Ecoulement induit en fonction de la puissance ´

On trouve un profil de la vitesse axiale de l’´ecoulement qui suit le profil de la force acoustique import´ee.

Figure 4.4 – ´Ecoulement induit (P=1.4W) en champ proche 2D

Le calcul est r´ealis´e pour diff´erentes puissances acoustiques comme dans l’exp´erience : P_ac = [1.4−5.6W].

On trouve un ´ecart entre simulation num´erique et r´esultats exp´erimentaux inf´erieur `a 25% (pour les puissances : P=1.4W, 2.8W, 4.2W).

Coupe u_e (m.s⁻¹) exp´erimentale u_e (m.s⁻¹) num´erique ´ecart

z=50mm 0.0032 0.0037 13.6%

z=100mm 0.0055 0.0072 25%

z=150mm 0.0060 0.0078 24 %

z=200mm 0.0080 0.0100 20%

Table 4.4 – ´Ecoulement induit 2D en champ proche (P=1W4)

Coupe ue (m.s⁻¹) exp´erimentale ue (m.s⁻¹) num´erique ´ecart

z=50mm 0.0055 0.0051 7.3%

z=100mm 0.0085 0.0077 9.5%

z=150mm 0.0095 0.0098 4%

z=200mm 0.0125 0.0110 12%

Table 4.5 – ´Ecoulement induit 2D en champ proche (P=2W8)

Coupe ue (m.s⁻¹) exp´erimentale ue (m.s⁻¹) num´erique ´ecart

z=50mm 0.0073 0.0070 4.2%

z=100mm 0.0115 0.0100 13.1%

z=150mm 0.0125 0.0120 4%

z=200mm 0.0160 0.0170 6%

Table 4.6 – ´Ecoulement induit 2D en champ proche (P=4W2)

La figure 4.4 repr´esente l’´ecoulement induit en champ proche `a la puissance P=1.4W. Les vitesses mises en jeu sont de l’ordre du mil-lim`etre par seconde. On superpose le profil d’intensit´e acoustique et

de vitesse d’´ecoulement, on observe un profil de l’´ecoulement directe-ment influenc´e par la distribution spatiale du rayonnement acoustique.

On repr´esente les coupes selon (Oy) dans le plan (x = Lx/2, z = [z₁, z₂, z₃, z₄]). L’´ecoulement pour P=1.4W est repr´esent´e sur la figure 4.4. Les r´esultats des ´ecoulements induits sont synth´etis´es pour les diff´erentes puissances respectivement dans les tableaux 4.4 (P=1.4W), 4.5 (P=2.8W) et 4.6 (P=4.2W).

Figure 4.5 – Force acoustique import´ee sous Comsol (P=5.6W)

Dans le cas P_ac = 5.6W en champ proche, l’´ecoulement induit est

´

etudi´e en prenant en compte la non-lin´earit´e de l’onde ultrasonore.

Deux m´ethodes sont envisag´ees pour impl´ementer le fondamental et

Figure 4.6 – Force acoustique (N/m³) : fondamental et harmoniques (k=1,2,3,4) avec α_ac,moyen = 0.1m⁻¹.

les harmoniques. Premi`erement, on consid`ere que le puissance acous-tique relev´ee `a l’hydrophone P<sub>ac</sub> = 5.6W correspond uniquement au fondamental. La normalisation en pression est alors effectu´ee `a partir du fondamental (dont le maximum est p_ac = 3∗10⁵P a (fig. 3.17)). On obtient alors la pond´eration de la force acoustique et de ces harmo-niques (fig. 4.6) pour une force acoustique maximale du fondamental f_ac = 4N/m³. La figure 4.6 permet de visualiser le poids des diff´erents harmoniques en terme de force acoustique (en consid´erant un coeffi-cient d’att´enuation constant α_ac,moyen = 0.1m⁻¹). On ajuste ensuite le coefficient d’att´enuation pour chacun des harmoniques (fig. 4.7 et tableau 4.7).

fondamental (k=1) et harmoniques k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

pression acoustique maximale (10⁵P a) 3 1.2 0.8 0.5 0.03

Poids en pression (fondamental+harmoniques) en z =z_f (5.5∗10⁵P a) 55% 21% 14.5% 9% 0.5%

Amplitude maximale de l’intensit´e acoustique I_ac,max ( 10⁴W/m² ) 3 1.2 0.8 0.5 0.03

Att´enuation acoustique α_ac(m⁻¹) 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5

Expression de la force acoustique maximale f_ac,max = ^2αacI_c^ac,max

0 (N/m³) 4 2.06 3.12 1.92 0.5

Poids en force (fondamental+harmoniques) en z =z_f (11.5N/m³) 34% 18% 26% 17% 5%

Table 4.7 – Param`etres de calcul des harmoniques (m´ethode 1)

Deuxi´emement, on consid`ere que la puissance totale est ´egale `a P_ac = 5.6W, en consid´erant le fondamental et les harmoniques (k=1

`

a 5). On normalise par la pression totale (pac = 3 ∗ 10⁵P a) avec les diff´erents poids des harmoniques. La pression acoustique totale cu-mul´ee des harmoniques et du fondamental est alorsp_ac = 3∗10⁵P a (cf.

fig. 4.5 et tableau 4.8). On ajuste ensuite le coefficient d’att´enuation pour chaque harmoniques.

