Autres mod´elisations des transferts de masse en milieu poreux

Mˆeme si il est possible d’imaginer dans un futur plus ou moins proche de combiner une caract´erisation pr´ecise de la porosit´e d’un ´echantillon avec un micro-tomographe (aujour-d’hui la r´esolution spatiale est limit´ee `a des voxels d’environ 1 µm de cˆot´e pour de petits ´echantillons) puis de la coupler avec une r´esolution des ´equations de Navier-Stokes pour un fluide visqueux dans ce r´eseau poreux avec un mod`ele de volume fini, le r´esultat obtenu n’est que la caract´erisation de l’´echantillon test´e, comme celle qu’il est possible d’obtenir en r´ealisant un essai de perm´eation mais ne donne en aucun cas un r´esultat fiable trans-posable facilement `a d’autres milieux poreux et d’autres conditions d’essais prenant en compte tous les ph´enom`enes suppos´es a priori n´egligeables ou mal identifi´es.

Des m´ethodes ont n´eanmoins ´et´e d´evelopp´ees pour tenter de caract´eriser de mani`ere analytique et pr´edictive la perm´eabilit´e d’un mat´eriau poreux `a partir de param`etres qui lui sont propres comme sa surface sp´ecifique, sa porosit´e ou encore un diam`etre de pore typique.

La partie 1.1.2.1 donne les d´efinitions li´ees `a la porosit´e et comment obtenir la dis-tribution des tailles de pores (en anglais Pore Size Disdis-tribution - PSD) d’une pˆate de ciment donn´e. Il est alors possible d’estimer analytiquement la perm´eabilit´e d’un b´eton non endommag´e. Les param`etres utilis´es vont d´ependre de la m´ethode utilis´ee.

1.2.2.1 Mod`eles bas´es sur des tubes capillaires parall`eles

Dans le cas d’un ´ecoulement de type Poiseuille dans un pore capillaire de rayon R, le d´ebit volumique pour un ´ecoulement incompressible est d´ecrit par la loi de Poiseuille aussi appel´ee loi de Hagen-Poiseuille (cf. d´emonstration en annexeE).

Q_v = −πR4

8µ ^{grad(p) (1.40)}

La formule 1.41 [Kozeny, 1927] est obtenue en mod´elisant le milieu poreux par un ensemble de pores cylindriques `a section circulaire tous parall`eles au sens de l’´ecoulement dans lesquels les ´equations de Navier-Stokes peuvent ˆetre utilis´ees.

kk = κ0 n3 S2

V olP

(1.41) o`u κ₀est g´en´eralement appel´e la constante de Kozeny, n est la porosit´e du mat´eriau poreux

et SV olP [m⁻¹] est la surface des pores rapport´ee au volume total du mat´eriau poreux.

Dans [Kozeny, 1927], l’auteur propose des valeurs th´eoriques de la constante de Kozeny suivant le type de section des tubes :

sections circulaires : κ0 = 0, 5 ; sections carr´ees : κ0 = 0, 562 ;

sections rectangulaires tr`es ´elanc´ees : κ0 = 2/3 ;

Ces valeurs ne prennent pas en compte la tortuosit´e ni les ph´enom`enes pouvant ralentir l’´ecoulement.

Ainsi, Carman estime exp´erimentalement que la constante de Kozeny vaut un cin-qui`eme (κ₀ = 1/5) et l’´equation qui est g´en´eralement appel´ee formule de Kozeny-Carman s’´ecrit : k_kc = ¹ 5 S2 V olS n3 (1− n2) ^(1.42)

o`u S_{V olS} [m⁻¹] est la surface des pores rapport´ee au volume de solide du mat´eriau poreux.

Le mod`ele Kozeny-Carman (1956) fonctionne relativement bien pour pr´edire le d´ebit s’´ecoulant `a travers un empilement granulaire (poudre ou sol pulv´erulent) et fonctionne ´egalement par extension pour les mat´eriaux poreux plus denses (poudres compact´ees, verres poreux, mat´eriaux `a matrice cimentaire, roches) [Garboczi, 1990,Chapuis et

Lors d’essais sur un verre poreux Vicor R ayant des pores de 5,4 nm de diam`etre, [

Vichit-Vadakan et Scherer, 2000] retrouve la perm´eabilit´e en utilisant l’´equation1.43d´eduite du

mod`ele de Kozeny-Carman.

k_ks= ^nR 2

4κ₀ ^(1.43)

o`u n est la porosit´e du mat´eriau, R est le rayon des pores et κ0 la constante de Kozeny est l´eg`erement d´ependante de la masse volumique [Scherer, 1994]. Comme expliqu´e pr´ec´e-demment dans la partie 1.1.2.3, le rayon R doit ˆetre diminu´e d’un diam`etre de mol´ecule pour la plupart des alcools et de 0,6 nm pour une perm´eabilit´e `a l’eau [Xu et al., 2009].

