Description du cas test et applications

Dans cette partie, nous pr´esentons les simulations de l’´ecoulement autour du cylindre rectangle 5 : 1 que nous avons effectu´ees avec le mod`ele de turbulence VMS-LES combin´e avec le mod`ele de sous-maille Smagorinsky pour des nombres de Reynolds de 26400. Le cas test est repr´esent´e dans la figure 4.8. Le maillage non structur´e utilis´e contient 1.4 millions de nœuds. Dans nos calculs, un pas de temps adimensionnel ´egal `a 0.00388 (Uref × ∆t(s)/D) est utilis´e et l’angle d’incidence est nul.

Bruno, Salvetti et Ricciardelli ont pr´esent´e dans un papier de 2014 [18], l’en-semble des r´esultats exp´erimentaux et num´eriques obtenus depuis l’´etude de

r´e-f´erence faite pour l’a´erodynamique des cylindres rectangulaires en 2008 (BARC). Plus tard, Mariotti, Siconofi et Salvetti ont compl´et´e cette ´etude dans un papier de 2017 [87] en ajoutant de nouveaux r´esultats.

Figure 4.8: Sch´ema : g´eom´etrie du domaine de calcul [18]

La Figure 4.10 montre l’´evolution des coefficients moyens de traˆın´ee, de por-tance, de pression `a la base du cylindre et de la longueur de la zone recirculation Lr/D, en fonction de trois param`etres : le temps, les cycles de d´etachements tourbillonnaires et le temps adimensionnel.

Nous remarquons, `a partir des courbes, que les coefficients de traˆın´ee et de portance ne n´ecessitent que 20-30 cycles de d´etachements tourbillonnaires pour s’´etablir, ce qui correspond `a un temps adimensionnel ´egal `a 350. En revanche, la longueur de recirculation atteint une valeur pr´ecise proche de 0.94 au bout de 75 cycles tourbillonnaires environ.

Figure 4.9: Distribution des lignes de courant dans un plan transversal au cylindre : comparaison entre la simulation SA-DES de [86] et notre calcul en VMS-LES

Figure 4.10: Forces obtenues pour l’´ecoulement autour du cylindre rectangulaire `a Re = 26400 en VMS-LES

La figure 4.9 illustre la distribution dans un plan transversal au cylindre des lignes de courant de l’´ecoulement moyen qui est utilis´ee pour calculer la lon-gueur de recirculation. Nous remarquons que notre approche VMS-LES capture aussi bien les zones de recirculation que celles obtenues par Mannini dans [86] avec un mod`ele de turbulence SA-DES.

Le tableau 4.1 compare les bulk coefficients de nos simulations avec ceux des exp´eriences de Schewe. Les quantit´es ´evalu´ees sont les suivantes :

• Le nombre de Strouhal : St,

• Le coefficient moyen de traˆın´ee : Cd ,

• la valeur moyenne du coefficient de portance : Cl,

• la moyenne quadratique des fluctuations du coefficient de traˆın´ee : C0 d, • la moyenne quadratique des fluctuations du coefficient de portance : C0

l, • le coefficient de pression `a la base du cylindre : Cpb,

model Study St Cl Cd Cl⁰ Cd⁰ Cp_b Lr Experiments Schewe 2009 0.111 0.0 1.029 0.4 0.0 -0.22 VMS-Smago (L/B= 2) present 0.118 0.077 0.98 0.4 0.063 -0.22 0.94 VMS-Smago (L/B= 1) present 0.105 0.019 0.995 0.44 0.070 -0.24 0.51 SA-DES (L/B= 2) Mannini 2010 0.102 0.005 1.029 0.421 0.043 na 0.98 SA-DES (L/B= 1) Mannini 2010 0.103 0.047 1.016 0.553 0.055 na na

Table 4.1: Cylindre rectangulaire : bulk coefficients

• la longueur de recirculation qui se forme apr`es le cylindre : Lr.

Nos r´esultats sont compar´es, pour deux rapports de longueur L/B = 1 et L/B = 2 (qui d´efinissent la dimension transversale du domaine de calcul), aux donn´ees exp´erimentales de Schewe (2009) et aux simulations de Mannini (2010) qui utilise le code de calcul DLR-Tau et le mod`ele de turbulence DES bas´e sur Spalart Allmaras. On peut remarquer que l’ensemble de nos r´esultats sont en bon accord avec ceux exp´erimentaux et num´erique de Mannini sur un maillage de 3.38 millions de nœuds, plus fin que celui utilis´e dans nos simulations. En particulier, pour la simulation L/B = 2, les coefficients C0

l et Cpb correspondent parfaitement aux valeurs exp´erimentales. Les r´esultats pr´esent´es montrent que le mod`ele VMS-LES a de bonnes propri´et´es de pr´edictivit´e sur ce cas test. Enfin, on peut avoir un aper¸cu de l’´ecoulement instantan´e et du processus de d´etachement tourbillonnaire `a travers les Figures 4.11 et 4.12 qui repr´esentent respectivement une coupe de la vorticit´e et un zoom dans le plan de sym´etrie de cette quantit´e. On peut remarquer sur la Figure 4.11 que le sillage et les tourbillons sont bien captur´es par notre mod`ele, mˆeme si l’on note une certaine dissipation des structures de l’´ecoulement plus en aval de l’obstacle (le maillage n’est pas assez fin dans le sillage).

