Approximation des performances pour d’autres algorithmes de syn-

4.1.5.1 Présentation des algorithmes

On considère quatre nouveaux algorithmes permettant d’estimer la fréquence d’une si-nusoïde pure, tel que le FCCH. Le premier est l’algorithme optimal du périodogramme [53], aussi appelé MLE (Maximum Likelihood Estimator). Mais le MLE peut parfois être trop complexe à implémenter, et on peut lui préférer des algorithmes plus simples, comme ceux dérivés par S. Kay [54], à savoir le WPA (Weighted Phase Averager) et le WLP (Weighted Linear Prediction). Plus récemment, [55] a proposé un algorithme de synchronisation fré-quentielle de faible complexité dans le cadre de GSM, comprenant la détection du FCCH. Il se base sur l’algorithme T&F (pour Tufts & Fiore) [56] pour déterminer la fréquence du FCCH et l’optimise dans le cadre de GSM.

Les performances en termes d’erreur absolue moyenne (en Hz) en fonction du SNR sont présentées sur la Fig. 4.5. La modulation employée est encore une fois la MSK. On émet un burst de 148 symboles déphasés de π

2, correspondant donc au FCCH. Pour tous les algorithmes, seuls les 142 symboles centraux sont utilisés pour l’estimation de la fréquence. On pourra remarquer la présence d’un offset pour l’algorithme T&F par rapport à la limite théorique basse que représente le MLE (c’est également la CRLB ou Cramer Rao Lower Bound pour les SNR considérés). Ce constat est conforme aux résultats de [56].

4.1.5.2 Approximation du SNR moyen

À partir de l’expression théorique du SNR moyen Eq. (4.25), on suppose pouvoir prévoir approximativement la valeur du SNR moyen d’une trame recombinée par le mécanisme IQ utilisant l’un des quatre algorithmes de synchronisation fréquentielle précédents (MLE, T&F, WLP et WPA). Pour cela on suppose que les différents algorithmes présentent des distributions d’erreurs semblables, mais pour des valeurs de SNR en entrée (de FCCH) différentes. Par exemple, la Fig. 4.6 représente la distribution de l’erreur d’estimation dans le cas d’un MLE et d’un SNR de FCCH de 3.2 dB. Notre hypothèse implique que les autres algorithmes possèdent une distribution semblable pour des valeurs de SNR différentes, dépendant directement de l’efficacité de l’estimateur.

On se base sur la métrique de l’erreur absolue moyenne (EAM) pour sélectionner les valeurs de SNR de FCCH correspondants. La Fig. 4.7 dresse la courbe de l’EAM dans le cas de l’estimateur employé pour l’étude théorique. On choisit par exemple la valeur de U = 60 dB comme référence, conduisant à une EAM d’environ 34.5 Hz.

Figure 4.5 – Erreur absolue moyenne d’estimation de la fréquence en Hz pour les différents estimateurs, en fonction du SNR du FCCH en entrée.

Figure 4.6 – Distribution de l’erreur d’estimation du MLE pour un SNR de FCCH de 3.2 dB.

pour les autres algorithmes,

MLE →SNR FCCH = 3.2 dB, pour EAM ≈ 34.2 Hz, (4.29) T&F →SNR FCCH = 6 dB, pour EAM ≈ 34.5 Hz, (4.30) WPA →SNR FCCH = 8.8 dB, pour EAM ≈ 33.4 Hz, (4.31) WLP →SNR FCCH = 18.2 dB, pour EAM ≈ 34.7 Hz, (4.32) À partir des SNR de FCCH déterminés, on réalise des simulations et on compare les valeurs de SNR moyen obtenues après recombinaison. Les conditions de simulations sont les mêmes que celles utilisées dans le cas de la Fig. 4.3. On obtient ainsi les courbes présentées

Figure 4.7 – EAM de l’algorithme de synchronisation fréquentielle utilisé dans l’étude théorique.

sur la Fig. 4.8. Les SNR moyens obtenus en utilisant chacun des quatre algorithmes de synchronisation fréquentielle sont comparés au SNR moyen théorique (approximé) pour U = 60 dB. Les SNR moyens sont calculés en fonction de la fréquence Doppler maximale, pour 16 répétitions et T = 156 TS.

Figure 4.8 – Comparaison des SNR moyens d’une trame recombinée par IQ, obtenus pour chacun des estimateurs. Les courbes sont tracées en fonction de la fréquence Doppler maximale, pour R = 16 et T = 156 TS.

Mis à part l’algorithme du WPA, on peut constater que l’approximation théorique est fidèle aux SNR moyens obtenus dans le cas des estimateurs ML, WLP et T&F. Un écart inférieur à 0.1 dB avec la courbe théorique peut en effet être observé pour ces 3 estimateurs. Pour tenter de comprendre la différence observée dans le cas du WPA, on considère

la distribution de l’erreur d’estimation. La Fig. 4.9 représente cette distribution pour un SNR de 5.1 dB. L’EAM vaut alors environ 147 Hz, et on observe la présence d’erreurs plus importantes (entre -3000 et 3000 Hz) autour d’un lobe principal. Mais si l’on ne considère que le lobe principal, l’EAM est alors de 33.5 Hz. On effectue alors de nouvelles simulations pour un SNR en entrée de 5.1 dB dans le cas de l’estimateur WPA, et on obtient la Fig. 4.10.

Figure 4.9 – Distribution de l’erreur d’estimation du WPA pour un SNR de FCCH de 5.1 dB.

Figure 4.10 – Comparaison des SNR moyens d’une trame recombinée par IQ, obtenus pour chacun des estimateurs. Les courbes sont tracées en fonction de la fréquence Doppler maximale, pour R = 16 et T = 156 TS.

Le SNR moyen obtenu dans le cas de l’algorithme du WPA rejoint les performances des autres estimateurs, ainsi que celles de l’approximation théorique. On peut en déduire que

cette première approche semble prometteuse, mais demande de plus amples investigations. L’impact d’autres paramètres que l’EAM, comme la variance, doit être étudié. Il est possible que l’approximation soit meilleure avec certains algorithmes, qu’avec d’autres. De même, il est nécessaire d’étudier la précision de l’approximation pour d’autres valeurs de SNR et pour des paramètres système variés.