M´ethodes d’interpolation

Parmi les deux grandes cat´egories de zones non-mesur´ees, d´ecrites pr´ec´edemment, les zones aveugles ’fines’ qui, par d´efinition, sortent elles aussi du domaine de la mesure, sont dues en g´en´eral `a la pr´esence de pentes trop fortes, comme nous l’avons expliqu´e `a la section 4.1.1.1. Comme il s’agit l`a de caract´eristique de la topographie dont on peut se douter qu’elles auront une influence forte sur l’´etalement des revˆetements ainsi que sur l’interaction avec la lumi`ere, il est crucial de reboucher ces points non mesur´es, et de le faire d’une fa¸con aussi respectueuse de la r´ealit´e que possible.

Nous allons donc pr´esenter ici les m´ethodes de remplissage des zones aveugles dites fines. Ces m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees dans le but d’explorer une nouvelle approche au probl`eme de la restauration des images pr´esentant des trous. L’approche se fait par biais tr`es particulier qui est le suivant :

Position du probl`eme. ´Etant donn´e une topographie en forme de “marche d’escalier” dont une partie n’a pu ˆetre mesur´ee, comment peut-on reconstruire la transition abrupte l`a o`u l’information manque ?

Les m´ethodes propos´ees dans la suite ont toutes ´et´e d´evelopp´ees dans le but de r´epondre `a cette question. Certaines ont eu uniquement pour but d’offrir un traitement simple qui serve de r´ef´erence, tandis que d’autres m´ethodes plus compliqu´ees relevaient beaucoup plus de l’exploration et de la recherche d’une r´eponse originale. Apr`es l’expos´e des diverses m´ethodes et de la fa¸con dont elles sont cens´ees r´epondre `a la question pos´ee, nous discuterons de ce qu’elles ont pu apporter `a notre projet.

4.1.2.2 R´egression lin´eaire support´ee par les fronti`eres

La premi`ere m´ethode que nous pr´esentons ici est destin´ee `a servir de r´ef´erence et `

a voir ce que les suivantes peuvent apporter par rapport `a ce traitement “na¨ıf” du probl`eme. Il s’agit d’une simple r´egression lin´eaire permettant d’interpoler les donn´ees

B. R´egression lin´eaire sur cette fronti`ere : en interpr´etant les niveaux de gris comme des cotes, on ajuste un plan suppos´e contenir la fronti`ere consid´er´ee.

C. On donne aux points non mesur´es la cote qui, sur le plan, correspond `a leurs coor- donn´ees (x,y).

D. On remplace dans l’image initiale, les points non mesur´es par les cotes qui viennent de leur ˆetre attribu´ees.

Comme visible sur le sch´ema, cette m´ethode d’interpolation r´epond mal au probl`eme que nous nous sommes pos´e. Cependant, c’est une m´ethode assez classique qui peut donner de tr`es bons r´esultats tant en terme de rapidit´e que de qualit´e de l’interpolation. Nous verrons aussi qu’elle peut ˆetre utilis´ee au sein d’algorithmes plus ´evolu´es pour en am´eliorer substantiellement les r´esultats.

4.1.2.3 Interpolation par des Gaussiennes

Cette m´ethode d’interpolation fait, elle aussi, appel `a des outils tr`es classiques et reconnus de traitement du signal. Le cœur de la m´ethode consiste `a convoluer, par un noyau gaussien, l’image contenant points mesur´es et points non mesur´es. Auparavant, une ´etape d’initialisation est n´ecessaire pour am´eliorer le r´esultat, qui consiste `a rem- placer les zones non mesur´ees par les moyennes des niveaux de gris calcul´ees sur leurs fronti`eres. Voici une description des ´etapes repr´esent´ees sur le sch´ema 4.4 :

A. S´election d’une fronti`ere de largeur fix´ee autour de la zone non mesur´ee. B. Calcul de la moyenne sur cette fronti`ere.

C. On donne aux points non mesur´es la valeur de cette moyenne.

D. On remplace dans l’image originale les points non mesur´es par leur nouvelle valeur. E. On filtre l’image r´esultante par une gaussienne.

