Loi de Darcy et domaine de validit´e

Pour mod´eliser les ´ecoulements `a travers un milieu poreux, deux approches sont pos-sibles :

une approche microscopique o`u le mod´elisateur calcule la vitesse r´eelle du fluide dans chacune des porosit´es que renferme le mat´eriau, g´en´eralement en faisant des hypo-th`eses simplificatrices fortes sur la mod´elisation du r´eseau poreux ;

une approche macroscopique o`u le mod´elisateur souhaite connaˆıtre le d´ebit macro-scopique traversant l’´eprouvette et peut en d´eduire une vitesse moyenne du fluide s’il connaˆıt la porosit´e du mat´eriau utilis´e.

Henry Darcy (1803-1858) par son pragmatisme a de facto adopt´e une approche macro-scopique. Cet ing´enieur form´e `a l’´ecole polytechnique puis `a l’´Ecole des Ponts et Chauss´ees

´enonce en 1856 une relation permettant de mod´eliser les ´ecoulements de fluides en milieu poreux : c’est la loi de Darcy [Darcy, 1856]. Son objectif ´etait de connaˆıtre le d´ebit traver-sant les filtres `a sable permettant de purifier les eaux d’alimentation de la ville de Dijon et non de connaˆıtre la vitesse r´eelle du fluide en tout point ou savoir si l’´ecoulement ´etait laminaire ou turbulent (ces r´egimes d’´ecoulement ne furent mis en ´evidence qu’environ 30 ans plus tard par Osborne Reynolds [Reynolds, 1883]).

Un article ´ecrit pour le cent cinquanti`eme anniversaire de la parution de l’ouvrage qui ´enon¸ca les principes de la loi de Darcy [Marle, 2006] montre la simplicit´e mais aussi l’efficacit´e de cette formule empirique. Henry Darcy l’a initialement d´ecrite et valid´ee pour l’´ecoulement d’eau `a travers un cylindre de r´evolution d’axe vertical rempli de sable, comme le montre la figure1.55.

e

Q

h

h

Q

Figure 1.55 – Appareil destin´e `a d´eterminer la loi de l’´ecoulement de l’eau `a travers le sable (`a gauche croquis de l’exp´erience [Darcy, 1856], `a droite sch´ematisation du dispositif pour un ´echantillon d’´epaisseur e travers´e par un d´ebit volumique Q)

`

A partir de l’exp´erience d´ecrite sur la figure1.55, Henry Darcy remarque que le rapport entre le d´ebit et la diff´erence de pression entre l’entr´ee et la sortie est constant pour un ´echantillon de sable donn´e. La loi ´enonc´ee s’´ecrit alors :

Q = KS h2− h1 e  ≈ KS^{ h + e}_e  (1.31) o`u Q est le d´ebit volumique exprim´e en [m3.s-1] s’´ecoulant `a travers une couche de sable de section droite constante not´ee S exprim´ee en [m2] et d’´epaisseur e exprim´ee en [m]. h est originellement la hauteur d’eau sur la couche de sable exprim´ee en [m]. K est la

conductivit´e hydraulique exprim´ee en [m.s-1] : c’est la grandeur `a caract´eriser, valable uniquement pour un ´ecoulement en milieu satur´e. H = h2− h1 ≈ h + e est la diff´erence de charge hydraulique entre la face sup´erieure et la face inf´erieure de la couche de sable, ce qui correspond `a la perte de chage subie par le fluide. Introduite en 1738 par Daniel Bernoulli (1700-1782), La charge hydraulique HM repr´esente l’´energie du fluide consid´er´e en un point M quelconque. C’est la somme de l’´energie potentielle, de l’´energie cin´etique et de la pression en ce point exprim´ee en M`etres de Colonne d’Eau [M CE] :

H_M = z_M +^v 2 M 2g ⁺ p_M ρg ^(1.32)

o`u zM [m] est l’altitude du point M , vM [m.s-1] et pM [Pa] sont respectivement la vitesse du fluide et la pression au point M .

La loi de Darcy est toujours tr`es utilis´ee mˆeme si sa forme a l´eg`erement ´evolu´e pour devenir une loi utilisable `a l’´echelle m´esoscopique quelque soit le fluide et le mat´eriau poreux utilis´e. L’objectif de ces approches n’est toujours pas de d´eterminer la vitesse locale du fluide, mais bien de d´eterminer la vitesse moyenne d’un fluide en ´ecoulement monophasique au travers d’un mat´eriau pouvant ˆetre h´et´erog`ene et potentiellement fissur´e.

