Mod´ elisation syst´ emique

L’approche syst´emique consiste non pas `a analyser chaque entit´e ´el´ementaire du syst`eme, mais `a globaliser l’ensemble en sous-parties fonctionnelles. Les interactions entre les sous- parties et l’environnement autour du syst`eme sont `a prendre en compte dans la mod´elisation. Une technique de l’approche syst´emique est d’accentuer la g´en´eralisation du syst`eme en le transposant `a une boite noire. L’´etude d’un syst`eme assimil´e `a une boite noire ignore totalement sa composition interne et consid`ere uniquement les interactions entre l’ext´erieur et la boite noire.

Figure 1.14: Syst`eme repr´esent´e sous la forme d’une boite noire. La constitution du syst`eme et ses interactions internes demeurent inconnues. L’identification de ce type de mod`ele n´ecessite la constitution de bases de donn´ees d´ecrivant les sorties mesur´ees en fonction de l’´evolution des entr´ees.

Les entr´ees et sorties du syst`eme sont les seuls ´el´ements connus et d´ecrits ; mais les entit´es in- ternes et les m´ecanismes internes impliqu´es pour passer de l’un `a l’autre restent ind´etermin´es. Cette approche est appliqu´ee dans de nombreux domaines comme la physique, la chimie, l’´economie, la biologie. Quelque soit le domaine, la d´emarche d’identification est la mˆeme. Cette approche est bas´ee sur l’empirisme et l’heuristique, elle n´ecessite d’avoir une base de donn´ees transcrivant l’´etat du syst`eme dans une situation r´eelle par rapport au ph´enom`ene de sortie `a mod´eliser. Cette approche se d´eroule en deux phases.

ˆ A partir de la base de donn´ee, une phase d’apprentissage permet d’estimer les pa- ram`etres du mod`ele qui reproduira un comportement similaire dans les conditions de la base de donn´ee initiale. Cette premi`ere base est d´esign´ee sous le terme de base d’ap- prentissage et elle d´ecrit le comportement du syst`eme suite `a l’application de diff´erentes conditions op´eratoires bien pr´ecises. Le mod`ele repr´esente les relations et les liens lo- giques entre les conditions et les comportements du syst`eme, repr´esent´es par les sorties, rencontr´es dans la base d’apprentissage.

ˆ Ensuite une phase de validation est r´ealis´ee en utilisant le mod`ele identifi´e et une deuxi`eme base. Cette base dite de validation comporte des conditions op´eratoires diff´erentes de la base d’apprentissage et les comportements associ´es `a ces conditions. Le but de cette phase est de pr´edire le comportement du syst`eme en utilisant le mod`ele pr´ec´edemment identifi´e. A partir de l’apprentissage effectu´e, le mod`ele d´eduit une es- timation du comportement du syst`eme dans les conditions de la base de validation. Le comportement pr´edit est ensuite compar´e au comportement r´eel, afin de savoir si la pr´ecision du mod`ele est acceptable. Dans le cas d’un ´ecart acceptable, le mod`ele est valid´e et il est apte `a ˆetre utilis´e pour effectuer d’autres pr´edictions.

Il existe une multitude de m´ethodes de mod´elisation syst´emique qui ont ´et´e utilis´ees dans un grand nombre de disciplines scientifiques. Ces diff´erentes m´ethodes ont une m´ethodologie bas´ee sur l’application d’une phase d’apprentissage et l’application d’une phase de validation, comme ´enonc´ee pr´ec´edemment. Ces m´ethodes diff`erent sur la mani`ere de structurer le mod`ele et d’estimer les param`etres du mod`ele. Nous pr´esentons la m´ethode par r´eseaux de neurones qui a ´et´e utilis´ee lors de nos travaux.

Les r´eseaux de neurones artificiels

Cette structure de mod`ele a ´et´e inspir´ee du syst`eme neuronal biologique. Les neurologues ont d´evelopp´e et con¸cu les premiers r´eseaux de neurones durant les ann´ees 1940-1950 (McCulloch

Figure 1.15: M´ethodologie appliqu´ee pour l’identification d’un mod`ele syst´emique. de plusieurs neurones formels. Un neurone formel est une unit´e de calcul ´el´ementaire r´ealisant deux op´erations, en analogie avec le comportement d’un neurone biologique qui fonctionne sur les deux phases suivantes :

ˆ le neurone est capable de recevoir les informations port´ees par un ou plusieurs signaux d’entr´ee et effectue une sommation de ces informations

ˆ le neurone analyse et traite cette somme de signaux pour ´emettre en r´eponse un signal de sortie r´esultant du traitement des signaux d’entr´ee.

