Mod´ elisation du r´ eseau ad hoc

On consid`ere un r´eseau ad hoc de mobiles que l’on repr´esentera par un graphe orient´e,

dont l’ensemble des sommets, not´e N, est l’ensemble des terminaux mobiles qui peuvent

POUR L’OPTIMISATION DU ROUTAGE DANS LES R´ESEAUX AD HOC DE MOBILES

communiquer par un protocole radio pr´ed´efini (par exemple 802.11). Il existe un arc reliant

un sommet n au sommet m si n peut transmettre des informations `a m. Comme il s’agit

de communications radio, les arcs ne sont pas n´ecessairement sym´etriques (la capacit´e

de r´eception d´epend de la qualit´e de l’antenne, alors que la capacit´e d’´emission d´epend

essentiellement de la puissance et de la capacit´e de la batterie).

Sur ce graphe, un ensemble U de communications sont ´etablies entre un sommet source

et un sommet destination. On suppose que ces flux ont un d´ebit d’´emission qui est

sta-tionnaire, par exemple des paquets sont ´emis selon un processus de Poisson d’intensit´e

constante. Chaque communication appartient `a une classe de priorit´e, de 1 `a C, la classe

la plus petite ´etant la plus prioritaire. Ces classes permettent de prendre en compte les

contraintes de qualit´e de service des diff´erentes application. A chaque classe de priorit´e est

associ´e un poids qui repr´esente l’importance relative des priorit´es les unes par rapport aux

autres. Le flux u a un poids not´eωu d´ependant de la classe qui lui est associ´e.

Pour chaque flux u, on note S

_u

l’ensemble des routes simples joignant la source `a la

destination du flux sur le graphe de communication. Une route est donc une suite de

terminaux mobiles qui connectent la source au mobile destinataire. Le choix d’un de ces

chemins par le flux uest not´es

_u

. Le profil d’actionss = (s

_u

)

_u∈U

est appel´e unroutage des

flux, et on noteS l’ensemble des routages possibles, i.e. S = ×

u∈U

S

_u

.

Notons

³

par `

_n

(s) l’´etat d’un sommet n du graphe sous le routage s : c’est un vecteur

binaire (`

^u_n

)

_u∈U

(s) tel que `

^u_n

(s) = 1 si le flux u passe par le sommet n, i.e. n ∈ s

_u

, et 0

sinon. Lorsqu’aucune confusion n’est possible, on omettra de noter la d´ependance de l’´etat

des noeuds en fonction des. Enfin, le d´elai moyen en un sommet est not´ed

^u_n

(`

_n

), et le d´elai

total sur un chemin p ∈ S

_u

, quand le routage est s, not´e D

^u_p

(s). On fait les hypoth`eses

suivantes :

– Le d´elai total d’un flux sur un chemin est dˆu exclusivement aux d´elais sur les sommets

travers´es (le d´elai de transmission entre deux sommet est n´eglig´e).

– Les d´elais sont additifs sur les chemins, c’est-`a-direD

_p^u

(s) =^X

n∈p

d

^u_n

(`

_n

).

– Le d´elai en un sommet d´epend de la priorit´e des flux. Les flux les plus prioritaires ont

des d´elais inf´erieurs aux flux ayant une priorit´e inf´erieure. Dans la section num´erique,

nous utilisons un mod`ele de file d’attente avec pr´eemption par les flux prioritaires.

Le probl`eme consiste alors `a trouver un routage des flux sur le r´eseau afin de minimiser le

d´elai global, o`u le d´elai global

⁴

vautF(s) = ^X

u∈U

ω

_u

D

_s^u_u

(s) = ^X

u∈U

X

n∈su

ω

_u

d

^u_n

(`

_n

). Le probl`eme

d’optimisation s’´ecrit simplement :

min

s∈S

F(s).

Ce probl`eme peut ˆetre r´esolu en explorant toutes les possibilit´es de routage, mais

cette approche par force brute centralis´ee est inefficace en pratique en raison de la taille

exponentielle de l’ensemble des routages. Une autre alternative consiste `a exploiter les

3. Nous reprenons les notations g´en´erales pour les probl`emes d’allocation de ressources que nous avons

utilis´ees `a la section2.3.3.