D’autres formules sont utilis´ees pour estimer la conductivit´e hydraulique avec un nombre de param`etres plus ou moins important. La formule1.44tir´ee de [Pradhan et al., 2005] contient sept param`etres dont quatre demandent une certaine exp´erience pour les d´efinir.

K = ^npr 2

mρg

12µτ2(1 + 1/α2) ^(1.44)

La distribution de la taille des pores comme la conductivit´e hydraulique K correspondent `

a une teneur en eau θ du b´eton fixe. Les param`etres utilis´es dans l’´equation1.44 sont : — la porosit´e accessible `a l’eau n_p [∅] ;

— la taille de pore moyenne rm [m] (cf. formule1.45) ; — la masse volumique du fluide ρ [kg.m-3] ;

— la valeur de l’acc´el´eration de la pesanteur g [m.s-2] ; — la viscosit´e dynamique du fluide utilis´e µ [Pa.s] ; — la tortuosit´e moyenne τ [∅] ;

— le facteur de forme moyen des pores α [∅] (α variant de 1 pour une section circulaire `

a de tr`es grands nombres pour des sections fortement aplaties). La taille de pore moyenne est d´eduite de la formule suivante :

ln(rm) = Pn

i=1Viln(ri)

Pn

i=1V_i ^(1.45)

o`u Vi [m3] est l’incr´ement de volume de pore cumul´e du ieintervalle de taille de pore. Il est ´egalement possible d’estimer la perm´eabilit´e de la pˆate de ciment dont la micro-structure est g´en´er´ee par simulation num´erique via un mod`ele de r´eseau [Ye et al., 2006]. Il est ainsi possible de montrer l’importance de la distribution des dimensions des particules du ciment et particuli`erement la taille minimale sur la perm´eabilit´e obtenue sur des pˆates ayant le mˆeme rapport eau sur ciment.

Afin de donner des ordres de grandeur, la perm´eabilit´e `a l’eau keau pour une pˆate de ciment est d’environ 1.10<sup>−20</sup> m2. En comparant le d´ebit volumique traversant une ´eprouvette de section 1 cm2 sous un gradient grad(p) avec le d´ebit traversant N pores de diam`etre 100 nm, il est possible d’obtenir l’´equation suivante :

N π(1.10⁻⁷/2)4/8 = k_eau.10⁻⁴ (1.46) En partant de ces hypoth`eses, il faut donc 4,1 millions de pores de 100 nm par centim`etre carr´e pour retrouver la perm´eabilit´e intrins`eque d’une pˆate de ciment saine. La porosit´e d’une telle pˆate de ciment virtuelle est alors de n = 4, 1.106π(1.10⁻⁷/2)2/1.10⁻⁴ soit n = 3.10⁻⁴. Cette application montre combien la simplification transformant un mat´eriau poreux en un ensemble de tubes de mˆemes rayons doit ˆetre manipul´ee avec pr´ecaution.

1.2.2.2 Homog´en´eisation analytique

Il est possible d’estimer analytiquement la perm´eabilit´e d’un milieu compos´e de dif-f´erentes phases en connaissant la forme des inclusions et leur fraction volumique. Les th´eories se basent sur des approches d´erivant de celles utilis´ees en m´ecanique. Les bornes sup´erieures et inf´erieures de la grandeur d’int´erˆet homog´en´eis´ee sont donn´ees par les ap-proches de Voigt (mod`ele s´erie) [Voigt, 1889] et Reuss (mod`ele parall`ele) [Reuss, 1929] puis pour des inclusions ellipso¨ıdales, diff´erentes th´eories sont d´evelopp´ees `a partir de l’approche d’Eshelby [Eshelby, 1957] comme les bornes d’Hashin et Shtrikman [Hashin et Shtrikman, 1963] et la th´eorie d´evelopp´ee par Mori et Tanaka [Mori et K.Tanaka, 1973]. Ces concepts sont ensuite appliqu´es aux probl`emes de transfert en milieu poreux fractur´e [Barth´el´emy, 2009] pour de la micro-fissuration r´epartie ainsi que pour des fissures traversantes mais aussi dans [Lemarchand et al., 2009] o`u une comparaison avec des r´esultats exp´erimentaux est effectu´ee.

