau symbole en entrée, commence nécessairement au dernier état de phase de sortie.
1.3.1.2 La modulation MSK
La modulation MSK est une modulation à symbole binaire (Ik = ±1), employant un indice de modulation constant h = 1
2, ainsi qu’une forme d’onde particulière, décrite par, q(t) =
Z t 0
g(τ )dτ, (1.9)
avec g(t) un pulse rectangulaire de durée T, de sorte que q(T ) = 1
2 si l’origine du pulse est à t = 0. Ainsi, on peut exprimer la phase modulée d’après l’équation (1.8) comme,
φ(t, I) = 1 2π n−1 X k=−∞ Ik+ πInq(t − nT ), = θn+1 2πIn t − nT T , nT ≤ t ≤ (n + 1)T , (1.10)
où θnest la valeur de la phase modulée à l’instant t = nT . C’est cette valeur qui constitue la mémoire du système et la continuité de la phase. En remplaçant la phase modulée du signal émis dans l’équation (1.7), on obtient,
s(t) = A cos(2π(fc+ 1
4TIn)t − 1
2nπIn+ θn+ φ0). (1.11) On peut constater deux choses à partir des formules précédentes. Tout d’abord, la mo-dulation MSK effectue un changement de phase de ±π
2 suivant la valeur du symbole émis. Si In = +1, alors la transition sera de +π
2, et inversement si In = −1. Ce changement de phase ne s’effectue pas brutalement, mais de manière continue durant toute la durée du symbole. Plus la durée du symbole T sera élevée, et plus la transition de phase sera douce. Ensuite, on peut interpréter l’expression du signal à l’équation (1.11), comme celui d’un signal modulé en fréquence ou FSK (Frequency Shift Keying), mais à phase continue. On parle alors de modulation CPFSK (Continuous Phase FSK ). Dans une telle modulation, à chaque symbole est associée une fréquence centrale correspondante, et la fréquence du signal est modifiée de façon continue en fonction des symboles en entrée. Une modulation FSK classique fonctionne de façon équivalente, à la différence que la fréquence est changée de manière brutale à chaque temps symbole, créant des lobes secondaires importants dans le spectre du signal. Les modulations CPFSK enlèvent cette discontinuité, et diminuent les lobes secondaires du spectre. En réalité donc, la modulation MSK fait partie des mo-dulations CPFSK, qui sont elles-même une forme de modulation CPM. Ici, les fréquences correspondant respectivement aux symboles In= +1et In= −1 sont,
f1 = fc+ 1 4T, f2 = fc− 1
4T. (1.12)
Ces fréquences sont séparées d’un intervalle ∆f = 1
2T. Cet écart de fréquences est l’intervalle minimal garantissant que la modulation CPFSK est orthogonale [24]. Cette orthogonalité assure que les signaux modulés n’interfèrent pas entre eux. C’est parce que l’intervalle ∆f est minimal que la modulation MSK porte son nom de Minimum-Shift Keying.
La modulation MSK possède de nombreux avantages. Étant une modulation de phase, l’amplitude du signal ne varie pas et on parle alors de modulation à enveloppe constante. Ajoutée à la caractéristique de continuité en phase et aux transitions douces et progressives de la phase, la modulation MSK peut être utilisée avec des amplificateurs de puissance bon marché et économes en énergie. En effet, à l’époque de la parution du standard GSM, c’était un véritable challenge pour les constructeurs de concevoir un téléphone mobile qui soit à la fois compact, bon marché et avec une autonomie en énergie suffisante.
1.3.1.3 La modulation GMSK
Néanmoins, à la modulation MSK classique, on a préféré la modulation GMSK pour des raisons qui seront exposées plus loin. Pour construire la modulation GMSK, on utilise un filtre gaussien passe-bas de réponse impulsionnelle h(t), égale à,
h(t) = exp(−
t2
2λ2) √
2πλ , (1.13)
avec λ défini par l’égalité,
λ T =
pln(2)
Le produit BT présent dans la constante λ caractérise une modulation GMSK. On parlera toujours d’une modulation GMSK ayant un certain BT. Comme précédemment T est la durée d’un symbole (donc d’un bit dans notre cas) en seconde, et B est la bande passante à -3 dB en Hertz. Le produit BT est compris entre 0 et 1, et celui choisi pour le standard GSM vaut 0.3. Comparée à la modulation MSK classique donc, il suffit de convoluer le pulse rectangulaire g(t) de l’équation (1.9) avec la réponse impulsionnelle du filtre gaussien pour obtenir une modulation GMSK. La forme d’onde q(t) est égale à l’intégrale du résultat de la convolution et les étapes suivantes restent inchangées,
q(t) = Z t 0 (g ? h)dτ = Z t 0 v(τ )dτ , (1.15)
avec ? l’opérateur du produit de convolution. La Fig. 1.20 représente la forme du pulse v(t) normalisé en fonction du produit BT choisi. On constate que plus le produit BT est faible, plus le pulse est long et donc plus il y aura d’IIS. En revanche, un produit BT faible implique, pour une valeur de T fixée par le système, que la bande à -3 dB B, diminue. Le spectre du signal modulé est donc plus compact, au prix d’une augmentation de l’IIS. Dans le système GSM, pour un produit BT = 0.3, il est convenu que le pulse dure 3 temps symbole, entre t = −1.5T et t = +1.5T .