La loi de Darcy s’´ecrit alors :

v_d=−^k

µ ^grad(p)− ρg

(1.33) o`u vd[m.s-1] est le vecteur vitesse de filtration ou vitesse au sens de Darcy (vd= vn ou v est la vitesse du fluide et n est la porosit´e), grad(p) [P a.m<sup>−1</sup>] le vecteur gradient de la pression p [Pa], ρ [kg.m-3] la masse volumique du fluide, µ [Pa.s] sa viscosit´e dynamique, g [m.s-2] le vecteur acc´el´eration de la pesanteur et k [m2] la perm´eabilit´e, un coefficient, homog`ene `

a une surface, pouvant avoir un caract`ere tensoriel en cas d’anisotropie et d´ependant uniquement du milieu poreux (cf. partie1.1.1).

La conductivit´e hydraulique K [m.s-1] telle que Henry Darcy l’a d´efinie se diff´erencie de la perm´eabilit´e k [m2] en de nombreux points. La premi`ere, exprim´ee en [m.s-1] d´epend du fluide autant que de la porosit´e du milieu et elle contient ´egalement les ´eventuelles interac-tions chimiques pouvant se produire entre le fluide et le solide. La relation liant ces deux grandeurs d´efinie dans l’´equation1.34 montre qu’au contraire de la conductivit´e hydrau-lique (K), la perm´eabilit´e (k) tend `a ne caract´eriser que la porosit´e du mat´eriau concern´e et tente de d´ecorr´eler les deux principaux acteurs entrant en jeu lors d’un ´ecoulement en milieu poreux :

— le milieu poreux et sa g´eom´etrie caract´eris´es par le param`etre (k) ; — le fluide utilis´e (µ, ρ).

K = ^kρg

µ ^(1.34)

Le milieu poreux doit ˆetre homog`ene et isotrope pour pouvoir appliquer la loi de Darcy telle qu’il l’a ´ecrite en 1856. Depuis, il est courant d’utiliser un tenseur en lieu et place du scalaire pour la conductivit´e hydraulique (ou la perm´eabilit´e) afin de repr´esenter le caract`ere anisotrope d’un milieu d’´etude et la m´ethode des ´el´ements finis permet de traiter ais´ement un probl`eme sur un milieu non homog`ene.

Les parties suivantes sont consacr´ees aux hypoth`eses prises lors de l’application de la loi de Darcy :

1. les d´eformations du milieu poreux doivent ˆetre n´egligeables (1.2.1.1) ;

2. les ph´enom`enes d’adsorption du fluide sur le solide doivent ˆetre n´egligeables (1.2.1.2) ; 3. le fluide doit ˆetre homog`ene, isotherme, incompressible et de composition constante

(1.2.1.3) ;

4. le libre parcours moyen des mol´ecules du fluide doit rester suffisamment faible par rapport `a la dimension des pores (1.2.1.4) ;

5. l’´ecoulement doit ˆetre laminaire (1.2.1.5) ;

6. le r´egime d’´ecoulement doit ˆetre permanent (1.2.1.6).

1.2.1.1 Validit´e de l’hypoth`ese de faibles d´eformations du milieu poreux Cette hypoth`ese peut ˆetre mise en d´efaut si la pression exerc´ee par le fluide agit m´e-caniquement sur la matrice constituant le mat´eriau poreux en la d´eformant de mani`ere non n´egligeable. Les mod`eles associ´es `a ce genre de probl´ematique peuvent se baser sur la th´eorie de Biot dont les ´equations de la poro´elasticit´e sont une extension de la loi de Darcy aux milieux poreux d´eformables [Biot, 1941]. L’´etude pr´esent´ee dans ce document se concentre sur les ´ecoulements dans les matrices `a base cimentaire o`u la pression du fluide percolant est suppos´ee avoir des effets m´ecaniques n´egligeables sur la matrice et la loi de Darcy telle que d´ecrite pr´ec´edemment est donc naturellement applicable.

