Comment mod´eliser la turbulence ?

où k est l’énergie turbulente des grandes structures et représente le taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente. Et l’échelle de Kolmogorov η est définie par :

η = (^ν ⁾

1 4

où ν est la viscosité cinématique du fluide et représente le taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente.

1.4.3 Caract`ere non lin´eaire

Un autre point fondamental est la présence d’un grand nombre de degrés de li-berté dans un écoulement turbulent, ce qui se traduit par l’excitation non linéaire d’une large gamme d’échelles de mouvements qui coexistent en son sein. De ce fait, si au départ l’énergie est contenue dans un domaine spectral restreint, la non linéarité des équations de Navier-Stokes décrivant les mouvements du fluide, va entraˆıner la répartition de cette énergie, en un temps fini, sur toutes les échelles disponibles.

De plus, la non linéarité de la turbulence assure une intéraction incessante entre toutes les structures : le caractère plus prédictible des grosses structures va être limité par l’instabilité des plus petites structures dont le comportement plus universel va quant à lui être compromis par les plus grandes échelles.

1.5 Comment mod´eliser la turbulence ?

1.5.1 La simulation num´erique directe

Ce modèle que l’on retrouve dans la littérature [109, 62, 70, 113] résout numéri-quement les équations de Navier-Stokes qui régissent les fluides en mouvement. Cette résolution s’effectue de manière directe, c’est-à-dire que ce modèle calcule toutes les échelles de l’écoulement.

Cette méthode est précise et efficace car elle fournit des informations complètes qui n’ont pas été affectées par des modèles de turbulence. Cependant elle est souvent peu adaptée aux écoulements dès que le nombre de Reynolds n’est plus modéré, un écoulement en transition vers la turbulence ou turbulent présentant des phénomènes de tailles très différentes : des grandes structures tourbillonnaires qui contiennent l’essentiel de l’énergie cinétique, des échelles intermédiaires par lesquelles l’énergie est transférée et des petites structures responsables de la plu-part de la dissipation de l’énergie cinétique. La simulation de tels écoulements sur de longues périodes entraˆıne donc des contraintes très fortes, le temps de calcul

et la mémoire nécessaires devenant très importants. La résolution numérique di-recte de l’écoulement nécessite en effet des cellules de maillage suffisamment fines pour pouvoir capturer les petites structures. Si L et η désignent respectivement la taille des plus grandes et des plus petites structures alors le rapport entre ces structures est donnée par l’expression 1.13. Elle est d’autant plus grande que le nombre de Reynolds est important. Il en va de même pour le nombre de nœuds du maillage total N (formule 1.14) :

η ^{= Re}

4 (1.13)

N = Re9/4 (1.14)

Les mêmes contraintes apparaissent au niveau de la discrétisation temporelle à travers la relation 1.15 où TL et Tη représentent respectivement la plus grande et la plus petite échelle temporelle :

TL Tη

= Re¹2 (1.15)

Cette relation implique que le nombre de pas nécessaires pour simuler un in-tervalle fixé augmente avec le nombre de Reynolds, l’écoulement présentant de plus en plus de petites structures complexes évoluant de manière imprévisible au cours du temps.

1.5.2 Les mod`eles de turbulence

Afin de pouvoir traiter numériquement les écoulements associés à des nombres de Reynolds élevés et à des géométries complexes que l’on rencontre en industrie, une modélisation de la turbulence est nécessaire. Le principe de ces modèles de turbulence est de réduire le nombre d’inconnues de la simulation tout en étant assez précis pour pouvoir prédire correctement des écoulements turbulents complexes.

Pour les écoulements à grand nombre de Reynolds à caractère industriel, les modèles de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS) [149, 5, 146, 73, 169, 92] sont largement utilisés. Cependant, si ces modèles peuvent fournir une bonne prédiction des écoulements attachés, ils sont moins performants pour la prédiction des écoulements fortement instationnaires comme ceux présentant des décollements et des développements tourbillonnaires importants.

L’autre grande famille d’approches représentée par la simulation des grandes échelles (LES) [77, 95, 163, 39, 114], qui permet une bonne prédiction de ces écoulements instationnaires avec décollement, est souvent encore trop coûteuse quand le nombre de Reynolds est élevé.

Une nouvelle classe de modèles, les modèles hybrides RANS/LES [148, 141, 36, 55, 66, 130, 155, 97, 37, 147, 141], a alors été récemment développée. L’idée

générale de ces modèles est de combiner les approches RANS et LES dans une même simulation dans le but d’obtenir des simulations aussi précises qu’en LES mais avec un coût moindre. Dans ces modèles hybrides, on souhaite prédire l’écoulement de couche limite attachée par un modèle RANS et l’écoulement dans les zones de forts décollements et de développements tourbillonnaires par une approche LES.

R´esolution num´erique des

´equations de Navier-Stokes

2.1 Introduction . . . 32 2.2 Equations g´^´ enérales . . . 32 2.3 Equations adimensionn´^´ ees . . . 34 2.4 Discrétisations . . . 36 2.4.1 Discrétisation spatiale . . . 36 2.4.2 Discrétisation temporelle . . . 38 2.5 Conditions aux limites . . . 38 2.6 Méthode mixte élements finis/volumes finis . . . . 38 2.6.1 Evaluation du terme convectif . . . .^´ 38 2.6.2 Préconditionnement petit Mach . . . 42 2.6.3 Evaluation du terme diffusif . . . .^´ 43 2.7 Méthode d’avancement en temps . . . 45 2.7.1 Schéma implicite . . . 45

2.1 Introduction

Pour décrire le mouvement des fluides newtoniens, on utilise les équations de Navier Stokes qui forment un modèle mathématique dérivé à partir des lois de conservation. Elles constituent un exemple d’équations aux dérivées partielles présentant une non−linéarité quadratique.

Historiquement, Bernoulli en 1778, puis Euler, peu de temps après, formulèrent des équations décrivant le mouvement d’un fluide non visqueux, soumis à des forces données. Le terme de viscosité fut ajouté dans ces équations par l’ingénieur et mathématicien Navier en 1821 et 1822. Ce dernier les énon¸ca correctement avec l’aide du mathématicien irlandais Stokes qui, quelques années plus tard, élabora une méthode pour y aboutir. La complexité de ces équations est telle qu’elle ne nous permet pas de disposer, en règle générale, de solutions analytiques.

Il est donc nécessaire de résoudre numériquement ces équations aux dérivées partielles par des approches telles que la méthode des éléments finis [151, 34, 31, 82] ou celle des volumes finis [8, 127, 32] par exemple. Elles ont permis de faire progresser de fa¸con significative ces dernières années les connaissances en turbulence.

Dans ce chapitre, nous présentons les équations qui gouvernent un écoulement monophasique, compressible, visqueux et newtonien ; ensuite, nous décrivons la méthodologie numérique utilisée dans les simulations d’écoulements turbulents présentées dans ce travail, à savoir une méthode mixte éléments finis/volumes finis.

Dans le document Simulation numérique d'écoulements autour de corps non profilés par des modèles de turbulence hybrides et un schéma multirate (Page 39-43)