Mod´elisation hybride : DES et ses variantes

3.2 Mod´elisation de la turbulence

3.2.4 Mod´elisation hybride : DES et ses variantes

˜ Si,j d_S˜_i,j^d3/2 ˜ Si,j_S˜_i,j5/2 + ˜ Si,j d_S˜_i,jd5/4 (3.46) avec ˜Si,j d

qui est la partie sym´etrique du tenseur g2

ij = gikgkj, o`u gik = ^{∂ ˜}^υⁱ ∂xj . Ce qui donne : ˜ Si,j d = ¹ 2 ^g 2 ij + g_ji² − ¹ 3^δ^ij^g 2 kk (3.47)

La définition de la largeur du filtre ∆ est la même que celle du modèle Smago-rinsky (formule 3.39). Dans [101], la constante CW est fixée à 0.5.

3.2.4 Mod´elisation hybride : DES et ses variantes

3.2.4.1 Detached Eddy Simulation (DES)

La version originale du modèle DES a été énoncée, pour la première fois par P. R. Spalart et al. [148] en 1997, elle avait pour but de se débarasser des principales limitations de la simulation des grandes échelles. Par la suite, Travin et al. [160] ont développé et implémenté une formulation générale de la méthode DES, en s’inspirant du modèle SST de Menter [92].

C’est un modèle hybride qui applique l’approche RANS ou le modèle LES selon la résolution du maillage. Le point fort du modèle DES est qu’il fait entrer en jeu un seul modèle de turbulence : il fonctionne comme un modèle de sous-maille dans les régions où la densité du maillage est assez fine pour la LES, et comme approche RANS en dehors de ces zones. Plus précisément, les régions de proche paroi sont traitées par un modèle RANS (celui que l’utilisateur choisi) et les zones de l’écoulement de cisaillement libre sont résolues en LES. Sa formulation est assez simple, elle s’appuie, dans le modèle original, sur celle de Spalart-Allmaras qui, on le rappelle, résout une équation de transport pour une quantité eν équivalente à la viscosité cinématique turbulente loin des parois. Bien qu’elle soit plutôt empirique, la DES est l’une des approches hybrides la plus utilisée à ce jour, en particulier dans les secteurs de l’ingénierie.

Le modèle DES de Travin et al. se fonde sur la formulation Spalart-Allmaras (décrite dans la partie 3.2.1.1) mais utilise, à la place de la distance à la paroi d, une nouvelle échelle de longueur ed qui s’exprime en fonction de la taille de maille ∆ :

où CDES est une constante empirique qui vaut 0.65 et qui a été calibrée sur un calcul de Turbulence Homogène Isotrope. La quantité ∆ correspond, pour les maillages structurés, à la plus grande dimension de la cellule :

∆ = max(∆x, ∆y, ∆z) ou alors ∆ =p

(∆x2, ∆y2, ∆z2) (3.49) Pour les maillages non structurés, la longueur ∆ est égale au diamètre de la cellule multiplié par la paramètre 3⁻¹2.

Ce choix de l’échelle ˜d assure que le traitement RANS soit retenu dans les couches limites, i.e. dans les régions de proche paroi du solide où d << ∆ alors que les zones de mélange et de sillage, situées à d >> ∆, sont directement résolues par l’approche LES.

Cette méthode présente toutefois plusieurs limites. En effet, les régions de tran-sition de RANS à LES (lorsque d ' ∆) créent des zones grises (appelées grey regions en anglais) dépendantes de la taille du maillage et dans lesquelles le com-portement du modèle n’est pas très clair, ce qui réduit sa prédictibilité. De plus, la LES peut être activée dans la couche limite attachée dans le cas d’un maillage raffiné peu étiré, ce qui affecte le mode RANS en réduisant le terme de viscosité turbulente et peut conduire à un phénomène dit de Grid-Induced separation : la transition entre les deux modes LES et RANS est essentiellement gouvernée par des considérations géométriques (dépendance à la distance à la paroi), la couche limite peut ainsi se séparer prématurément en certains points arbitraires en raison d’un traitement LES dans ces zones. Ce comportement a été révélé par Menter et al. en 2003. Afin de remédier à ce problème, le modèle Delayed- DES (DDES) a été proposé par Spalart et al. en 2006 [147].

3.2.4.2 Delayed-Detached Eddy Simulation (DDES)

L’approche DDES, inspirée des travaux de Menter et Kuntz [94], permet de retarder (delay) une transition précoce de RANS à LES dans la couche limite en modifiant l’échelle de longueur ˜d (formule 3.48) du modèle DES.

Une fonction fd est introduite : f_d= 1− tanh[8r_d]³ o`u r_d= q ^ν^t^{+ ν} ∂ui ∂xj ∂ui ∂xjκ2d2 (3.50)

La constante κ dite de Von K´arm´an vaut 0.41.

