2.2 Groupe de renormalisation de Kadanoff-Wilson
3.1.3 Limites adiabatique et non adiabatique
Approche analytique de la limite adiabatique
Dans la limite adiabatique (ω0,D →0), la d´efinition des couplages phononiques de l’´equation (3.3) montre qu’il ne peut y avoir d’´echange de phonons entre fermions `a fr´equences d’´echange finies1 (ωi−ωj∝δnij) ; ceux-ci tendent vers 0. L’amplitude de tout couplage phononique d´ecroˆıt rapidement en (δnij/ω0,D)−2 et seulement le cas δnij = 0 contribue dans ce cas [105, 106]. Les interactions avec δnij finie, apparaissent dans les processus r´eels de diffusion dont les diagrammes sont ouverts ou demi-ouverts comme par exemples les diagrammesa5 et u2 de la figure 2.3. C’est pour cela que dans la limite adiabatique seules les contractions avec bulles ferm´ees (a1,a2,c1,u1 etu3 de la figure 2.3) sont prises en consid´eration dans les ´equations de renormalisation. Cette approximation a ´et´e utilis´ee dans la m´ethode du GR `a deux coupures de Caron et Bourbonnais [7]. Pour ce qui est de la self-´energie, elle prend des valeurs tr`es faibles en d´epit de sa contribution non nulle et cela pour les deux mod`eles. Elle est donc n´egliger dans cette limite. `A partir de ce qui pr´ec`ede, on peut r´e´ecrire dans cette limite les ´equations de flot sous une forme combin´ee pour les couplages, ind´ependamment des fr´equences fermioniques puisque
˜
gi(ω1, ω2, ω3)≡g˜i quand |ω1−ω3|≡|ω2−ω3|= 0. Avec cette derni`ere condition, la valeur
1En g´en´erale une constante de couplage nue peut s’´ecrire comme ˜gi(ω1, ω2, ω3) = ˜g/[1 + ((ω1− ω3)/ω0,D)2] = ˜g/[1 + (2πT)2((n1−n3)/ω0,D)2].
Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 52 des bulles Peierls et Cooper se r´eduisent `a R
ωIp(c)= (−)1/2 (Annexe B). Ceci s’applique aussi au facteur de renormalisationzµMp=0(ω, ω) de l’´equation (3.4) en se limitant aux seules corrections avec bulles ferm´ees dans la somme de droite. Ainsi pour les deux mod`eles avec spin, on obtient dans la limite adiabatique :
∂ℓ[˜g1(ℓ) +Mg˜3(ℓ)] = −(2s+1)[˜g1(ℓ) +Mg˜3(ℓ)]2/2,
∂ℓ lnzµMp=0 = −(2s+1)[˜g1(ℓ) +Mg˜3(ℓ)]/2. (3.7) L’indice (M = +) correspond au mod`ele CM alors que le signe (M = −) est relatif au mod`ele SSH. La solution des ´equations est donn´ee par :
[˜g1(ℓ) +Mg˜3(ℓ)] = g˜1+Mg˜3
1 + 12(2s+1) [˜g1+Mg˜3] ℓ, zµMp=0(ℓ) = 1
1 + 12(2s+1)(˜g1+Mg˜3)ℓ,
˜
χMµp=0(ℓ) = ℓ
1 + 12(2s+1)[˜g1+Mg˜3]ℓ. (3.8) Avec des constantes nues ˜g1+M˜g3 toujours attractives, [˜g1(ℓ) +Mg˜3(ℓ)] pr´esente une singularit´e `a ℓc=−2[(2s+1)(˜g1 +Mg˜3)]−1. Cette singularit´e apparaˆıt aussi bien dans le facteur zµMp=0 que dans la susceptibilit´e correspondante et marque la formation de l’´etat de Peierls. Cette instabilit´e est suivie par l’ouverture au niveau du syst`eme fermionique d’un gap :
∆0 = 2EFe−2/(2s+1)|g˜1+M˜g3|, (3.9) qui pr´esente une forme BCS et est identique `a celle de la m´ethode champ moyen. Cette instabilit´e est de type ODC (M = +, g1 =g3 <0) pour le mod`ele CM, et de type ODCL (M =−, g1 =−g3 <0) pour le mod`ele SSH.
