Approche multi-´echelles s´equenc´ee

Ce type d’approche permet de d´eterminer une donn´ee macroscopique `a partir d’un calcul bas´e sur une loi de comportement int´egr´ee `a l’´echelle microscopique. Elle peut ˆetre vue comme de l’homog´en´eisation num´erique.

L’objectif est ici de d´eterminer de mani`ere qualitative et quantitative la direction, le sens et la norme des d´ebits entrants ou sortants par les faces d’un volume ´el´ementaire. La m´ethode que nous avons choisie consiste `a calculer la matrice de perm´eabilit´e macrosco-pique du volume ´etudi´e en faisant l’hypoth`ese d’un ´ecoulement de type Darcy `a l’´echelle macroscopique.

Afin d’obtenir une matrice pouvant repr´esenter des ´ecoulements anisotropes, la loi de comportement `a l’´echelle microscopique doit ˆetre fonction de l’ouverture et de l’orientation des fissures. La loi que nous utilisons relie la vitesse moyenne d’un ´ecoulement de type Poiseuille entre deux plans parall`eles `a l’ouverture entre ces deux plans (cf. ´equation1.58

pour les ´ecoulements incompressibles et ´equation1.59pour les ´ecoulements compressibles). Cette partie traite de la m´ethode d’obtention de la matrice de perm´eabilit´e macrosco-pique. C’est une ´etape de post-traitement qui d´epend des conditions aux limites impos´ees. 1.3.4.1 Quelques notions sur l’homog´en´eisation num´erique

Pour commencer, il est important de faire la distinction entre homog´en´eisation ana-lytique et homog´en´eisation num´erique. La premi`ere peut uniquement ˆetre obtenue sur des volumes ´el´ementaires repr´esentatifs soit homog`enes soit ayant des h´et´erog´en´eit´es suf-fisamment petites devant la taille moyenne du volume et r´eparties de mani`ere al´eatoire. La seconde permet de caract´eriser un volume quelles que soient la taille et la forme des h´et´erog´en´eit´es qui le composent. C’est la seconde qui est utilis´ee dans cette ´etude.

Suivant si la formulation du probl`eme est ´ecrite via une approche statique (contraintes en m´ecanique, flux en perm´eation) ou cin´ematique (d´eplacement en m´ecanique, pression en perm´eation), le calcul ´el´ements finis donne pour un probl`eme lin´eaire (l’´elasticit´e en m´ecanique, un ´ecoulement incompressible en r´egime permanent en perm´eation) des r´e-ponses l´eg`erement diff´erentes. Ainsi, la r´eponse en d´eplacement de l’approche cin´ematique est exacte tandis que la r´eponse en effort donne un r´esultat approch´e et inversement pour l’approche duale. Quelle que soit l’approche utilis´ee, la r´eponse avec des conditions de type Dirichlet donne une borne sup´erieure tandis que la r´eponse obtenue avec des conditions de type Neumann donne une borne inf´erieure de la r´eponse.

1.3.4.2 M´ethodologie d’homog´en´eisation num´erique par approche s´equenc´ee `

A l’oppos´e des m´ethodes multi-´echelles int´egr´ees, les approches s´equenc´ees utilisent `a la fois un mod`ele macroscopique et un mod`ele fin. L’objectif est de d´efinir un ensemble de param`etres macroscopiques identifi´es grˆace `a plusieurs calculs r´esolus `a l’´echelle fine sous des conditions aux limites bien d´efinies et une moyenne spatiale. Pour cette application, le probl`eme de transfert de masse est mod´elis´e d’un point de vue macroscopique au sens des transferts dans les milieux poreux [Bear, 1988]. La perm´eabilit´e macroscopique est d´efinie par un tenseur sym´etrique d´efini positif d’ordre KM dont les coefficients sont exprim´es en m`etres carr´es :

Vm^M=−^ρ µ^K

M· GM [kg.s⁻¹.m⁻²] (1.144) o`u ρ et µ sont la masse volumique et la viscosit´e dynamique du fluide. Vm<sup>M</sup>est le vecteur vitesse massique macroscopique et GM est la gradient de pression macroscopique, tout deux d´efinis comme des moyennes spatiales des scalaires correspondant `a l’´echelle fine :

 Vm^M = _V¹ R V vm(x) dV GM = 1 V R V grad(p) dV ^(1.145)

Les composantes du tenseur KM sont obtenues via une s´equence de calculs effectu´es `

a l’´echelle m´eso-scopique. Ces derniers utilisent des conditions aux limites pr´ecises per-mettant de respecter le crit`ere de Hill-Mandel [Hill, 1963]. Dans le cas des ´ecoulements en milieu poreux, le probl`eme doit ˆetre r´esolu par deux types de conditions aux limites d´efinies dans [Du et Ostaja-Starzewski, 2006,Ostoja-Starzewski, 2006] :

une condition aux limites en pression de type Dirichlet ; une condition aux limites en vitesse de type Neumann.