La fonction fd est définie de telle manière à ce qu’elle soit approximativement égale à 0 dans la couche limite et à 1 en dehors de la couche limite où rd<< 1. De plus, l’échelle de longueur du modèle Spalart-Allmaras est redéfinie alors de la fa¸con suivante :

Avec cette redéfinition de l’échelle de longueur, lorsque fdtend vers 0, la longueur d’échelle ˜d est égale à d, une modélisation RANS est donc activée. Alors que pour fd→ 1, ˜d est donnée par :

d = d− fd max[0; (d− CDES∆)] = min(d; CDES∆) ce qui correspond au crit`ere de choix de la DES.

Ce modèle est moins dépendant du maillage que la DES grâce à cette nouvelle définition de l’échelle de longueur qui permet de forcer le mode RANS dans la couche limite et qui garantit la transition vers la LES à l’extérieur de cette couche.

Pour certains types d’écoulements, lors du passage du mode RANS à la LES dans la couche limite, les zones grises donnent lieu à un phénomène que l’on connaˆıt sous le nom de log-layer mismatch. Si l’on considère les profils de vi-tesse, cela signifie que celui prédit par la LES ne correspond pas à celui obtenu avec l’approche RANS en raison du décalage entre les tenseurs turbulents cal-culés de par et d’autre de l’interface RANS-LES. Ce décalage est provoqué par la réduction rapide de la viscosité de turbulence à travers l’interface RANS-LES et par la sous-estimation des tenseurs résolus du côté LES de l’interface. Une conséquence de ce phénomène est en principe la sous-estimation de la force de frottement.

Différentes stratégies ont été mises en place pour remédier à ces problèmes de zones grises et de log-layer mismatch : des fluctuations turbulentes peuvent être ajoutées à l’entrée/sur l’interface RANS-LES normale à la paroi pour compenser le manque de turbulence dans les régions RANS. Des méthodes visant à réduire la viscosité de turbulence du côté LES de l’interface peuvent aussi être appli-quées, parfois en complément de la première stratégie.

Le modèle IDDES (Improved delayed-detached eddy simulation) a été proposé par Shur et al. en solution à ces problèmes.

3.2.4.3 Improved Detached Eddy Simulation (IDDES)

Le modèle IDDES (Improved Delayed Detached Eddy Simulation) [141] vise à construire un seul ensemble d’équations permettant de combiner la DDES (ou la DES) et la WMLES (Wall Modeled Large Eddy Simulation) [114]. En com-paraison à la DDES, le modèle IDDES possède donc une capacité de loi de paroi supplémentaire, celle prodiguée par la WMLES, et assure une transition conti-nue et progressive du mode RANS au mode LES. Un nouvel élément essentiel dans le fomulation de ce schéma est la définition d’une échelle de sous-maille qui dépend non seulement de la taille des mailles mais aussi de la distance à la paroi. Lorsque des conditions d’entrée instationnnaires sont suffisamment présentes, le mode WMLES est activé, dans le cas contraire l’approche IDDES agit comme

la DDES, i.e. elle donne une solution RANS pour l’écoulement attaché et une solution de type DES pour les zones de séparation.

En IDDES, l’échelle de longueur de sous-maille est définie en faisant intervenir la distance à la paroi comme suit :

∆ = min

max[Cwdw, Cwhmax, hwn], hmax

(3.52) où dw est la distance à la paroi, Cw est une constante empirique fixée à 0.15, hwn est la taille de maille dans la direction normale à la paroi et hmax est la valeur maximale de ∆ obtenue lorsque dw est infinie, c’est-à-dire dans les régions très éloignées des parois, et se trouve exprimée par la longueur maximale des mailles dans les trois directions :

hmax= max(∆x, ∆y, ∆z)

Cette approche se base sur un ensemble de fonctions qui vise à donner des per-formances correctes pour les deux modélisations utilisées : DDES et WMLES, et de leur couplage. Les deux modèles sont combinés par le biais d’une longueur caractéristique lIDDES du modèle hybride définie de fa¸con à avoir un choix au-tomatique de l’un ou l’autre des modèles DDES ou WMLES selon le type de l’écoulement et du maillage utilisé. La longueur lIDDES est donnée par l’expres-sion suivante :

l_IDDES = ˜f_d(1 + f_e)l_{RAN S} + (1− ˜f_d)l_LES (3.53) où lRAN S désigne la distance à la paroi, lRAN S = dw et lLES est la longueur caractéristique du modèle LES, lLES = CDES∆ avec ∆ l’échelle de sous-maille (équation (3.52)). Le terme ˜fd est la fonction de couplage définie par :

fd = max

(1− fdt, fB

(3.54) où fdt= 1− tanh[(rdt)3] avec rdt l’analogue turbulent de rdde la méthode DDES (formule 3.50) : rdt = q ^ν^t ∂u_i ∂xj ∂u_i ∂xjk2d2 w (3.55) et où fB est la fonction de couplage utilisée dans la modélisation WMLES qui dépend du rapport ^dw hmax : fB = min 2exp(−9α²), 1 , α = 0.25− _h^d^w max (3.56) Lorsque rdt << 1, fdt sera proche de 1 d’où ˜fd = fB, ainsi le modèle fonctionne en mode WMLES. Dans le cas contraire, le modèle s’approche du mode DDES.

Dans le document Simulation numérique d'écoulements autour de corps non profilés par des modèles de turbulence hybrides et un schéma multirate (Page 80-84)