Mod` ele de Nyborg

a des ´etudes num´eriques vari´ees ( [131]− [135]). Une synth`ese biblio-graphique des mod`eles analytiques, exp´erimentaux et num´eriques por-tant sur l’´etude de l’acoustic streaming en isotherme est r´ealis´ee par Moudjed [96]. Dans la cas d’une cavit´ee soumise `a un gradient ther-mique, on peut citer Ben Hadid [137], [138] ainsi que Dridi [139], [140].

Les domaines d’applications du streaming acoustique sont multiples.

De nombreuses ´etudes utilisent l’onde acoustique pour am´eliorer un transfert de chaleur au sein d’un fluide. Legay et al. ont r´ealis´e une synth`ese de cette litt´erature [143]. On peut ´egalement citer l’action

`

a la manipulation d’objets biologiques [144], [145], ou de particules ( [146]- [148]) ainsi que les processus d’´emulsification ( [149] - [151]).

La formulation r´ealis´ee dans les paragraphes suivants (2.2, 2.3 et 2.4) reprend la synth`ese de Moudjed dont ”un des objectifs est de clari-fier l’´etablissement th´eorique de ce terme de force acoustique dans une

´

equation du mouvement o`u l’inertie est naturellement pr´esente” [96] .

2.2 Mod` ele de Nyborg

Une onde acoustique se propageant dans un fluide visqueux au repos g´en`ere un ´ecoulement `a grande ´echelle appel´e acoustic streaming. La premi`ere description de ce ph´enom`ene a ´et´e r´ealis´ee par Rayleigh [101]

en 1884. Elle a ensuite ´et´e reprise par Schlitching [103] (1932), Ny-borg [104], [106] (1958), Tjotta [107](1999) et Hamilton [108] (2003).

Une synth`ese compl`ete des diff´erents travaux a ´et´e r´ealis´ee par Lei [109]

(2017). La formulation du courant acoustique repose sur les ´equations

de Navier-Stokes qui d´ecrivent le mouvement des fluides Newtoniens.

Dans le cas d’un fluide visqueux compressible, ce syst`eme regroupe l’´equation de continuit´e (2.1) et l’´equation de conservation de la quan-tit´e de mouvement (2.2), pr´esent´ees en notation indicielle :

∂ρ On note ρ la masse volumique et v_i la composante de la vitesse selon l’axe (Ox_i). L’´equation de conservation de la quantit´e de mouvement fait intervenir le gradient de pression −_∂x^∂p

i , les termes de diffusion (ζ + ^µ₃)_∂x^∂

i(_∂x^∂vj

j) ( par expansion volumique) et µ^∂_∂x^2v2ⁱ

j (par cisaillement), et les efforts volumiques ρf_i. Dans la suite, on consid`ere qu’aucun effort volumique li´e `a un champ de forces ext´erieures n’est appliqu´e ( f_i = 0). Nous allons ´etablir l’´equation formul´ee par Nyborg (´equation 4.a dans [106]) qui d´etermine le terme de force acoustique dans la suite.

Dans le cas d’un ´ecoulement incompressible, le terme de diffusion par expansion volumique est nul. l’´equation de conservation de la quantit´e de mouvement (2.2) est alors r´eduite `a : (2.1). Pour un fluide compressible, on ´ecrit donc :

∂ On injecte l’´equation de continuit´e dans l’expression ci-dessus. L’ex-pression peut ˆetre r´e´ecrite de la fa¸con suivante :

ρ∂vi

∂t = ∂

∂t(ρv_i) +v_i ∂

∂x_i(ρ v_i) (2.5)

L’´equation de conservation de quantit´e de mouvement est alors r´e´ecrite :

Cette ´equation 2.7 est celle ´etablie par Nyborg (´eq. 4.a dans [106]). Ny-borg va alors consid´erer le terme−(v_i∂x^∂

On d´efinit la force acoustique comme ´egale `a l’amplitude acoustique g´en´er´ee dans le fluide `a laquelle on soustrait le terme de diffusion par cisaillement. Moudjed [96] synth´etise la formulation du mod`ele ´etabli par Nyborg [104]. On lin´earise les ´equations pr´ec´edentes, cela revient

`

a consid´erer l’onde de pression comme une perturbation de l’´etat `a l’´equilibre.