Figure 1.20 – Forme de pulse utilisée en GMSK pour différents produits BT . La modulation GMSK a donc un spectre plus étroit que celui de la modulation MSK classique. C’est la raison principale du choix de cette modulation pour le standard GSM. Les densités spectrales de puissance d’une modulation MSK et de la modulation GMSK (BT = 0.3) sont présentées sur la Fig. 1.21. Les lobes secondaires de la modulation GMSK sont presque inexistants comparés à ceux de la modulation MSK. Les interférences entre porteuses sont ainsi fortement réduites, ce qui améliore les performances globales du sys-tème. De plus, malgré un débit d’environ 270 kbps (1000 ×13
48 ≈ 270.833), seule une bande passante de 200 KHz a été retenue pour chaque canal GSM, montrant ici l’efficacité de la modulation GMSK. L’efficacité spectrale de la modulation GMSK utilisée est d’environ 1.35 bit/s/Hz.
Figure 1.21 – Densités spectrales de puissance d’une modulation MSK et de la modulation GMSK de produit BT = 0.3.
Enfin, on pourra constater sur la Fig. 1.22 que la transition de phase est encore plus douce et progressive que dans le cas de la modulation MSK. Cette caractéristique réduit encore la pression mise sur l’amplificateur de puissance.
Figure 1.22 – Transition de phase d’une modulation MSK et de la modulation GMSK de produit BT = 0.3.
1.3.1.4 Linéarisation de la modulation GMSK
Définition 1. On considère une modulation qui, pour une entrée I(t), donne un signal modulé S(t).
Une modulation est dite linéaire si et seulement si, pour toutes combinaisons linéaires de signaux d’entrée, le signal modulé résultant est la combinaison linéaire des signaux modulés correspondant à chaque signal en entrée.
Ainsi, soient N signaux d’entrée I1(t), ..., IN(t), soient les N signaux modulés corres-pondants S1(t), ..., SN(t) et soient N facteurs réels constants a1, ..., aN. Une modulation linéaire doit vérifier que, si S(t) est le signal modulé du signal l’entrée PN
i=1aiIi(t), alors S(t) =PN
i=1aiSi(t).
Par exemple, les modulations d’amplitude QAM ou de phase PSK sont des modula-tions linéaires. En revanche, les modulamodula-tions MSK et GMSK sont des modulamodula-tions non linéaires, elles ne vérifient pas le principe de linéarité précédent. Néanmoins, pour des rai-sons pratiques d’implémentation, il est préférable de linéariser la modulation GMSK. Pour cela, on utilise la technique d’expansion en séries de Laurent [25], datant de 1986. Cette expansion permet de convertir un signal d’une modulation CPM binaire en une somme de pulses modulés en amplitude PAM (Pulse Amplitude Modulated). La somme est finie si le pulse utilisé pour la modulation CPM d’origine est de longueur finie LT , avec L un entier strictement positif. Pour une telle modulation, une somme de 2L−1 PAM sera nécessaire.
Dans le cas du GSM et de la modulation GMSK, la longueur L retenue est 3. Il est donc possible de représenter parfaitement la modulation GMSK du système GSM par une somme de 4 PAM. Ainsi, en reprenant les notations précédentes, le signal complexe s(t) modulé et normalisé correspondant est égal à [26] [27],
s(t) = ∞ X n=0 3 X k=0 exp jπ 2bk,n Ck(t − nT ), nT ≤ t ≤ (n + 1)T , (1.16) où les signaux Ck(t)sont les fameux PAM et où,
bk,n= n X m=−∞ Im− 2 X m=1 In−mak,m, (1.17)
avec ak,m∈ {0, 1} les coefficients de la représentation binaire de k, k =
2
X
l=1
2l−1ak,l. (1.18)
La Fig. 1.23 donne une représentation de l’amplitude des 3 premiers PAM. On montre que 99 % de l’énergie du signal est contenue dans le premier pulse C0(t). Une approximation raisonnable est donc de ne considérer que ce premier pulse pour la représentation de la modulation GMSK linéarisée. D’après l’approximation, on a, s(t) = ∞ X n=0 expjπ 2b0,n C0(t − nT ), nT ≤ t ≤ (n + 1)T , (1.19) et, b0,n= n X m=−∞ Im. (1.20)
Figure 1.23 – Amplitude des trois premiers pulses issus de l’expansion en séries de Laurent de longueur 3 de la modulation GMSK pour BT = 0.3.
Comme nous le verrons dans un prochain chapitre, la linéarisation de la GMSK permet une implémentation très simple du modulateur et du démodulateur associé, tout en gardant les avantages de la modulation GMSK classique.