Sur la Figure 4.12, on peut constater la diversit´e des ´echelles de l’´ecoulement captur´ees autour du cylindre rectangulaire et dans une zone en aval proche du cylindre.

Figure 4.11: Coupe dans le plan transversal de sym´etrie de la vorticit´e instan-tan´ee

D´eveloppement d’un sch´ema

d’avancement en temps explicite

multirate

Contents

5.1 Introduction g´en´erale du chapitre . . . 148 5.2 State of the art . . . 151 5.2.1 Introduction . . . 151 5.2.2 Base integration methods to solve ˙y = f (t, y) . . . 152 5.2.3 A review on multirate schemes . . . 154 5.2.4 Conclusion . . . 165 5.3 A Volume-agglomeration explicit multirate approach 167

5.1 Introduction g´en´erale du chapitre

En m´ecanique des fluides num´eriques, une configuration souvent rencontr´ee est la combinaison d’un sch´ema d’avancement en temps explicite, pour atteindre une pr´ecision suffisante, et d’une grille de calcul pr´esentant un nombre restreint de tr`es petites mailles par rapport au reste du maillage. On rencontre une telle situation lorsqu’on ´etudie par exemple une discontinuit´e de contact `a l’aide d’un maillage adaptatif ou encore lors de la simulation des grandes ´echelles d’´ecoule-ments `a grands nombres de Reynolds autour de corps non profil´es dans lesquelles coexistent des petites structures dans la couche limite tr`es fine et des tourbillons de plus grande taille dans le sillage.

Pour de tels ´ecoulements, les m´ethodes d’avancement en temps explicites, em-ploy´ees avec un pas de temps global, sont tr`es coˆuteuses. Afin de r´eduire le coˆut de ces calculs, les m´ethodes d’avancement en temps multirate sont une alterna-tive int´eressante. L’objectif de ces sch´emas qui permettent d’utiliser diff´erents pas de temps sur le domaine de calcul, est de ne pas p´enaliser le coˆut de calcul de l’avancement en temps des solutions instationnaires. En effet, le pas de temps global est impos´e par les plus petits ´el´ements comme ceux constituant la couche limite ; cela entraˆıne un « ralentissement » de la r´esolution en temps des grands ´el´ements pour lesquels un plus grand pas de temps global aurait pu ˆetre utilis´e. Dans ce travail, un nouveau sch´ema multirate bas´e sur un processus d’agglom´era-tion est propos´e pour la r´esolud’agglom´era-tion des ´equad’agglom´era-tions de Navier-Stokes compressibles et peut ˆetre aussi utilis´e lorsque ces ´equations sont combin´ees avec les mod`eles de turbulence pr´esent´es dans ce manuscrit. La m´ethode se fonde sur une ´etape de pr´ediction au cours de laquelle l’avancement de la solution s’effectue avec des grands pas de temps, accompagn´ee d’une ´evaluation des flux au niveau des grandes cellules et sur des macro-cellules regroupant le reste des petites cellules afin de garantir la stabilit´e du sch´ema. La seconde ´etape est celle de correction o`u des petits pas de temps sont employ´es pour l’avancement en temps des plus petits ´el´ements.

La pr´ecision et l’efficacit´e de la m´ethode que nous avons d´evelopp´ee et impl´emen-t´ee dans le code parall`ele AIRONUM, sont ´evalu´ees pour diff´erents cas tests : une discontinuit´e de contact se d´epla¸cant, la simulation hybride de l’´ecoulement au-tour de cylindres circulaires en tandem pour un nombre de Reynolds `a 1.66×105 ainsi que l’´ecoulement autour d’un seul cylindre `a un nombre de Reynolds de 8.4× 106. Enfin, les performances de ce sch´ema sont ´evalu´ees pour l’´ecoulement autour d’une capsule spatiale `a un nombre de Reynolds de 106.

D’autre part, deux partitionnements des maillages du cylindre et du tandem ont ´et´e mis en œuvre dans cette ´etude sur l’´evaluation des performances de ce sch´ema multirate :

• l’un classique qui ´equidistribue les nœuds entre les diff´erentes partitions tout en minimisant les communications entre les sous-domaines voisins

• l’autre qui est un partitionnement multi-contraintes et qui tient compte des sp´ecificit´es du sch´ema multirate d´evelopp´e, avec l’objectif d’´equidistribuer au mieux la charge de travail sur tous les cœurs de calcul `a la fois dans la phase de pr´ediction et dans la phase de correction de l’algorithme multirate tout en minimisant les communications entre les sous-domaines.

Dans ce chapitre, une revue des travaux importants sur les m´ethodes multirate est propos´ee dans un premier temps. Ce travail a fait l’objet d’un d´elivrable pour le projet ANR MAIDESC que nous introduisons dans les pages qui suivent. Le sch´ema d’avancement en temps multirate est ensuite pr´esent´e avec l’ensemble des r´esultats que nous avons obtenus pour les cas tests susmentionn´es. Ce travail fait l’objet d’un papier en pr´eparation que nous joignons en deuxi`eme partie de ce chapitre.