M´ethode d’optimisation des ´ecarts

globale dans le sens o`u la fonction prend en compte l’ensemble des ´ecarts sur toute la topographie, et se distingue ainsi nettement d’une m´ethode locale qui consisterait `a faire les ajustements successifs de chaque imagette avec ses voisines, et qui poserait le probl`eme du sens de parcours et de la possibilit´e d’ajustements incompatibles.

Comme annonc´e `a la section 4.2.3, la premi`ere approche qui a ´et´e d´evelopp´ee, a du ˆetre corrig´ee. Pour cela, il nous a fallu reprendre toute une partie des calculs, ce que nous avons pu faire tout en restant dans le mˆeme cadre th´eorique. Par souci d’´economie, nous allons donc pr´esenter ici ces mˆemes calculs dans leur version la plus formelle et la plus g´en´erique, avant de d´etailler les deux variantes que nous avons effectivement utilis´ees.

Pour la suite de cette section nous allons uniquement consid´erer l’ensemble des imagettes d’une topographie donn´ee. Ces imagettes seront index´ees de 1 `a n, o`u n est le nombre total d’imagettes pour la topographie (et en pratique, pour notre ´etude nous avons donc n = 100). En outre, nous adopterons les d´efinitions suivantes :

D´efinition 4.1. Chaque imagette i est caract´eris´ee g´eom´etriquement par son support Ti qui est un domaine compact de IR2.

D´efinition 4.2. `A chaque imagette i on associe la fonction Zi qui donne les niveaux

de gris des imagettes avant assemblage, et dont Ti est le support :

Zi : Ti → IR

p 7→ Zi(p)

D´efinition 4.3. Soit Ai la fonction d’ajustement qu’il faudra ajouter `a la fonction Zi

pour que les imagettes soient “bien” assembl´ees.

Ai : Ti → IR

p 7→ Ai(p)

D´efinition 4.4. Soit Ri,j la zone o`u se superposent les deux imagettes i et j, on d´efinit

formellement3 ces domaines par :

Ri,j = Ti∩ Tj

Hypoth`ese 4.1. Nous supposons que l’ensemble des imagettes est “bien” ajust´e lorsque l’erreur d’ajustement d´efinie ci dessous est minimis´ee.

D´efinition 4.5. Soit ferr l’erreur d’ajustement commise lorsque chaque imagette i est

corrig´ee par la fonction Ai, nous prenons pour expression de ferr la formule suivante :

ferr= n X i=1 n X j=i+1 X p∈Ri,j [Zi(p) + Ai(p) − Zj(p) − Aj(p)]2 (4.1)

Comme nous le voyons sur l’´equation (4.1), nous nous pla¸cons dans le cas d’une optimisation selon les moindres carr´es. La suite du raisonnement est donc assez classique et nous allons rechercher le minimum de la fonction d’erreur en annulant toutes ses d´eriv´ees partielles par rapport aux variables de notre probl`eme. Nous allons maintenant introduire ces variables en faisant l’hypoth`ese (faible) suivante :

3. La d´efinition formelle propos´ee cache un peu le fait qu’en g´en´eral les Ri,j sont ´egaux `a l’ensemble

vide puisqu’en effet une imagette a, au plus, 8 voisins avec lesquels elle partage des zones de superpo- sition.

Hypoth`ese 4.2. Pour tout i la fonction Aiest caract´eris´ee par une famille de param`etres

(ki)α∈K indexable sur Ki, un sous ensemble fini4 de IN.

Nous allons donc chercher `a satisfaire la famille d’´equations (4.2).

∀i ∈ [[1, n]], ∀α ∈ Ki,

∂ferr

∂ki α

= 0 (4.2)

Nous supposons de plus qu’au del`a du syst`eme d’´equations que nous sommes en train de construire, les Aivarient suffisamment ind´ependamment les uns des autres pour que

la d´eriv´ee d’un Ai ne d´epende d’aucun param`etre kαj pour j 6= i. Ceci correspond `a

l’hypoth`ese suivante : Hypoth`ese 4.3. ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i 6= j, ∀α ∈ Kj, ∂Ai ∂kαj = 0

L’expression des d´eriv´ees partielles de la fonction ferr se r´esume alors ainsi :

∀i ∈ [[1, n]], ∀α ∈ Ki, ∂ferr ∂ki α = 2 X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j ∂Ai(p) ∂ki α [Zi(p) + Ai(p) − Zj(p) − Aj(p)] (4.3)

Pour aller plus loin et notamment d´evelopper les termes Ai(p) et leur d´eriv´ees

partielles, il convient de faire des hypoth`eses suppl´ementaires. Nous allons toutefois nous autoriser `a garder un degr´e de g´en´ericit´e juste sup´erieur `a celui strictement n´ecessaire `

a notre ´etude, mais qui nous permettra de d´eriver de fa¸con tr`es naturelle les ´equations dont nous avons r´eellement besoin.