Pour les formes d’inclusions plus complexes mais aussi plus r´ealistes, il est possible de faire de l’homog´en´eisation num´erique en appliquant des conditions aux limites bien particuli`eres sur le bord du domaine ´etudi´e. Ces conditions sont d´ecrites plus en d´etail dans la section1.3.4.2. Sous certaines conditions, il est alors possible d’identifier un tenseur de perm´eabilit´e homog´en´eis´e macroscopique sym´etrique et d´efini positif [Pouya et Courtois,

2002].

1.2.2.3 Equation de Forchheimer - ´^´ ecoulement en r´egime transitoire (Re > 1) Comme expliqu´e pr´ec´edemment, dans le cas d’un ´ecoulement dont le nombre de Rey-nolds est sup´erieur `a l’unit´e, la loi de Darcy n’est plus applicable [Marle, 2006]. L’´equation de Forchheimer [Forchheimer, 1901] utilis´ee notamment dans [Choinska, 2006] d´ecrit l’op-pos´e du gradient de pression comme la somme d’une composante correspondant `a la loi de Darcy (αt.µ.v) et une autre permettant de repr´esenter les d´erives mesur´ees proportion-nelles `a l’´energie cin´etique du fluide (β_t.ρ.v2) :

− ^∂p_∂x = α_t.µ.v + β_t.ρ.v² (1.47) Le coefficient αt[m⁻²] de cette ´equation est g´en´eralement pris ´egal `a _k¹

int, afin de retrouver la loi de Darcy lorsque les vitesses deviennent faibles (v2 << v). En prenant l’hypoth`ese αt= _k¹

int puis en int´egrant la conservation de la masse en r´egime permanent (div(ρv) = 0) et la loi des gaz parfaits (pM = ρR_gpT ) la perm´eabilit´e apparente k_app [m2] peut ˆetre ´ecrite en fonction du d´ebit volumique de sortie Q_vs [m3.s-1] dans le cas d’un ´ecoulement traversant une ´eprouvette cylindrique de section S [m2] et d’´epaisseur h [m] :

1 k_app ⁼ 1 k_int ⁺  β_t ^M R_gpT ps Sµ  Q_vs (1.48)

o`u ps[Pa] est la pression de sortie. Cette ´equation peut ´egalement se mettre sous la forme : 1

kapp = ¹

kint

+ βFQvs (1.49)

o`u βF est une constante montrant l’apparition de non lin´earit´e pouvant ˆetre synonyme de dissipation inertielle. La forme th´eorique de cette ´equation1.49 est repr´esent´ee sur la figure1.58.

1/k_app [m-2]

q_iso [m3.s-1]

β_F

1/k_int

Figure 1.58 – Trac´e th´eorique de la repr´esentation de l’´equation de Forchheimer appliqu´ee `

a un mat´eriau de perm´eabilit´e homog`ene et isotrope

Avec cette formule et les donn´ees exp´erimentales pr´esent´ees sur la figure 1.17, il est possible de tracer les graphiques visibles sur les figures1.59 et1.60.

y  =  1  587  067,791x  +  7,274   R²  =  0,921   0   2   4   6   8   10   12  

0,0E+00   5,0E-­‐07   1,0E-­‐06   1,5E-­‐06   2,0E-­‐06  

1/k app  [10 15m -­‐2]   Qs  [m3/s]  

Figure 1.59 – ´Evolution de l’inverse de la perm´eabilit´e apparente en fonction du d´e-bit de sortie

y  =  4,91E-­‐13x  +  7,55E-­‐02   R²  =  9,99E-­‐01   0   0,5   1   1,5   2  

0   1E+12   2E+12   3E+12   4E+12  

Q^s

 [mL/s]  

grad(p2)  [Pa2/m]  

