Mod`ele de Su-Schrieffer-Heeger (SSH)

On se tourne maintenant vers le mod`ele SSH sans spin. La pr´esence du terme Umk-lapp non local ˜gu introduit des diff´erences qualitatives par rapport au mod`ele CM. La r´esolution des ´equations (3.16) et (3.19) montre d’apr`es la figure 3.11-a que pour une faible valeur de fr´equence de Debye normalis´ee par la valeur du gap adiabatiqueωD/∆0, la susceptibilit´e ODCL est la seule qui pr´esente une singularit´e. Par cons´equent, le gap diminue de plus en plus au fur et `a mesure qu’on augmente la valeur de ωD, comme le montre la figure 3.11-b. Cette diminution est plus importante pour ωD/∆0>0.1 et le changement de courbure au voisinage de ωD ∼∆0 signale l’existence d’un “crossover”, marquant une transition classique-quantique exactement comme dans le cas du mod`ele de CM. Toutefois, la diff´erence par rapport au r´esultat pr´ec´edent est la valeur deω<sub>D</sub>/∆<sub>0</sub> au point du crossover. Dans le cas de SSH et comme le montrent les symboles en triangle de la figure 3.11-c, cette valeur est largement d´ependante de l’amplitude du couplage |g˜| alors que pour le mod`ele CM (figure 3.7-b) les courbes du gap sont tellement rapproch´ees que cette valeur peut ˆetre consid´er´ee comme quasi-constante.

Toujours d’apr`es la figure 3.11-b, le gap s’annule `a haute fr´equence tant que |˜g| est inf´erieure `a l’unit´e. Les fluctuations quantiques d´etruisent l’ordre Peierls et le syst`eme passe dans une phase d´esordonn´ee m´etallique (liquide de Luttinger). Dans cette mˆeme r´egion non adiabatique, mais pour|g˜|>1, le gap ODCL reste fini et augmente en fonction du couplage ´electron-phonon.

L’existence de l’amplitude seuil |g˜^c|= 1 est une cons´equence directe de la pertinence du couplage Umklapp non-local ˜gu qui alt`ere les ´equations de flot du mod`ele SSH sans spin. Pour mieux expliciter cette caract´eristique, nous avons trac´e dans figure 3.11-c, la variation de l’inverse (ωD/∆0)⁻¹ critique auquel le gap disparaˆıt en fonction de |g˜| (les carr´es dans la figure 3.11-c). Dans la limite non adiabatique quand (ωD/∆0)⁻¹ s’annule, l’amplitude de couplage tend vers la valeur critique |g˜^c|= 1 qui peut ˆetre extraite di-rectement de l’´equation de flot de ˜gu dans cette limite (´equation 3.17). On doit signaler ici, que la r´esolution des ´equations de flot est moins facile pour les faibles valeurs de couplage `a cause du nombre ´elev´e de fr´equences fermioniques n´ecessaires pour avoir une pr´ecision acceptable des r´esultats. Ceux obtenus pour |˜g| ≤0.2, montrent cependant que

Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 72

Figure3.11 – (a)-Exemples de susceptibilit´es ´electroniques en fonction du g´en´erateur de renormalisationℓ. (b)-Variation du gap ´electronique normalis´e en fonction de l’amplitude de couplage|g˜|et de la fr´equence des phonons normalis´eeωD/∆0. Les courbes en pointill´es repr´esentent le cas o`u|˜g|>|g˜<sup>c</sup>|. (c) Diagramme de phase ((ωD/∆0)<sup>−1</sup>,|g˜|) pour le mod`ele SSH sans spin [101].

Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 73 l’extrapolation `a z´ero de l’amplitude |˜g| correspond `a la valeur (ω<sub>D</sub>/∆<sub>0</sub>)<sup>−1</sup>= 1.1, ce qui correspond `a l’ordre de grandeur obtenue par le groupe de renormalisation `a deux cou-pures [7]. Au-del`a de cette valeur, l’ordre de densit´e de charge de lien quantique prend place pour n’importe quelle valeur de couplage. En augmentant le rapport (ωD/∆0)⁻¹, le syst`eme traverse la ligne du crossover quantique-classique et entre dans un ´etat de Peierls similaire `a celui de la limite classique. Cette ligne de crossover, clairement identifi´ee dans la figure 3.11-c comme un changement de r´egime, corrobore le r´esultat obtenu par la m´ethode de DMRG pour une chaˆıne XY spin-Peierls [77] (figure 3.8-b).

De la mˆeme mani`ere que pour le mod`ele de CM, nous avons d´efini le param`etre αc = ¹₂p

|g˜^c|ωDEF comme le couplage effectif critique pour lequel le gap s’annule. La figure 3.12-a montre qu’au voisinage de la transition le gap d´ecroˆıt suivant la formule de Baxter (3.20), d’o`u une transition de type KT.