Hypoth`ese 4.4. Pour tout i, la fonction Ai peut s’´ecrire, pour tout point p de son

domaine, comme une fonction lin´eaire de ses param`etres (ki_α) et on peut donc ´ecrire :

Ai : p 7→ Ai(p) =

X

α∈Ki

λi_α(p) · ki_α (4.4)

L’´equation (4.4) nous permet donc d’obtenir une nouvelle formulation des d´eriv´ees partielles que nous devons annuler. Apr`es quelques simplifications nous obtenons le syst`eme d’´equations r´esum´e sous sa forme condens´ee par l’´equation (4.5).

∀i ∈ [[1, n]], ∀α ∈ Ki, X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j  λi_α(p)(Zi(p) − Zj(p)) + X β∈Ki λi_α(p)λi_β(p)k_βi − X β∈Kj λi_α(p)λj_β(p)k_βj  = 0 (4.5)

´el´ement ki _{chacun et que pour tout i et pour tout point p les coefficients λ}i_{(p) sont}

´egaux `a 1. Le syst`eme d’´equations `a r´esoudre devient :

∀i ∈ [[1, n]], X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j ki_{− k}j_{ =} X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j [(Zj(p) − Zi(p))] (4.6)

Nous obtenons alors en pratique un syst`eme lin´eaire `a 100 inconnues et 99 ´equations auquel manque donc une contrainte n´ecessaire pour d´eterminer une solution unique. Nous utilisons pour cela le principe des multiplicateurs de Lagrange qui nous permet par exemple de d´efinir comme contrainte que la constante associ´ee `a la toute premi`ere image soit nulle, ou bien que la somme des constantes soit nulle. La diff´erence de r´esultat entre ces contraintes n’est pas ´enorme, sauf que la seconde semble donner des r´esultats un peu meilleurs. C’est cette derni`ere m´ethode qui a ´et´e choisie pour “fermer” le syst`eme lin´eaire.

En vue d’am´eliorer nos premiers r´esultats, nous avons envisag´e de donner plus de libert´e au syst`eme. Pour cela, nous avons d´efini les fonctions correctrices Ai comme

des plans. Pour nos d´eveloppements formels cela signifie que chacune de ces fonctions a trois param`etres que nous pouvons indexer sur l’ensemble {0,′x′,′y′} afin de faciliter la lisibilit´e des ´equations. Nous obtenons donc, en notant px et py les coordonn´ees dans

le plan de chaque point p, l’´equation (4.7) qui d´efinit les fonctions correctrices : Ai : Ti → IR

p 7→ Ai(p) = k0+ kx· px+ ky· py (4.7)

On peut d`es lors exprimer le syst`eme (4.2) sous la forme des trois familles d’´equations (4.8), (4.9) et (4.10). ∀i ∈ [[1, n]], X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j h (k₀i − kj₀) + px· (kxi − kjx) + py· (kyi − kyj) i = X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j [(Zj(p) − Zi(p))] (4.8) ∀i ∈ [[1, n]], X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j h px· (k0i − kj0) + p2x· (kxi − kjx) + px· py· (kyi − kyj) i = X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j [px· (Zj(p) − Zi(p))] (4.9) ∀i ∈ [[1, n]], X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j h py· (k0i − kj0) + py· px· (kxi − kxj) + p2y· (kiy− kjy) i = X j∈[[1,n]]\i X p∈Ri,j [py· (Zj(p) − Zi(p))] (4.10)

Nous pouvons `a nouveau utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour d´efinir une solution unique `a notre syst`eme. La contrainte choisie ici est en fait une extension de la contrainte appliqu´ee lors du cas pr´ec´edent et peut ˆetre exprim´ee comme suit :

∀α ∈ {0,′x′,′y′},

n

X

i=1

ki_α= 0 (4.11)

Au final, les r´esultats obtenus sont plutˆot satisfaisants et nous ont permis d’avoir des imagettes suffisamment bien assembl´ees pour que leurs (anciennes) fronti`eres soient in- discernables. Les seuls cas d’erreur sont assez rares et se produisent notamment lorsque il y a trop de point non mesur´es dans les zones de superposition entre imagettes.

Pour se donner une bonne id´ee du r´esultat, sans ˆetre influenc´e par la pr´esence de forme, il faut en fait regarder les images qui sont issues de l’ensemble des traitements que nous d´ecrivons dans ce chapitre et dans le suivant. Nous en avons pr´esent´e une sur la figure 4.17, qui a ´et´e obtenue au bout d’une chaˆıne de traitement o`u la correction en niveau de gris s’est faite par des constantes uniquement. Nous avons d´ej`a soulign´e que cette m´ethode laissait parfois apparaˆıtre les fronti`eres entre imagettes et c’est bien ce que nous voyons sur cette figure.

6.9µm

−5.4µm

a. b.

La figure 4.18 `a l’inverse, montre le r´esultat obtenu avec les mˆeme imagettes de d´epart et une chaˆıne de traitement en tous points identique sauf pour ce qui est des ajustements en niveaux de gris, r´ealis´es par des plans. Nous pouvons constater directe- ment les am´eliorations que cette derni`ere m´ethode apporte. Notons enfin que cette utilisation des plans peut s’interpr´eter comme la correction de tilts du plateau du mi- croscope lors de ses d´eplacements5.