On repr´esente l’´ecoulement induit en incorporant la contribution des quatre premiers harmoniques (fig. 4.8) d’apr`es la premi`ere m´ethode.

On obtient le mˆeme ´ecoulement induit avec la seconde m´ethode pour

Figure 4.7 – Contribution des diff´erents harmoniques (P=5.6W, α_ac = f(f r´equence))

fondamental (k=1) et harmoniques k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

pression acoustique maximale (10⁵P a) 1.63 0.64 0.43 0.27 0.01 Poids en pression (fondamental+harmoniques) enz =z_f (3∗10⁵P a) 55% 21% 14.5% 9% 0.5%

Amplitude maximale de l’intensit´e acoustique I_ac,max ( 10⁴W/m² ) 1.63 0.64 0.43 0.27 0.01

Att´enuation acoustique α_ac(m⁻¹) 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5

Expression de la force acoustique maximale f_ac,max = ^2αacI_c^ac,max

0 (N/m³) 2.16 1.11 1.68 1 0.27

Poids en force (fondamental+harmoniques) enz =z_f (6.2N/m³) 34% 18% 26% 17% 5%

Table 4.8 – Param`etres de calcul des harmoniques (m´ethode 2)

un temps caract´eristique d’´etablissement de l’´ecoulement (30 fois) plus important. Les trois premiers harmoniques sont significatifs dans la

contribution de la force acoustique. On repr´esente les contributions des diff´erents harmoniques (poids des harmoniques) par rapport au fondamental et aux quatre premiers harmoniques dans le tableau 4.7.

La force acoustique maximale est pr`es de deux fois plus importante que dans le cas de la seconde m´ethode. L’´ecoulement oscille d`es les premiers instants puis est instable. La seconde m´ethode (dont le maximum cu-mul´e de force acoustique fondamental et harmoniques est ´egale `a 54%

de la premi`ere m´ethode) permet d’observer un ´ecoulement induit sur un temps plus important avant d’osciller et de devenir instable `a son tour.

On repr´esente la norme de la vitesse de l’´ecoulement induit dans la cavit´e, en tenant compte des non-lin´earit´es, sur la figure 4.8.

Figure 4.8 – Norme de la vitesse de l’´ecoulement induit (P=5.6W)

Dans le cas P=5.6W, la prise en compte des non-lin´earit´es permet une ´etude plus r´ealiste du profil de l’´ecoulement induit, en particulier `a

Coupe u_e (m.s⁻¹) exp´erimentale u_e (m.s⁻¹) num´erique ´ecart

z=50mm 0.0075 0.0060 20%

z=100mm 0.0130 0.0100 24%

z=150mm 0.0145 0.0130 11%

z=200mm 0.0175 0.0170 3%

Table 4.9 – ´Ecoulement induit 2D en champ proche (P=5w6)

la zone de Fresnel. L’´ecoulement induit oscille et se d´estabilise tr`es ra-pidement. On compare l’´ecoulement induit au r´esultats exp´erimentaux ant´erieurs de Moudjed (tableau 4.9). On trouve ici un accord satisfai-sant (´ecart maximale de 24%).

Il existe une relation entre vitesse d’´ecoulement et puissance acous-tique de la forme v = A√

Pac ou v = BPac.

La figure 4.9 est obtenue `a partir des diff´erentes valeurs issus de Mitome [97], Frenkel [98], Nowicki [99] dont Moudjed [96] r´ealise une synth`ese. Une comparaison entre la vitesse de l’´ecoulement obtenue, ici, num´eriquement (figure 4.9, croix) et exp´erimentalement (figure 4.9, lignes [97], [98], [99]) est effectu´ee. On trouve un bon accord pour les vi-tesses d’´ecoulement (num´erique) de faible puissance (P=1.4W,2.8W).

En revanche, lorsque l’on augmente la puissance (P=4.2W, 5.6W), on obtient des vitesses d’´ecoulement exp´erimentale plus ´elev´ee (facteur 2).

Figure 4.9 – Vitesse analytique de l’´ecoulement induit en fonction de la puissance acoustique