Int´egrale fonctionnelle et action euclidienne

Pour pr´esenter les grandes lignes de la proc´edure de renormalisation d’un syst`eme unidimensionnel d’´electrons en interaction, nous allons commencer par calculer la fonc-tion de partifonc-tion Z = Tr e<sup>−βH</sup> du syst`eme. La connaissance explicite de cette quantit´e nous permet d’acc´eder `a toutes les valeurs moyennes macroscopiques et aux fonctions de corr´elations des observables physiques. A cette ´etape, nous utilisons le formalisme de l’int´egrale fonctionnelle [52,89]. Ce formalisme se r´esume comme suit : ´etablir la fonction de partition comme une trace sur les ´etats coh´erents de fermions ; d´ecouper celle-ci en tranches infinit´esimales sur l’axe de temps imaginaire de Matsubara et ins´erer la relation de fermeture des ´etats coh´erents entre chacune de ces tranches de temps. L’exponentielle peut donc ˆetre ´ecrite comme un produit d’exponentielles. La trace sera finalement ex-prim´ee en termes d’int´egrale de parcours de l’exponentielle de l’action euclidienne not´ee S[ψ<sup>∗</sup>, ψ], sur des trajectoires anti-p´eriodiques pour des variables ψ, lesquelles v´erifient l’alg`ebre de Grassmann [89],

Z = Z Z

Dψ^∗Dψ e^S[ψ∗,ψ] o`u Dψ^∗_p,σDψp,σ = Y {^p,˜k,σ}

dψ^∗_p,σ(˜k)dψp,σ(˜k). (2.15)

Les variables de Grassmann ψ^(∗) sont des champs anticommutants associ´es aux valeurs propres des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation d’´etats coh´erents de fermions. L’ac-tion euclidienne du syst`eme se compose d’une partie de champs libre S0, d´ecrivant le terme cin´etique dans un r´eseau donn´e et une partie d’interactionSI relative aux diff´erents

Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 36 processus de diffusion entre ´electrons consid´er´es ci-dessus :

S[ψ^∗, ψ] =S⁰[ψ^∗, ψ] +S^I[ψ^∗, ψ] avec S⁰[ψ^∗, ψ] =X

La d´ependance en fr´equences et en vecteurs d’onde des vertex `a quatre champs im-plique des permutations possibles entre les variables des particules entrantes et sortantes, d’o`u certaine r`egles de sym´etrie pour les amplitudes de couplage gi(˜k1,k˜2,k˜3) [90] :

gi(˜k1,k˜2,k˜3) =gi(˜k3,˜k4,˜k1) ; gi(˜k1,˜k2,˜k3) = gi(˜k2,˜k1,k˜4). (2.17) La premi`ere sym´etrie exprime l’invariance de l’action euclidienne d’interaction SI[ψ^∗, ψ]

sous la permutation suivante : ψ → i ψ^∗ et ψ^∗ →i ψ. La deuxi`eme sym´etrie est reli´ee `a l’antisym´etrisation des variables de Grassmann pour les interactions `a quatre champs.

On va maintenant proc´eder `a la premi`ere ´etape du groupe de renormalisation `a savoir l’int´egration des degr´es de libert´e de hautes ´energies. Cette int´egration se fait de mani`ere it´erative avec un g´en´erateur dℓ. Une it´eration donne lieu `a une int´egration partielle des degr´es de libert´e fermioniques sur un intervalle infinit´esimal d’´energie [Λ(ℓ+dℓ),Λ(ℓ)]

situ´e des deux cˆot´es du spectre d’´energie avec une largeur de bande effective 2Λ(ℓ) = 2Λ0e^−ℓ (Λ0 =vFk⁰_F). En termes de vecteurs d’onde, cela revient `a sommer sur les inter-valles (ou coque externe) suivants :



Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 37 La coupure (cut-off) Λ(ℓ) indique la limite de validit´e de la lin´earisation de l’´energie des fermions autour de k<sub>F</sub><sup>0</sup> `a l’´etapeℓ. Autrement dit, nous supposons que les seuls ´etats accessibles du syst`eme sont ceux situ´es `a une longueur au plus ´egale `aℓ. On parle alors du cut-off ultra-violet car on a coup´e les hautes ´energies. L’action euclidienne est s´epar´ee en deux parties,S[ψ^∗, ψ]≡ S[ψ^∗, ψ]^ℓ_<+Sψ¯^∗,ψ, ψ¯ ^∗, ψ

o`u ¯ψ d´esigne les champs de fermions dont le vecteur d’onde se trouve dans la coque de largeur δΛ(ℓ) = Λ0(ℓ)dℓ. Le terme S[ψ<sup>∗</sup>, ψ]<sup>ℓ</sup><sub><</sub> est la partie de l’action ne poss´edant que des champs non int´egr´es, associ´es aux degr´es de libert´e de basse ´energie et symbolis´ee par ”<” alors que Sψ¯<sup>∗</sup>,ψ, ψ¯ <sup>∗</sup>, ψ englobe tous les termes qui contiennent au moins un champ ¯ψ. Cette derni`ere partie de l’action euclidienne sera aussi s´epar´ee en une partieS⁰ψ¯^∗,ψ¯

relative aux fermions libres et une partie dite d’interaction SI

ψ¯^∗,ψ, ψ¯ ^∗, ψ

contenant les termes perturbatifs reli´es aux diff´erents processus de diffusion ´electroniques. La transformation de la fonctionnelle S, apr`es une it´eration, correspond au passage ℓ−→ℓ+dℓ,