Figure 1.60 – ´Evolution du d´ebit en fonc-tion du gradient de pression au carr´e La figure 1.60 montre la coh´erence des r´esultats avec l’hypoth`ese d’´ecoulement com-pressible puisque le d´ebit est proportionnel au gradient de pression au carr´e. La figure1.59

montre que la relation entre l’inverse de la perm´eabilit´e apparente et le d´ebit de sortie n’est pas lin´eaire. La r´egression lin´eaire donne une perm´eabilit´e intrins`eque k<sub>int</sub> de 1, 37.10−16 m2 et un coefficient βt valant 0, 43.1015 P a. Ces figures permettent de souligner le fait que des r´esultats obtenus avec un effet Klinkenberg ne peuvent ˆetre identifi´es `a partir de la relation de Forchheimer. Les deux ph´enom`enes ne peuvent donc pas ˆetre confondus si les r´esultats exp´erimentaux sont correctement d´epouill´es et les deux limites d’un r´egime laminaire sont en cons´equence facilement identifiables.

Le dernier terme de l’´equation 1.47 montre que Forchheimer suppose dans son ´etude que les d´erives sont dues `a des effets inertiels (ρv2) et donc `a l’apparition de turbulences puisque dans ce cas, le coefficient de perte de charge est proportionnel au carr´e de la vitesse. Certains auteurs constatent n´eanmoins que la transition entre r´egime laminaire et turbulent est g´en´eralement brutale, ce que ne traduit pas cette ´equation. Il existe ainsi d’autres mod`eles pour d´ecrire les ´ecoulements en milieu poreux pour de grands nombre de Reynolds. Le chapitre 5.11 de [Bear, 1988] d´etaille de nombreux autres mod`eles en les s´eparant selon qu’ils contiennent ou non des param`etres caract´erisant le fluide et le milieu

poreux mais aussi selon qu’ils contiennent des constantes `a d´eterminer ou bien fix´ees par les auteurs.

1.2.2.4 Perm´eabilit´e relative `a l’eau

Apr`es avoir vu de mani`ere empirique l’effet du degr´e de saturation en eau sur l’´ecou-lement de gaz au travers un milieu poreux dans la partie 1.1.2.6, cette partie va r´esumer succintement comment mod´eliser l’effet de la teneur en eau sur la perm´eabilit´e `a l’eau et au gaz.

Une approche possible pour estimer la perm´eabilit´e relative `a l’eau consiste `a estimer la conductivit´e hydraulique relative K_l,r [∅] comme ´etant une fonction puissance de la saturation effective de l’eau S?

l : K_l,r(Θ) = (S_l^?)^α =  Θl− Θl,r Θ_l,sat− Θl,r α (1.50) o`u la conductivit´e hydraulique relative pour le liquide K<sub>l,r</sub> [∅] est le rapport entre la conductivit´e hydraulique Kl [m.s-1] mesur´ee pour une teneur en eau volum´etrique donn´ee Θ<sub>l</sub> = V<sub>l</sub>/Vt [∅] et la conductivit´e hydraulique mesur´ee pour un sol satur´e Kl,sat [m.s-1] (K<sub>l,r</sub>(Θ<sub>l</sub>) = K<sub>l</sub>(Θ<sub>l</sub>)/K<sub>l,sat</sub>). Θ<sub>l,r</sub> [∅] et Θl,sat [∅] sont deux constantes adimensionnelles d´etermin´ees exp´erimentalement, la premi`ere est la teneur en eau volum´etrique r´esiduelle (0,2 pour des granulats), la seconde est la teneur en eau volum´etrique lorsque le mat´eriau poreux est satur´e. La figure1.61 sch´ematise le cas g´en´eral d’un milieu poreux rempli par deux fluides et les constantes associ´ees.

La teneur en eau volum´etrique est ´egale au produit du degr´e de saturation en liquide par la porosit´e (Θ_l = S_ln) et les ´equations de cette partie peuvent donc ˆetre ´ecrites avec les deux notations.