1.2.1.2 Validit´e de l’hypoth`ese de ph´enom`enes d’adsorption n´egligeables L’adsorption repr´esente la fixation d’une ou plusieurs couches de mol´ecules d’eau sur des surfaces accessibles. L’´epaisseur de ces couches est pilot´ee par des champs de force de surfaces notamment par la pression de disjonction [Churaev, 2003] [Richard, 2009].

Il est ´egalement possible d’´evaluer empiriquement l’´epaisseur de la couche d’eau adsor-b´ee sur de l’oxyde de silicium en fonction de l’Humidit´e Relative (HR ) comme le montre la figure1.56 [Asay et Kim, 2005].

La loi de Darcy ´etant `a l’origine uniquement utilis´ee pour les transferts d’eau dans les sols satur´es, il est possible que cette limitation du domaine de validit´e concernait surtout les argiles dans lesquels le r´egime permanent peut ˆetre long `a s’´etablir du fait de l’adsorption d’eau entre les feuillets de silicate d’alumine.

Comme expliqu´e dans la partie1.1.2.9traitant des interactions entre fluide et matrice et la partie1.1.2.4traitant des ´ecoulements de gaz dans des pores de tr`es petites dimensions, pour les mat´eriaux `a base cimentaire, deux ph´enom`enes sont `a prendre en compte selon la dur´ee de l’essai consid´er´e :

`a court-terme la r´eduction de la taille des pores par l’adsorption de couches de mol´ecules de fluide pouvant augmenter les risques de glissement pour les ´ecoulements de gaz ; `a moyen et long-terme les risques de ph´enom`enes de dissolutions/pr´ecipitations.

Sur un essai de caract´erisation `a court-terme, l’effet du premier ph´enom`ene est contenu dans le coefficient de perm´eabilit´e et l’utilisation ult´erieure dans une mod´elisation de ce coefficient permet naturellement de prendre en compte les r´eductions de la taille des pores.

Ép

ai

sse

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mo

ye

nn

e

[Å

]

HR = p

/ p

[%]

N

omb

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d

e

mo

no

co

uch

es

Figure 1.56 – isotherme d’adsorption de l’eau adsorb´ee sur une surface d’oxyde de silicium `

a temp´erature ambiante (20, 8± 0, 5 ˚C ) - la courbe en pointill´es repr´esente l’´epaisseur d’eau liquide, celle en traitill´es repr´esente l’´epaisseur d’eau assimilable par sa structure `a de la glace et la courbe continue est la somme des deux pr´ec´edentes [Asay et Kim, 2005] Il est donc pr´ef´erable d’ajuster les conditions de la caract´erisation de la perm´eabilit´e d’un mat´eriau suivant l’application qui va en ˆetre faite (fluide, pression, dur´ee d’essai, humidit´e relative, etc.).

1.2.1.3 Validit´e de l’hypoth`ese de l’homog´en´eit´e du fluide

Le fluide doit ˆetre homog`ene, isotherme, incompressible et de composition constante. Pour de l’eau, si la vitesse est tr`es faible, des ph´enom`enes de dissolution peuvent changer la concentration en ions et donc certaines propri´et´es du fluide lors de son ´ecoulement et notamment sa viscosit´e (cf. partie1.1.2.7).

La formule n’est pas applicable en l’´etat pour des gaz mais elle peut ˆetre modifi´ee dans ce but en y int´egrant la loi des gaz parfaits et en se basant sur la loi de la conservation de la masse.

La loi de la conservation de la masse s’´ecrit : ∂ρ

∂t ^{+ div(ρvd) = 0 (1.35)}

En y int´egrant la loi de Darcy et en se pla¸cant en r´egime permanent elle devient : div  ρ^k µ^(grad(p)− ρg)  = 0 (1.36)

Il suffit ensuite de n´egliger le terme de pesanteur - hypoth`ese couramment utilis´ee pour les gaz - puis d’y int´egrer la loi des gaz parfaits (´equation1.19) :

div k µ  p ^M RgpT  grad(p)  = 0 (1.37)

o`u M [kg.mol-1] est la masse molaire du fluide consid´er´e, Rgp = 8, 314472 J.mol-1.K-1 est la constante des gaz parfaits et T [K] est la temp´erature absolue.

