Mod`eles de milieux al´eatoires

La pr´ediction de la g´eom´etrie des surfaces obtenues apr`es le d´epˆot de chaque couche de revˆetement, peut ˆetre consid´er´ee comme un probl`eme de mod´elisation d’une texture al´eatoire. Or, nous trouvons dans le domaine de la morphologie math´ematique de nom- breux mod`eles permettant d’accomplir une telle tˆache[25, 24].

6.2.1.1 Fonctions de dilutions

Le mod`ele qui semble le plus prometteur en l’´etat, est celui dit de dilution qui consiste `a d´eposer un motif (un grain) sur une surface par addition de l’image du motif `a celle de la surface. Ce mod`ele semble adapt´e pour la mod´elisation du d´epˆot de primaire ou de laque, tout d’abord parce qu’il en reproduit formellement le principe : de la mati`ere s’accumule sur une surface initiale. D’autre part, une des propri´et´es

6.2.1.2 Choix des param`etres

L’application de ces mod`eles n´ecessite que nous d´efinissions un certain nombre de param`etres. En premier lieu, il faut choisir les grains primaires qui vont ˆetre d´epos´es sur la surface. Nous pr´esentons, en figure 6.2 et 6.3, deux exemples de textures pour lesquelles seul le grain primaire a ´et´e chang´e. Le premier exemple, pr´esent´e en figure 6.2, a ´et´e obtenu en choisissant comme grain primaire l’image d’une sph`ere qui, en s’´ecrasant sur une surface plate se serait d´eform´ee uniquement suivant une direction verticale. Cette forme suppose na¨ıvement que la mati`ere constituant la goutte va tout simplement s’entasser comme s’il s’agissait de petites briques ´el´ementaires (cf le sch´ema 6.1). Ceci ´etant assez loin de la r´ealit´e, d’autres formes de grains peuvent ˆetre envisag´ees. Ainsi, notre second exemple, pr´esent´e en figure 6.3, est inspir´e de la forme des lamellae ´etudi´ees notamment au Centre des Mat´eriaux de l’´Ecole des Mines de Paris `a Evry [3] ainsi qu’au Centre for Advanced Coating Technologies `a Toronto [6].

Figure_{6.1 – ´Ecrasement “na¨ıf” d’une goutte sur une surface}

(a) Grain primaire (b) R´ealisation du mod`ele de dilution

Figure _{6.2 – Fonction de dilution construite avec un grain primaire d´efini selon le} sch´ema de la figure 6.1. (Visualisation faite avec AphelionTM[65])

Les mod`eles de dilution ont, en fait, d´ej`a ´et´e utilis´es pour simuler l’aspect des surfaces rugueuses [26, 28]. Dans ces ´etudes, la d´eposition a ´et´e faite sur des images “planes” sur lesquelles on a cherch´e `a cr´eer une rugosit´e ex-nihilo, mais la nature mˆeme du processus de dilution (le fait qu’on additionne les niveaux de gris des images) laisse

(a) Grain primaire (b) R´ealisation du mod`ele de dilution

Figure _{6.3 – Fonction de dilution pour laquelle le grain primaire correspond `a une} “lamellae”. (Visualisation faite avec AphelionTM[65])

penser qu’il peut s’adapter au cas o`u l’on part de l’image d’une surface poss´edant une g´eom´etrie quelconque, pour simuler la topographie de la mˆeme surface avec une couche de revˆetement en plus.

Dans la mesure o`u, comme nous allons le voir par la suite, une autre voie semblait plus prometteuse, nous n’avons pas poursuivi plus avant les recherches sur cette piste. Il faut donc comprendre que les id´ees avanc´ees ici correspondent `a des investigations qui ont eu lieu assez tˆot dans le projet de th`ese. Il est n´eanmoins r´esult´e de ces recherches la construction d’une librairie de simulation de milieux al´eatoires. Cette librairie offre, grˆace `a son int´egration `a la plate-forme de traitement d’image Morph-M[8], une grande souplesse tant au niveau du type des images g´en´er´ees (entiers, flottants, etc) que pour la d´efinitions des grains primaires (dont le comportement peut ˆetre d´efini avec une grande libert´e).

Ayant repris le nom de la librairie SIMEA [27, 33, 12], elle se veut en ˆetre une ´evolution plus en ad´equation avec les technologies actuelles et a ´et´e pr´esent´ee lors du Symposium International de Morphologie Math´ematique 2007[50]. Nous pr´esentons en figure 6.4 un exemple de r´ealisation d’un mod`ele de dilution sur une topographie r´eelle g´en´er´e avec ce logiciel. Les possibilit´es offertes par cette nouvelle plate-forme rendent tout `a fait envisageable d’allier certains des mod`eles physiques de la voie “prometteuse”, `

a laquelle nous faisions allusion, aux mod`eles `a grains primaires.

6.2.1.3 Introduction de ph´enom`enes physiques

Une des fa¸cons selon lesquelles les mod`eles de structures al´eatoires peuvent ˆetre raffin´es est effectivement de les combiner `a des ph´enom`enes physiques. Un mod`ele alternant d´epˆot et diffusion[13], par exemple, peut permettre de prendre en compte l’aspect nivelant de la peinture. Nous voyons sur la figure 6.5 des surfaces g´en´er´ees de la mˆeme fa¸con que sur les figures 6.2 et 6.3, mais qui ont subi en plus un processus de

(a) Quelques gouttes “r´eelles”

(b) Simulation par dilution (c) Topographie r´eelle

Figure_{6.4 – Une tentative de simulation du d´epˆot de la peinture sur une topographie} r´eelle. Les formes des gouttes ont ´et´e extraites des topographies obtenues lors de l’- exp´erience d´ecrite `a la section 3.2. Le substrat initial est un extrait de la surface d’une tˆole EDT recouverte de cataphor`ese et la topographie r´eelle est la surface correspondant `

a la mˆeme r´egion de l’´echantillon mais apr`es le d´epˆot de sealer. Le simple processus de d´epˆot n’arrive pas `a reproduire l’aspect de la surface du primaire.

ph´enom`enes qui ´etaient “r´eellement” `a l’oeuvre lors de l’application des revˆetements, ou tout du moins `a nous pencher sur la description que pouvait nous en donner la physique. Il nous est apparu que de nombreux travaux en hydrodynamique sem- blaient d´ej`a r´eussir `a mod´eliser correctement des ph´enom`enes proches de ceux qui nous int´eressaient. Cette piste “physique” est alors devenue la piste prioritaire dans nos recherches, nous obligeant, pour des raisons de temps, `a laisser de cˆot´e les mod`eles statistiques.

(a) Diffusion sur un mod`ele similaire `a celui de la figure 6.2

(b) Diffusion sur un mod`ele similaire `a celui

de la figure 6.3

(c) Topographie d’une tˆole EDT recouverte de

laque

Figure _{6.5 – Diffusion sur des mod`eles de dilutions identiques `a ceux pr´esent´es} pr´ec´edemment. Nous proposons de plus ici un extrait de la topographie d’un des ´echantillons de notre ´etude (r´ef. 228D)