R´esultats num´eriques
Il est int´eressant de voir dans le cas g´en´eral la d´ependance en fr´equences des diff´erents couplages et de comparer leurs comportements `a celui pr´edit par l’approche analytique ci-dessus dans la limite adiabatique. Sur les figures 3.1 et 3.2, nous avons trac´e la variation des gi(ω1, ω2, ω3) au voisinage de la divergence ℓc pour les deux limites de fr´equence de phonon, adiabatique ω0,D/∆0 = 10−3 et non adiabatique ω0,D/∆0 = 10+3. Le couplage
´electron-phonon est fix´e `a |˜g|= 0.8 et les fr´equences de transfert sont prises telles que
Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 53
|ω1 −ω3|= 0. Cette condition li´ee aux processus de diffusion dans le canal de Peierls apparaˆıt dans les corrections `a bulles ferm´ees des ´equations de flot, surtout celles relatives aux facteurs de renormalisation.
Dans la figure 3.1, on note une nette divergence des couplages ˜g1 et ˜g3 pour des fr´equences non-nulles avec |ω1 ±ω2| = 0. Ceci est une signature de l’ouverture d’un gap dans le secteur spin et dans le secteur charge. Le couplage ˜g2 reste relativement peu renormalis´e. La d´ependance en fr´equence est identique pour les deux mod`eles avec
−20 pour les mod`eles SSH et CM pour ℓ.ℓc. Le couplage nu et la fr´equence de phonon sont fix´es `a |g˜|= 0.8 et ω0,D/∆0 = 10−3, respectivement (l’´echelle verticale est arbitraire).
un changement de signe pour ˜g3 pour le cas CM. Ceci s’explique naturellement par les similitudes qui existent entre les ´equations de flot des deux mod`eles, comme cela a d´ej`a
´et´e pr´esent´e dans l’approche analytique adiabatique. La valeur nue de ˜g2 importe peu puisque se couplage n’apparaˆıt pas dans l’´equation de flot (3.7) par contre la valeur nue de
˜
g3 fixe le sens de la divergence Umklapp. `A l’oppos´e de l’approche analytique, le r´esultat num´erique de la figure 3.1 montre une d´ependance en fr´equence des trois couplages mˆeme pour les cas o`u toutes les fr´equences fermioniques sont identiques dans tous les couplages
Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 54
˜
gi=1,3(ω1, ω1, ω1). Dans la r´esolution num´erique, la contribution des vertex avec bulles ouvertes et demi-ouvertes n’est pas tout-`a-fait nulle. En effet, les couplages du type
˜
gi(ω1, ω2, ω1) poss´edant des valeurs finies `a ℓ = 0, contribuent aux ´equations de flot `a travers des corrections de vertex essentiellement de type Cooper d’o`u cette d´ependance en fr´equence des diff´erents couplages qui persiste jusqu’`a la divergence.
Dans la figure 3.2, nous avons report´e les r´esultats de la limite non adiabatique ω0,D/∆0 = 10+3. La diff´erence entre les deux mod`eles est ´evidente. Alors que le mod`ele
−20 pour les mod`eles SSH et CM pour ℓ.ℓc. Le couplage nu et la fr´equence de phonon sont fix´es `a |g˜|= 0.8 et ω0,D/∆0 = 10+3, respectivement (l’´echelle verticale est arbitraire).
SSH pr´esente une ´evolution des couplages semblable `a ceux de la limite adiabatique, ceux du mod`ele CM pr´esentent des divergences de ˜gi=1,2 autour des fr´equences nulles mais avec un processus Umklapp relativement peu renormalis´e. La valeur tr`es grande deω0,D donne des constantes de couplages nues ind´ependantes des fr´equences ((δnij/ω0,D)2→0) et des
´equations de flots identiques `a ceux du mod`ele du gaz d’´electrons en interaction (´equation (2.30)).