En 1976, Mualem d´eveloppe `a partir de travaux ant´erieurs la possibilit´e de pr´edire grˆace `

a des formules analytiques la conductivit´e hydraulique d’un sol en fonction de sa teneur en eau `a partir de sa courbe de d´esorption [Mualem, 1976]. Dans cette approche, le sol est mod´elis´e par un ensemble de tubes capilaires interconnect´es dont les rayons r´epondent `

a une fonction de distribution donn´ee. En s’appuyant sur ces r´esultats, Martinus Th. van Genuchten propose en 1980 de mod´eliser via la formule1.53, l’´evolution de la conductivit´e hydraulique relative Kl,r [∅] en fonction de la teneur en eau volum´etrique en eau Θl[∅] d’un sol partiellement satur´e et de trois param`etres d´ependant du sol test´e, ces trois param`etres pouvant ˆetre identifi´es sur une courbe de d´esorption [van Genuchten, 1980]. Pour r´esoudre le probl`eme pos´e, il choisit d’exprimer la teneur en eau volum´etrique en fonction de la pression statique h [M CE] par la fonction :

Θl(h) =  1 1 + (α_Gh)nG mG (1.51) o`u α<sub>G</sub> [m-1], n<sub>G</sub> [∅] et mG [∅] sont trois param`etres `a d´eterminer.

Il est possible d’´ecrire l’´equation pr´ec´edente `a partir de la pression capillaire pcexprim´ee en pascals [Pa] plutˆot que la pression statique h = pc/ρ<sub>l</sub>g exprim´ee en m`etre de colonne d’eau [M CE] :

pc= pg− pl= α^?_G^Θ^(−1/mG)

0

2

1 3

1

0

1

⇥

⇥

⇥

⇥

n = ⇥

+ ⇥

n ⇥

⇥

S

^S

1 - Le fluide mouillant est distribu´e de mani`ere incoh´erente (K<sub>l</sub>= 0 ; Kg > 0) 2 - Les deux fluides sont distribu´es de mani`ere coh´erente (K_l> 0 ; K_g > 0) 3 - Le fluide non-mouillant est distribu´e de mani`ere incoh´erente (Kl> 0 ; Kg = 0)

Figure 1.61 – Repr´esentation sch´ematique du mouvement des diff´erents domaines de deux fluides non miscibles (un mouillant et un non mouillant) pouvant exister dans un milieu poreux d’apr`es [Luckner et al., 1989]

o`u la pression capillaire pc [Pa] est la diff´erence entre la pression de gaz pg [Pa] et la pression de liquide p<sub>l</sub> [Pa]. Le param`etre α?

G [Pa] est donc li´e au param`etre α_G [m-1] via la formule α?

G= ρ_lg/α_G.

L’´equation propos´ee dans [van Genuchten, 1980] est : K_l,r(Θ_l) = Θ²_l1 − (1 − Θ^1/mG

l )^mG^ (1.53)

o`u 0 < m<sub>G</sub>< 1 un param`etre adimensionnel `a identifier sur une courbe de d´esorption. Dans [van Genuchten et Nielsen, 1985], l’´equation est ´ecrite en fonction de la saturation effective de l’eau S?

l [∅] et l’auteur pr´ecise qu’elle est uniquement valable pour des valeurs de nG [∅] comprises entre 1,25 et 6 : K_l,r(S_l^?) =pS? l  1− (1 − (Sl^?)^1/mG)^mG 2 (1.54) o`u m<sub>G</sub>= 1− 1/nG [∅] est un param`etre `a identifier sur une courbe de d´esorption.

Dans [Luckner et al., 1989], des ´equations sont propos´ees pour le cas g´en´eral o`u le r´eseau poreux est rempli par un fluide mouillant (e.g. de l’eau) et un fluide non mouillant

(e.g. de l’air).        K_l(Θ_l) = K_l(Θ_l0)^{ S?}l S? l(Θl0) lG^ 1−(1−S_l^?1/mG)^m_G 1−(1−S^?1/mG_l (Θl0))^mG 2 Kg(Θ_l) = Kg(Θ_l0)^{ S}g^? S? g(Θl0) γG^ (1−(1−S_g^?)^1/mG)^mG (1−(1−S? g(Θl0))1/mG)mG 2 (1.55)

o`u l’indice l se r´ef`ere au fluide mouillant (e.g. un liquide) et l’indice g se r´ef`ere au fluide non mouillant (e.g. un gaz). Θl0 [∅] est la teneur en eau volum´etrique initiale de l’´echantillon test´e. Les degr´es de saturation effectifs du liquide S?

l [∅] et du gaz S?

g [∅] sont d´efinis par les formules suivantes :

( S? l = ^θl−Θ_l,r n−Θl,r (0≤ S? l ≤ 1) S? g = ^n−θg,r−Θ_l n−Θg,r (0≤ S? g ≤ 1) ^(1.56)