L’´equation de conservation de la masse valable pour un ´ecoulement compressible avec un fluide respectant la loi des gaz parfaits devient alors :

div k 2µ M RgpT^grad(p 2)  = 0 (1.38)

L’´equation correspondant `a la loi de Darcy pour un ´ecoulement compressible avec un fluide respectant la loi des gaz parfaits peut donc s’´ecrire sous la forme suivante :

ρv_d=−_2µ^k _R^M

gpT^grad(p

2) (1.39)

1.2.1.4 Validit´e de l’hypoth`ese sur la dimension des pores : L’effet Klinken-berg

Pour l’´etude d’´ecoulements compressibles, le libre parcours moyen des mol´ecules du fluide doit rester suffisamment faible par rapport `a la dimension des pores (cf. partie

1.1.2.4). Dans le cas contraire, il est n´ecessaire de caract´eriser les coefficients dans

l’´equa-tion1.8 pour estimer la perm´eabilit´e en fonction de la pression moyenne d’essai. 1.2.1.5 Validit´e de l’hypoth`ese de l’´ecoulement laminaire

Comme expliqu´e dans la partie 1.1.2.3, le seuil entre r´egime laminaire et r´egime tur-bulent peut ˆetre d´efini par le nombre de Reynolds not´e Re . Ce nombre adimensionnel est le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosit´e. Cette condition est donc fortement li´ee `a l’hypoth`ese pr´ec´edente pour les ´ecoulements compressibles sous de faibles pressions et/ou dans un milieu poreux o`u la dimension des pores est faible.

Comme expliqu´e dans la partie1.1.2.3, l’´ecoulement est laminaire dans un milieu po-reux pour un nombre de Reynolds inf´erieur `a l’unit´e. Au dessus de cette limite, la loi de Darcy n’est plus directement applicable [Marle, 2006]. Ainsi, pour un nombre de Reynolds entre un et cent, le r´egime devient transitoire et certaines corrections existent comme celle propos´ee par Forchheimer qui est sans doute un des premiers `a avoir observ´e exp´erimen-talement des d´erives sur la loi de Darcy pour des vitesses ´elev´ees dans [Forchheimer, 1901] cit´e par [Bear, 1988] (cf. ´equation 1.47).

Il existe donc une limite haute si l’´ecoulement est trop rapide avec le risque d’apparition de turbulences qui ralentissent le fluide et pour un nombre de Reynolds au del`a de cent, le r´egime d’´ecoulement est turbulent et la loi de Darcy n’est plus applicable.

`

A l’oppos´e, pour des vitesses tr`es faibles apparaˆıt le ph´enom`ene de gradient de seuil. L’´ecoulement est alors macroscopiquement nul pour un gradient de pression inf´erieur `a un seuil d´ependant du mat´eriau poreux et du fluide concern´e. Trois raisons sont avanc´ees pour expliquer ce ph´enom`ene :

le mat´eriau `a une tortuosit´e forte entrainant des ph´enom`enes de flux locaux allant `a l’encontre du gradient de pression ;

le fluide a un comportement non-newtonien de par la pr´esence d’ions dans la solu-tion interstitielle pouvant modifier son comportement ;

Q

grad(p)

Débit

gradient de pression

seuil

domaine de

validité de la

loi de Darcy

Re < 1

Re > 1

gradient de seuil

régime transitoire

ré^gime

la^mi

na^ire

régime turbulent

Re > 100

Figure 1.57 – Domaine de validit´e de la loi de Darcy

Ce ph´enom`ene est bien connu en m´ecanique des sols notamment dans les filtrations d’eau dans les argiles [Bear, 1988].

La figure 1.57 sch´ematise ainsi le domaine de validit´e de la loi de Darcy ainsi que ces limites en fonction du nombre de Reynolds.

1.2.1.6 Validit´e de l’hypoth`ese de r´egime d’´ecoulement permanent

La loi de Darcy n’est pas ´ecrite pour mod´eliser le r´egime transitoire pouvant survenir pour des milieux poreux tr`es peu perm´eables. Le coefficient de perm´eabilit´e utilis´e dans la loi est suppos´e ˆetre identifi´e en r´egime permanent et la vitesse de Darcy estim´ee sur l’application num´erique est en cons´equence ´egalement estim´ee en r´egime permanent. Il est n´eanmoins possible d’adapter la loi de Darcy aux calculs en r´egime transitoire en repartant de l’´equation de conservation de la masse comme pr´esent´e dans la partie2.4.3.