La r´esolution de la relation de r´ecurrence pour S[ψ^∗, ψ]^ℓ+dℓ se fait diagrammatiquement en utilisant le th´eor`eme des graphes connexes [52, 89, 91–93] :

Z =Z¯o haute ´energie en ne tenant compte que des diagrammes connexes. On note que dans le groupe de renormalisation que nous d´efinissons ici, il n’y a pas de coupure naturelle sur les fr´equences de Matsubara. Donc pour chaque sommation de l’´energie dans la coque externe, une sommation compl`ete sur les fr´equences de fermion doit ˆetre effectu´ee.

Le but de cette op´eration est d’exprimer `a l’´etape ℓ +dℓ, la fonction de partition en fonction d’une nouvelle action euclidienne S[ψ<sup>∗</sup>, ψ]<sup>ℓ+dℓ</sup> ayant la mˆeme structure qu’`a l’´etape ℓ de telle fa¸con que la forme de la fonction de partition demeure invariante sous renormalisation. En pratique, il est impossible d’´evaluer la somme compl`ete sur n de

Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 38 l’´equation (2.19). On se limite g´en´eralement `a l’ordre d’une boucle provenant des cumu-lants n = 2. De plus, l’action SI

ψ¯^∗,ψ, ψ¯ ^∗, ψ

peut ˆetre d´ecompos´ee selon le nombre de champs ¯ψ de la coque externe. D’une mani`ere explicite, on aura :

S[ψ^∗, ψ]^ℓ+dℓ_< =S[ψ^∗, ψ]^ℓ_<+ S^I,2

ψ,ψ¯

¯ oc+1

2 SI,2²

ψ,ψ¯

¯

oc+· · · , (2.20) o`u S<sup>I,i</sup> est la partie d’interaction contenant un nombrei de champs ¯ψ<sup>(∗)</sup> `a int´egrer. Ces derniers seront inclus dans les contractions r´esultantes de l’application du th´eor`eme de Wick [89]. Cette proc´edure va g´en´erer tout d’abord une correction du premier ordre `a l’´energie propre hSI,2i_¯oc, c’est la correction de “self-´energie”d´efinie par Σ `a l’ordre d’une boucle. La quantit´e <sup>1</sup><sub>2</sub>h(S<sup>I,2</sup>)<sup>2</sup>i<sub>¯oc</sub> constitue le terme de correction des vertex `a deux corps et renormalise donc au premier ordre la partie interaction de l’action euclidienne. La quantit´e ¹₂h(S^I,3)²i¯ocforme le terme de correction `a la self-´energie au seconde ordre (deux boucles). Finalement, <sup>1</sup><sub>2</sub>h(S<sup>I,4</sup>)<sup>2</sup>ioc¯ est un terme de correction de la densit´e d’´energie libre, c’est-`a-dire une constante dans la fonction de partition. En r´ealit´e, ce terme n’a d’int´erˆet que lorsque l’on veut ´evaluer des quantit´es thermodynamiques issues directement de la densit´e d’´energie libre.

La deuxi`eme ´etape du groupe de renormalisation consiste `a effectuer un changement d’´echelle, avec un facteur s = e^dℓ `a la fois sur les longueurs et sur les ´energies. Ce changement d’´echelle ram`ene le valeur de la coupure sur le vecteur d’onde `a sa valeur initiale. De plus, pour r´etablir la mˆeme amplitude de fluctuation, les champs fermioniques subissent aussi une transformation d’´echelle. Nous avons alors

k^′ =sk; ε^′_p =sεp; ω_n^′ =sωn ⇒ ψ^(∗)(˜k^′) =s⁻¹2ψ^(∗)(˜k).

Cette deuxi`eme ´etape est dans certains cas indispensable pour pouvoir utiliser la propri´et´e d’auto-similarit´e du syst`eme. Elle permet d’extraire le comportement des constantes de couplage sous l’effet de la renormalisation en comparant la fonctionnelle d’action ini-tiale avec celle issue de l’int´egration sur les champs rapides ¯ψ^(∗). Pour une interaction `a quatre champs ^T_LP

giψ^∗ψ^∗ψ ψ, la renormalisation fait diminuer le nombre de degr´e de libert´eL^′ =s⁻¹L et la temp´erature en tant qu’une ´energie change en T^′ =sT. Avec la transformation d’´echelle appliqu´ee aux champs de Grassman, on voit que le couplage gi

reste inchang´e, il est marginal. Lorsque les gi gardent une certaine d´ependance en k, ils peuvent devenir soit pertinents ou non pertinents.