Pour tenter d’expliquer la similitude qui existe entre les couplages SSH non
adiaba-Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 55 tique et ceux des deux mod`eles en r´egime adiabatique, on va revenir aux ´equations du flot en supposant que l’´evolution |˜g1| reste identique `a celle de|˜g3|, ce qui est tout-`a-fait vrai pour les faibles valeurs de ℓ. Avec l’aide des sym´etries de l’´equation (2.17) et annulant toute contribution de ˜g2, les ´equations de flot de ˜g1 et ˜g3 peuvent ˆetre r´e´ecrites dans le cas SSH non adiabatique sous la forme combin´ee suivante :
∂ℓ[˜g1±˜g3](ω1, ω2, ω3)≈−
Z
ω
[˜g1±˜g3](ω1, ω, ω3)×[˜g1±˜g3](ω4, ω, ω2)×Ip(ω, ω1−ω3). (3.10) Maintenant dans la cas adiabatique, la consid´eration des seules bulles ferm´ees en plus de la condition ˜g2ℓ=0 = 0, r´eduit les ´equations de flot des mod`eles CM et SSH `a :
∂ℓ[˜g1±˜g3](ω1, ω2, ω3)≈−2 Z
ω
[˜g1±˜g3](ω1, ω, ω3)×[˜g1±g˜3](ω4, ω, ω2)×Ip(ω, ω1−ω3)(3.11) Ce qui explique la grande ressemblance entre les cas CM et SSH adiabatique (3.11) et le cas SSH non adiabatique (3.10). La variation du processus de diffusion vers l’avant, n´eglig´e ici serait justifi´ee par l’interf´erence Cooper-Peierls entre les diagrammes b1 etb4
(figure 2.3).
Cette proc´edure ne peut s’appliquer au mod`ele CM dans la limite non adiabatique en raison de la valeur finie de ˜gℓ=02 . Dans ce cas, la divergence de ˜g1 indique l’ouverture d’un gap dans le secteur spin alors que la faible renormalisation de ˜g3 confirme l’absence de gap de charge conform´ement au r´esultat du diagramme de phase du mod`ele du gaz d’´electrons de la figure 2.4, qui pr´evoit un secteur de charge non gapp´e pour ˜gℓ=01 − 2˜g2ℓ=0>0 ; ceci co¨ıncide avec le mod`ele de Hubbard attractif [69]. Toutefois, une faible d´ependance en fr´equence du Umklapp du mod`ele CM et qui n’est pas visible sur la figure 3.2, persiste jusqu’`aℓc. Cette d´ependance est g´en´er´ee essentiellement par les bulles Ip,c,s et peut ´eventuellement hypoth´equer l’obtention de la s´eparation spin-charge dans la mesure o`u, ˜g1 et (˜g1 −2˜g2) restent coupl´es par l’interm´ediaire d’un ˜g3 dynamique `a haute fr´equence de phonon. Ceci est visible sur les figures 3.1 et 3.2 puisqu’`a la base, les effets de retard favorisent un couplage entre le spin et la charge [41].
La diff´erence entre les deux mod`eles dans le r´egime non adiabatique se refl`ete claire-ment sur les vertex ΓMµp de l’´equation (3.5) relatifs aux facteurs de renormalisation des ODC et ODCL. La figure 3.3 montre des vertex totalement diff´erents dans le r´egime non adiabatique alors qu’ils sont presque identiques dans le r´egime adiabatique. La contribution non-nulle des diagrammes ouverts et semi-ouverts aux ´equations de flot
Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 56
Chapitre 3 : Syst`eme ´electron-phonon unidimensionnel 57 est d´eterminante dans le r´egime non adiabatique, sp´ecialement les diagrammes incluant le couplage ˜g2. Par contre, le fait d’avoir une valeur nue, nulle ou non-nulle, de ce couplage ne change en rien sa renormalisation dans la limite adiabatique puisque sa variation en fonction deℓ reste relativement faible et tributaire des interf´erences Cooper-Peierls pour les deux mod`eles. On s’attend donc `a avoir le mˆeme comportement du gap adiabatique et une nette diff´erence du gap non adiabatique des mod`eles SSH et CM.