1.3.4.3 Cas de conditions aux limites de type Dirichlet sur δΩ

Comme l’illustre la figure1.76, la conditions aux limites en pression respectant le crit`ere de Hill-Mandel est :

p(x) = G^M· x + p0 ∀x ∈ ∂Ω (1.146)

o`u G<sup>M</sup>est le vecteur gradient de pression. Pour ˆetre pr´ecis, le probl`eme est r´esolu en posant GM = [1 0 0]T et ces deux autres permutations circulaires afin d’obtenir directement les neuf composantes de la matrice de perm´eabilit´e macroscopique KM. Pour le cas d’un ´ecoulement compressible, le vecteur gradient de pression doit ˆetre remplac´e par le vecteur gradient de pression au carr´e.

1.3.4.4 Cas de conditions aux limites de type Neumann surδΩ La condition aux limites en vitesse respectant le crit`ere de Hill-Mandel est :

ρ(x)vd(x)· n(x) = Vm^M· n(x) ∀x ∈ ∂Ω (1.147) o`u V_mM est un vecteur constant, n(x) est le vecteur norm´e et v_d [m.s-1] est le vecteur vitesse au sens de Darcy. La d´efinition des coefficients de la matrice ˜_KM−1

s’obtient en effectuant des calculs avec V_mM= [1 0 0]T et ces deux autres permutations circulaires.

Gradient de pression constant dirig´e dans le sens

de x

Gradient de pression constant dirig´e dans le sens

de y

Gradient de pression constant dirig´e dans le sens

de z Figure 1.76 – Conditions aux limites de type Dirichlet sur δΩ

Afin que le probl`eme soit correctement pos´e, il est n´ecessaire de fixer la pression en un point du domaine mˆeme si la plupart des codes de calculs aux ´el´ements finis arrivent `

a r´esoudre un probl`eme `a une constante pr`es. La matrice de perm´eabilit´e macroscopique obtenue est unique et propre au r´eseau poreux fissur´e mod´elis´e, et est ind´ependante de cette pression appliqu´ee en un point du domaine.

Des r´esultats avec ces conditions aux limites sont d´etaill´es dans le chapitre2. 1.3.4.5 Approche utilis´ee pour la r´esolution du probl`eme global

Afin de mod´eliser la perm´eabilit´e d’un mat´eriau fissur´e, il est important de pouvoir `a la fois obtenir num´eriquement des fissures et cela avec le plus large choix de sollicitations possibles (m´ecaniques, thermiques, hydriques), mais ´egalement d´eterminer le flux d’un ´ecoulement compressible ou non traversant le milieu sollicit´e.

La th´eorie des composants est particuli`erement adapt´ee `a ce genre de probl`eme puis-qu’elle permet d’utiliser diff´erents codes et de les faire dialoguer entre eux via un fichier nomm´e “client” ´ecrit dans le langage c++ [Niekamp, 2005a,Niekamp, 2005b]. Nous avons ici un “service” en l’occurence le logiciel coFEAP qui est instantiable autant de fois que n´ecessaire au travers d’un r´eseau. Ce “service” peut aussi bien r´esoudre des probl`emes m´ecaniques que de transferts de masse en milieu poreux. Le “client” va contenir les para-m`etres de calculs puis appeler, en parall`ele ou en s´erie suivant les besoins, les “services” qui permettront de r´esoudre le probl`eme global.

Pour mod´eliser ce probl`eme global de calcul m´ecanique coupl´e au transfert de masse en milieu poreux fissur´e, deux approches sont possibles :

un couplage fort pour lequel les deux probl`emes sont int´egr´es dans un mˆeme client qui alterne un calcul m´ecanique et un calcul de perm´eabilit´e `a chaque pas de temps de calcul (cf. figure 1.77) ;

un couplage faible o`u le travail est s´equenc´e avec un premier programme (appel´e client) permettant de traiter le probl`eme m´ecanique puis un autre client g´erant le probl`eme de transfert `a partir des r´esultats obtenus par le premier (cf. figure 1.78).

Client.cpp  

Code  Transfert  

Code  Mécanique  

CLM(t)  

Maillage(s)  et   Condi@ons  ini@ales  à  t₀  

Condi@ons  aux  Limites   CLT(t)  

Sor@es.vtk   SM(t)  &  ST(t)  

Figure 1.77 – Approche fortement coupl´ee o`u le “client” pilote deux “services” : le code m´ecanique et le code de transfert

d’interaction fluide-structure [Kassiotis, 2009]. En effet, pour ce type de probl`eme, l’´ecou-lement a une influence sur les sollicitations m´ecaniques et la d´eform´ee des structures a elle-aussi une influence sur le type d’´ecoulement, le couplage est donc naturellement fort. La seconde approche est celle utilis´ee dans cette ´etude en raison de sa simplicit´e de mise en œuvre ainsi que du faible impact de l’´ecoulement sur la m´ecanique des probl`emes trait´es. Le couplage n’a lieu que dans le sens m´ecanique vers transfert de masse puisque la fissuration potentielle influence fortement les ´ecoulements mais pas l’inverse.