Par analogie, le neurone formel r´ealise ces deux phases :

ˆ la r´eception des signaux d’entr´ee en une somme pond´er´ee, Σ,

ˆ le traitement de cette somme par une fonction d’activation, Fa, pour g´en´erer le signal de sortie

Chaque signal `a l’entr´ee d’un neurone est associ´e `a un coefficient de pond´eration afin de donner des poids diff´erents aux informations arrivant sur la cellule de calcul. Les signaux de sortie se dirigent vers l’entr´ee d’autres neurones formels ou vers l’ext´erieur du syst`eme. Les neurones formels sont assembl´es en r´eseau. Un assemblage classique est le r´eseau mul- ticouche d´eterministe, qui utilise une organisation de trois couches (voir fig. 1.17) selon le th´eor`eme de Hornik (Hornik(1991)) :

Figure 1.16: Repr´esentation d’un neurone formel. Le neurone re¸coit un ensemble de signaux d’entr´ee portant des informations. Chaque signal est affect´e `a un coefficient de pond´eration θ. Le neurone traite la somme pond´er´ee des informations et produit un signal de sortie issu d’une fonction d’activation fa(x).x repr´esente la somme pond´er´ee des informations. fa peut

ˆetre lin´eaire ou non lin´eaire.

ˆ la premi`ere couche, dite couche d’entr´ee, est constitu´ee d’un ensemble de neurones r´ecepteurs des signaux d’entr´ee, venu de l’ext´erieur, capt´es par le syst`eme. Chaque signal activant le syst`eme est mat´erialis´e par une cellule d’entr´ee.

ˆ la deuxi`eme couche, dite couche cach´ee, poss`ede un nombre variable de neurones., Chacun de ces neurones re¸coit les signaux provenant de l’ensemble des neurones de la couche d’entr´ee. Ces neurones font un traitement statistique de l’information re¸cue afin d’estimer les coefficients de pond´eration permettant `a la fonction complexe, qui repr´esente le r´eseau de neurones entier, de reproduire le signal de sortie. Le nombre de neurones cach´es utilis´e par le syst`eme est `a d´etermin´e par un proc´ed´e essai/erreur afin de retenir celui qui reproduit le plus fid`element le comportement r´eelle du syst`eme. La fonction d’activation fN L, au niveau des neurones cach´es, est sigmo¨ıdale :

fN L(x) =

1 exp−x_{+ 1}

x repr´esente la somme pond´er´ee des informations parvenant `a l’entr´ee.

ˆ la troisi`eme couche, dite couche de sortie, re¸coit et traite l’ensemble des informations g´en´er´ees par la couche cach´ee pour reproduire le comportement propre au syst`eme en r´eponse des conditions rencontr´es. Un comportement peut ˆetre associ´e `a plusieurs signaux de sortie. Chaque signal de sortie du syst`eme est mat´erialis´e par un neurone de sortie. Il est possible d’identifier un r´eseau de neurones avec plusieurs neurones de sorties. Cependant, en g´en´eral, un seul neurone de sortie est mat´erialis´e pour simplifier le mod`ele. En effet, il est pr´ef´erable de faire plusieurs mod`eles `a une sortie qu’un mod`ele complexe unique `a plusieurs sorties.

Une mod´elisation syst´emique, telle que les r´eseaux de neurones, est g´en´eralement moins pr´ecise qu’une mod´elisation analytique dynamique, du fait de l’abstraction du comportement interne du syst`eme. Cependant, elle est plus facile `a bˆatir car son pr´erequis est la base

Figure 1.17: Assemblage d’un r´eseau de neurone en trois couches. Les informations vont des cellules d’entr´ees vers la couche de sortie. `A gauche, repr´esentation d’un syst`eme avec deux signaux en entr´ee et deux neurones cach´es. αi repr´esente les coefficients de pond´eration des

signaux provenant des neurones e1 ou e2 se dirigeant vers le neurone cach´e y1. βi repr´esente

les coefficients de pond´eration des signaux provenant des neurones e1 ou e2 se dirigeant vers le neurone cach´e y2. γi est le coefficient de pond´eration pour le signal entre la couche cach´ee

et la couche de sortie. `

A droite, exemple de r´eseau `a n entr´ees et m neurones cach´es et un neurone de sortie. d’apprentissage n´ecessitant uniquement une acquisition d’entr´ees et de sorties. Elle poss`ede aussi une propri´et´e de g´en´eralisation plus ´etendue que le mod`ele analytique stationnaire. Cette propri´et´e d´ependra du temps et des situations couverts par la base d’apprentissage utilis´ee.