ρ = ρ₀ +ρ_ac, v_i = v_0,i +v_ac,i, p = p₀ +p_ac

ρ₀ est la densit´e au repos, v_0,i est la vitesse au repos (qui est nulle) et p₀ est la pression du fluide au repos. Les termes ρ_ac, v_ac,i, p_ac,i sont res-pectivement la masse volumique, la vitesse et l’amplitude de pression acoustique `a l’ordre 1. Une loi g´en´erale qui lie la pression et la densit´e peut alors ˆetre formul´ee :

p_ac = f(ρ) (2.9)

Les trois grandeurs physiques impliqu´ees sont la pression p, le champ

On peut ´etablir une relation entre pression et densit´e. Cette rela-tion est fournie par l’´equation d’´etat du fluide p = p(ρ, s) (o`u s est l’entropie), qui peut ˆetre approxim´e par un d´eveloppement `a l’ordre 2 au voisinage de l’´etat d’´equilibre du m´elange. On consid`ere une trans-formation isentropique, on ´ecrit alors :

p = p₀ +A_(s0,ρ0)(ρ−ρ0

ρ₀ ) + B_(s0,ρ0)

2 (ρ−ρ0

ρ₀ )² (2.13) On note A_(s0,ρ0) = ρ0(^∂p_∂ρ)_s0,ρ0 et B_(s0,ρ0) = ρ²₀(^∂_∂²2^pρ)_s0,ρ0. A_(s0,ρ0) est le coefficient de compressibilit´e isentropique. Il s’exprime comme l’inverse du module d’´elasticit´e adiabatique :

A_(s0,ρ0) = (1

χ)_s (2.14)

A l’ordre 1, il reste f(ρ) selon le coefficientA_(s0,ρ0). On peut alors ´ecrire f(ρ) = (ρ−ρ₀)(^∂p_∂ρ)_ρ0 avec (^∂p_∂ρ)_ρ0 = c²₀. Finalement, on ´ecrit :

p_ac = (ρ−ρ₀)c²₀ (2.15)

La loi du comportement fluide (2.9) lin´earis´e `a l’ordre 1 peut donc se r´e´ecrire :

p_ac = c²₀ρ_ac (2.16)

A partir de 2.15 et 2.11, on obtient la relation entre pression acous-tique et vitesse acousacous-tique :

∂p_ac

∂t +ρ₀(∂p

∂ρ) ∂

∂x_i( vac,i) = 0 (2.17) En d´erivant l’´equation de continuit´e (2.11) , la relation suivante est obtenue :

∂²ρ_ac

∂²t = −ρ₀ ∂

∂x_i(∂v_ac,i

∂t ) (2.18)

On injecte (2.16) dans le terme de gauche et (2.12) dans le terme de droite de l’´equation ci-dessus. La combinaison des trois ´equations nous permet d’aboutir `a l’´equation de propagation des ondes en r´egime lin´eaire :

∂²pac

∂²t = c²₀∂²pac

∂x²_i (2.19)

On observe qu’`a l’ordre 1, on retrouve l’´equation de propagation des ondes. La pression acoustique p_ac est une quantit´e scalaire d´ependant du temps t et de la position (x, y, z). Les termes (v_i∂x^∂

i(ρ v_i) +ρv_j∂x^∂vi

j)

´

etant du second ordre , ils ne sont pas pr´esents ici, la force acous-tique est donc nulle pour un d´eveloppement `a l’ordre 1 de l’´equation du mouvement. Nous avons consid´er´e l’´equation de conservation de la quantit´e de mouvement et l’´equation de continuit´e. Ainsi, selon l’ordre du d´eveloppement en pression , masse volumique et vitesse pour ces

´

equations, on aboutit `a diff´erents r´esultats. A l’ordre 1, on obtient l’´equation de propagation des ondes. Nyborg va donc d´evelopper les grandeurs ρ, v, p, `a l’ordre 2.

ρ = ρ₀ +ρ_ac +ρ_e, v_i = v_0,i +v_ac,i +v_e,i, p = p₀ +p_ac +p_e

On note alorsρ_e,v_e,i,p_e, la masse volumique, la vitesse et la pression li´ees `a l’´ecoulement entraˆın´e, `a l’ordre 2. En introduisant l’ordre de 2 dans l’´equation 2.8 on obtient :

-`a l’ordre 0 : On identifie alors la forme −(v_ac,i∂x^∂

j(ρ₀vac,j) +ρ0vac,j∂vac,i

∂x_j ) 2.7 qui correspond `a la force acoustique :

f_ac,i = −(v_ac,i ∂

∂x_i(ρ₀v_ac,i) + ρ₀v_ac,j∂vac,i

∂x_j ) (2.23)

Au passage de l’onde, la particule de fluide oscille autour de sa po-sition d’´equilibre. Nyborg simplifie alors l’expression en consid´erant la

moyenne temporelle de la vitesse. Il consid`ere que l’´ecoulement induit est d´ecrit par cette vitesse moyenne. Il n’est donc pas possible d’´etudier le ph´enom`ene d’acoustic streaming avec la seule th´eorie de l’acoustique lin´eaire.

2.3 Force acoustique d’entraˆınement pour une onde