Client_M.cpp  

Condi/ons  aux  Limites   CL_M(t)   Maillage_M  et   Condi/ons  ini/ales  à  t₀   Résultats   R_M(t)  

Code  Mécanique  

Condi/ons  aux  Limites  

CL_T(t)   ^Résultats  R_T(t)  

Client_T.cpp  

Code  Transfert  

Figure 1.78 – Approche s´equenc´ee pour un couplage faible

Dans cette approche, le calcul de perm´eation est donc un post-traitement du calcul m´ecanique. Les codes et mod`eles permettant d’effectuer des calculs m´ecaniques sont nom-breux et les choix effectu´es dans cette ´etude sont d´ecrits et justifi´es dans la partie2.1.





Ce premier chapitre a permis dans un premier temps de montrer l’´etendue des ph´enom`enes en jeu lors de transferts dans les milieux poreux fissur´es. Leur interpr´etation est complexe et les mod´elisations associ´ees donnent des r´esultats souvent peu extrapolables `a des appli-cations dont certains param`etres changeraient.

Les relations de comportement choisies pour ce travail sont simples et permettent de garantir une certaine repr´esentativit´e de la r´ealit´e quelle que soit l’application choisie. L’approche pr´esent´ee repose sur une formulation rigoureuse qui a ´et´e d´etaill´ee dans la derni`ere partie de ce chapitre. Il en r´esulte une m´ethodologie stable convergeant vers une solution unique si le probl`eme est bien pos´e.

Le chapitre suivant va succinctement pr´esenter les mod`eles m´ecaniques choisis pour ali-menter l’approche de perm´eation pr´esent´ee dans ce document puis des validations simples vont permettre de comprendre ses avantages et inconv´enients.

Validation `a l’´echelle m´esoscopique

La loi la plus simple pour mod´eliser un ´ecoulement `a travers une fissure est ob-tenue en faisant l’hypoth`ese d’un ´ecoulement de type Poiseuille entre deux plans parall`eles. La relation qui en d´ecoule indique que le d´ebit est proportionnel au cube de l’ouverture de la fissure. La mod´elisation de la fissuration est donc une ´

etape cl´e dans la pr´ediction des transferts de masse en milieu fissur´e.

Ce chapitre commence donc par un bref ´etat de l’art sur la mod´elisation de la fissuration pour les mat´eriaux ayant un comportement fragile avec un post-pic adoucissant. Sont ensuite pr´esent´ees les m´ethodes utilis´ees pour valider l’approche multi-´echelles s´equenc´ee `a l’´echelle du Volume ´El´ementaire Repr´esentatif (VER). Le mod`ele est valid´e en analysant le tenseur de perm´eabilit´e macroscopique obtenu sur un cube travers´e par une fissure plane pour les deux types d’´el´ements finis m´ecaniques choisis (maillage volumique compos´e de cubes `a 8 points de Gauss pour le calcul FEM+D et treillis de barres pour le calcul E-FEM). Pour tous les calculs, un gradient de pression homog`ene est appliqu´e en imposant les pressions sur tous les nœuds appartenant au bord du cube (conditions aux limites de type Dirichlet).

Dans une premi`ere partie le calcul est effectu´e sur une fissure coupant le maillage en deux parall´el´epip`edes ´egaux. Un gradient de pression homog`ene est appliqu´e sur les faces du cube. L’analyse porte sur l’influence de l’ouverture de la fissure sur le d´ebit traversant le cube afin d’observer la r´eponse macroscopique suite `a cette sollicitation virtuelle de traction uniaxiale. Pour chaque ouverture de fissure fix´ee, le gradient est appliqu´e successivement dans les trois directions principales de gen´eration du cube afin de pouvoir reconstruire un tenseur de perm´eabilit´e macroscopique par homog´en´eisation num´erique.

Dans une deuxi`eme partie, l’influence de l’orientation du plan de fissure par rap-port au gradient de pression est analys´ee afin de d´eterminer si la matrice de perm´eabilit´e macroscopique obtenue permet de repr´esenter ces cas anisotropes.

2.1 Etat de l’art sur le comportement et la mod´^´ elisation des

mat´eriaux fragiles

Cette partie commence par identifier les caract´eristiques n´ecessaires `a la mod´elisa-tion du comportement m´ecanique d’un mat´eriau fragile `a matrice cimentaire. Les essais permettant de les caract´eriser sont ensuite analys´es, puis quelques mod`eles num´eriques permettant de simuler le comportement de ce type de mat´eriau sont succinctement expo-s´es.