Comme dans cette ´etude, nous ne nous int´eressons qu’`a l’ordre `a une boucle, seuls les

Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 39 termes hSI,2i_oc¯ et

SI,2²

¯

oc contribuent `a la correction de la self-´energie et aux diff´erents processus d’interaction, respectivement. La correction aux vertex g_i provient de trois combinaisons possibles :

1. La contraction d’une particule et d’un trou de deux branches oppos´ees. C’est le canal de Peierls.

2. La contraction de deux particules ou bien la contraction de deux trous. C’est le canal de Cooper.

3. La contraction d’une particule et d’un trou de la mˆeme branche, appel´e canal de Landau.

La contribution du canal de Landau sera n´eglig´ee, car elle ne donne pas lieu `a des diver-gences logarithmiques contrairement `a celles des canaux de Peierls et Cooper.

La premi`ere ´etape du groupe de renormalisation, `a l’ordre le plus bas en perturbation donne des ´equations de r´ecurrence pour les constantes de couplage ˜gi = gi/π vF qui, `a chaque it´eration dℓ, se trouvent modifi´ees grˆace `a des interf´erences entre les canaux de Peierls et de Cooper (figure 2.3) :

∂ℓg˜1(˜k1,˜k2,˜k3) = TX

˜k

n[−(2s+1)(˜g1(˜k1,k,˜ ˜k3)˜g1(˜k4,k,˜ k˜2) + ˜g3(˜k1,k,˜ ˜k3)˜g3(˜k4,k,˜ ˜k2)) +2˜g1(˜k1,k,˜ ˜k3)˜g2(˜k,˜k4,˜k2) + 2˜g3(˜k1,˜k,k˜3)˜g3(˜k,k˜4,˜k2)]

×I_p(˜k,˜k1−˜k3)

+2˜g1(˜k1,k˜2,k)˜˜ g2(˜k3,k˜4,k)˜ I_c(˜k,˜k1+ ˜k2)o ,

∂ℓg˜2(˜k1,˜k2,˜k3) = TX

˜k

n[˜g1(˜k1,k˜2,˜k)˜g1(˜k3,˜k4,˜k) + ˜g2(˜k1,k˜2,k)˜˜ g2(˜k3,k˜4,k)]˜

×I_c(˜k,˜k1+ ˜k2)

+[˜g2(˜k,˜k2,˜k3)˜g2(˜k,˜k4,k˜1) + ˜g3(˜k,˜k2,˜k3)˜g3(˜k,˜k4,˜k1)]

×I_p(˜k,˜k₂−˜k₃)o ,

∂ℓg˜3(˜k1,˜k2,˜k3) = TX

˜k

2n

[−(2s+1)˜g1(˜k1,k,˜ ˜k3)˜g3(˜k4,k,˜ ˜k2) + ˜g1(˜k1,k,˜ ˜k3)˜g3(˜k,˜k4,˜k2) +˜g2(˜k,˜k4,k˜2)˜g3(˜k1,˜k,k˜3)]I_p(˜k,˜k1−˜k3)

+˜g₂(˜k,˜k₂,k˜₃)˜g₃(˜k,k˜₄,k˜₁)I_p(˜k,˜k₂−˜k₃)o

, (2.21)

o`u (2s+ 1) est le nombre d’´etat de spin-s. Les bulles de Peierls I_p et de CooperI_c sont

Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 40

Figure 2.3 – Repr´esentation diagrammatique des contributions `a l’ordre d’une boucle des vertex ˜gi=1,2,3, de la self-´energie Σ et des facteurs de renormalisation z_µ^M_p etzµc.

Chapitre 2 : Mod`eles physiques et m´ethode du groupe de renormalisation 41 donn´ees par :

I_p(˜k,q) =˜ −πv_F

L dℓ G⁰₊(˜k)G⁰₋(˜k+ ˜q) et I_c(˜k,q) =˜ −πv_F

L dℓ G⁰₊(˜k)G⁰₋(˜q−k).˜ (2.22) Comme approximation, nous n’allons consid´erer que la partie imaginaire de la self ´energie, Σ(˜k)≈iΣ(˜k). La partie r´eelle ne faisant intervenir qu’un d´ecalage du potentiel chimique.

Son ´equation d’´ecoulement `a l’ordre d’une boucle est donn´ee par (figure 2.3) :

∂ℓΣ(˜k1) = −πv_FT L

X

˜k

[(2s+ 1)˜g2(˜k1,˜k,k˜1)−g˜1(˜k,k˜1,k˜1)] ω−Σ(˜k)

[ω−Σ(˜k)]²+ε²₊(k). (2.23)