En plus de confirmer les r´esultats obtenus par la m´ethode DMRG [77], ce r´esultat co¨ıncide avec les conclusions des travaux de Bursill et al. [79] sur une chaˆıne XXZ de spin-1/2. Au moyen de la m´ethode DMRG appliqu´ee `a une chaˆıne de Heisenberg antifer-romagn´etique coupl´ee `a des phonons quantiques, ces auteurs ont montr´e qu’il existe un couplage spin-phonon seuilg^cmarquant une transition quantique entre deux ´etats : le pre-mier est un ´etat superfluide avec un quasi-ordre `a long port´ee antiferromagn´etique pour 0≤|g|≤|g<sup>c</sup>| (´etat de N´eel) et le deuxi`eme est un ordre `a long port´ee dim´eris´e (´etat spin-Peierls) qui surgit pour |g|>|g<sup>c</sup>|. Leurs calculs ont aussi permis de confirmer la nature KT de la transition au voisinage deg<sup>c</sup>. Les mˆemes conclusions ont ´et´e obtenues par Citro et al. [110] par la m´ethode du groupe de renormalisation dans le cadre de la bosonisa-tion. Le mod`ele de chaˆıne XXZ coupl´e aux phonons est transposable approximativement

`a celui d’une chaˆıne Heisenberg isotrope frustr´ee (interactions antiferromagn´etiques pre-miers et deuxi`emes voisins) telle qu’´etudi´ee par Kuboki et Fukuyama [111], grˆace `a la th´eorie de perturbation. Il appartient `a la mˆeme classe d’universalit´e qu’une chaˆıne de spins frustr´ee, comme l’a montr´e Haldane [109].

La figure 3.12-b montre le couplage critiqueαc´evoluant en loi de puissance en fonction de la fr´equence de Debye αc∼ω_D^η avec un exposantη= 0.7 identique `a celui trouv´e pour le mod`ele CM par la m´ethode DMRG [77]. En ce qui concerne la nature de l’´etat du syst`eme non gapp´e, la situation est qualitativement similaire au mod`ele CM. On trouve d’apr`es l’exemple de la figure 3.13-a que la susceptibilit´e d’onde de densit´e de charge de lien pr´esente une divergence en loi de puissance non universelleχ⁻_µp=0(ℓ)∝[Λ(ℓ)]^−γ pour des ´energies en dessous de l’´energie caract´eristique Λ(ℓ^∗), marquant la transition vers

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Figure 3.12 – (a)- Gap ´electronique du mod`ele SSH sans spin en fonction du param`etre (α² −α²_c)^−0.5 pour diff´erentes fr´equences phononiques ωD/EF. Les lignes en pointill´es repr´esentent le lissage de la formule de Baxter (3.20). (b)- Diagramme de phase (α⁻², ω_D).

La ligne continue repr´esente le comportement en loi de puissance du param`etre critique α²_c ∼ω_D^1.4 [101].

Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 75 un ´etat de liquide de Luttinger. L’estimation du param`etre de rigidit´e de charge K_ρ `a

0 10 20

Figure 3.13 – (a)-La divergence en loi de puissance de la susceptibilit´e ODCL pour ℓ > ℓ^∗ dans le r´egime de liquide de Luttinger. (b)-Variation du param`etre de rigidit´e Kρ en fonction de |g˜| pour diff´erentes valeurs de fr´equence ωD/EF. La ligne continue repr´esente le r´esultat exact Kρ= 1− <sup>1</sup>2|g˜| `a l’ordre dominant en ˜g [101].

l’ordre d’une boucle est donn´ee dans la figure 3.13-b. Par comparaison au r´esultat trouv´e pour le mod`ele CM, les valeurs deKρ pour le mod`ele SSH sont plus faibles et pr´esentent des variations plus rapides en fonction des fr´equences phononiques et des amplitudes de couplage. En r´egime non adiabatique, les valeurs nues des amplitudes de diffusion en avant et du Umklapp sont non nulles, ce qui rend possible l’obtention d’une phase massive. Dans cette limite, le r´esultat du groupe de renormalisation `a une boucle (point en ´etoile sur la figure 3.13-b) tend vers un param`etre de rigidit´e de charge de la forme Kρ= 1−¹₂|g˜|(ligne continue dans la figure 3.13-b). Il co¨ıncide `a l’ordre ˜g avec le r´esultat exact [107, 112].

Il est important de noter que, bien que la transition reste d´efinie comme la ligne

Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 76 critique s´eparant le secteur massif et le secteur liquide de Luttinger, les caract´eristiques de cette derni`ere phase, par l’interm´ediaire de son exposantγ (ou le coefficient de rigidit´e Kρ), restent fortement d´ependants de l’effet de retard. En mettant de cˆot´e les limites de pr´ecision du calcul GR `a une boucle, les r´esultats obtenus indiquent qu’`a l’exception du domaine des hautes fr´equences,Kρp´en`etre profond´ement dans le “secteur d’Ising”(Kρ<

1/2). Une renormalisation similaire deKρpar effet de retard est obtenue par Citro etal.

pour l’´etude des instabilit´es spin-Peierls du mod`ele XXZ par bosonisation [110].