´

eventuelles structures des fonctions de d´elais, par exemple la convexit´e comme dans [GL07].

N´eanmoins, ces m´ethodes reposent sur un contrˆoleur centralis´e ce qui les rend inadapt´ees

au routage dans les r´eseaux ad hoc, qui sont par essence des structures sans entit´e centrale.

Notre approche consiste `a placer les prises de d´ecision au niveau des flux. Ces d´ecisions

doivent tenir compte du d´elai du flux, ainsi que de son impact sur les autres flux. D’apr`es

la section 2.3.3, si l’on d´efinit la fonction de coˆut par arc suivante :

δ

^u_n

(`n)

^def

= ωud

^u_n

(`n)− ^X

v6=u|n∈sv

ωvd

^v_n

(`n−e

^u_n

)−ωvd

^v_n

(`n)

, (4.6)

o`u e

^u_n

est le vecteur de taille |U | qui vaut 1 en la composante u et z´ero ailleurs, et si l’on

pose ∆

^u_p

(s)

^def

= ^X

n∈p

δ

_n^u

(`n), alors le jeu d´efinit par le triplet (U,S,∆) est un jeu de potentiel

dontF est une fonction de potentiel.

Par cons´equent, l’algorithme de meilleure (en version asynchrone) r´eponse converge vers

un maximum local du potentiel. L’un des avantages de cet algorithme est le fait qu’il peut

ˆ

etre impl´ement´e de mani`ere compl`etement d´ecentralis´ee et que, bien qu’on puisse exhiber

des exemples pour lesquels il converge en un temps exponentiel, il est en pratique tr`es

rapide. Mais il ne converge pas vers un optimum global. En raison de la capacit´e finie des

r´eseaux, on ne peut pas borner la “d´eriv´ee” de la fonction de d´elai, et par cons´equent on

ne peut pas avoir de garantie sur la d´egradation maximale entre le pire maximum local et

l’optimum local comme le montre l’exemple suivant.

Prix de l’anarchie non born´e : Consid´erons le r´eseau de la figure 4.2. Supposons que deux

communications de mˆeme priorit´e aient lieu entre la source A et la destination B, et entre

la source C et la destination D, au d´ebit d’´emission de 1kb/s. Notons par u et v les flux

correspondants.

Un chemin est d´ecrit par l’ensemble des noeuds qui le compose. Ici, S

_u

= (U, V),(X, Y) et

S

_v

= ((U, Y),(V, X)). Supposons que les d´elais soient ceux d’une file d’attenteM/M/1,

c’est-`

a-dire que le d´elai pour franchir un noeud vaut ^λ

µ−λ ^{(λ est le d´ebit arrivant dans la file et}

µ le taux de service), et que les taux de service soient 2 + 2ε, 2 +ε, 3, 2 +ε(en kb/s) pour,

respectivement, les noeuds X, Y, U etV. La matrice du jeu de potentiel associ´e, donc tenant

compte de l’impact des des joueurs, est :

(U , Y) (V , X)

(U, V) 3.5 + ¹

1 +ε ^{, 3.5 +}

1

1 +ε

0.5− ¹

1 +ε⁺

4

ε ^,

1

1 + 2ε⁻

1

1 +ε⁺

4

ε

(X, Y)

1

1 + 2ε⁻

1

1 +ε⁺

4

ε ^{, 0.5−}

1

1 +ε ⁺

4

ε

1

1 +ε⁻

1

1 + 2ε⁺

2

ε ^,

1

1 +ε⁻

1

1 + 2ε⁺

2

ε

On voit qu’il y a deux ´equilibres de Nash qui sont NE

1

= ((U, V),(U, Y)) et NE

2

= ((X, Y),(V, X)),

dont les d´elais globaux sont respectivement 4 + ²

1 +ε ^et

2

ε⁺

2

1 +ε^{, et dont le rapport tend}

POUR L’OPTIMISATION DU ROUTAGE DANS LES R´ESEAUX AD HOC DE MOBILES

C V U A X Y B D

Figure 4.2 – Exemple de r´eseau dans lequel le ratio des performances entre le pire ´equilibre

et l’optimum global est non born´e.

Dans le document Auto-optimisation des réseaux sans fil. Une approche par la théorie des jeux (Page 81-84)