F. On redonne `a tous les points qui ´etaient d´ej`a connus dans l’image initiale, la valeur qu’ils avaient avant d’ˆetre filtr´es.

La phase d’initialisation est justifi´ee par le fait que nous savons qu’en appliquant r´ecursivement le filtrage gaussien `a l’image, les niveaux de gris des images filtr´ees vont asymptotiquement prendre la valeur de la moyenne de l’image (si l’on n´eglige les effets de bord). Ici nous n’utilisons cependant pas la moyenne globale comme nous l’avons d´ej`a fait remarquer, mais des moyennes locales. Ceci revient `a consid´erer `a chaque fois une petite imagette encadrant la zone non mesur´ee plutˆot que l’ensemble de l’image, et nous permet de donner d`es la phase d’initialisation, une valeur probablement plus proche de la r´ealit´e et qui n’est pas fauss´ee par les ondulations de grandes ´echelles de la tˆole.

Cette m´ethode peut donner de bons r´esultats car l’action de lissage propre au filtre gaussien va permettre ici de rendre chaque point non mesur´e plus semblable `a ses voisins. N´eanmoins, s’il existe des zones non mesur´ees un peu trop ´epaisses, ce filtre aura du mal `a reproduire une v´eritable marche d’escalier, et c’est ce que nous avons essay´e de repr´esenter sur le sch´ema. Il faut aussi noter que c’est une m´ethode param´etrique qui par rapport `a la pr´ec´edente n´ecessite que l’on pr´ecise, en plus d’une largeur de fronti`ere, l’´ecart-type de la gaussienne utilis´ee pour la convolution. Plus l’´ecart-type sera faible plus la m´ethode sera apte `a reproduire des transitions abruptes, mais malheureusement moins elle sera capable d’interpoler les valeurs au centre de larges zones de points manquants.

4.1.2.4 Extrapolation par zones d’influence (EZI)

L’extrapolation par zones d’influence peut en fait se voir comme une m´ethode d’in- terpolation classique, telle que celles que nous venons de voir, `a laquelle nous ferions pr´ec´eder une ´etape de pr´e-traitement. Toutes les m´ethodes que l’on classe sous le nom d’extrapolation par zone d’influence (EZI) d´ebutent en effet par la cr´eation d’une par- tition de l’image. Ceci est suivi par l’application d’un op´erateur sur chacune des classes constitu´ees, en ignorant `a chaque fois les donn´ees pr´esentes sur les classes voisines. Les informations contenues dans les parties connues de la classe courante, sont donc utilis´ees pour synth´etiser de l’information sur les parties inconnues, situ´ees en g´en´eral `

a la fronti`ere de la classe1.

Le partitionnement est r´ealis´e de telle sorte que l’on ait, au sein de chaque classe, des pixels dont les niveaux de gris doivent ˆetre plus proches des niveaux de gris des pixels de la mˆeme classe que de ceux des pixels des autres classes contigu¨es. La difficult´e est non seulement de classer les pixels ayant un niveau de gris connu, mais aussi de savoir `

a quelles classes appartiennent les pixels non mesur´es. Les diverses ´etapes pr´esent´ees sur le sch´ema 4.5 sont les suivantes :

A. S´election de points caract´eristiques. B. Calcul des zones d’influence de ces points.

C. Attribution des points mesur´es et non-mesur´es `a chaque zone.

D. Traitements s´epar´es de chaque zone avec un “op´erateur d’extrapolation”.

E. R´eunion de toutes les zones, qui une fois trait´ees donnent l’interpolation de l’image enti`ere.

Chaque ´etape de cet algorithme peut-ˆetre accomplie par diverses m´ethodes. ´Etant donn´e que le but ici est de s’assurer que les pentes abruptes soient reproduites au mieux, l’id´ee de d´epart est bien entendu de faire co¨ıncider les limites des classes avec ces zones de transition. De la sorte, nous for¸cons l’apparition de discontinuit´es `a ces endroits tout en laissant l’op´erateur d’extrapolation agir “comme il le souhaite” `a l’int´erieur de la classe. En pratique, le choix des points caract´eristiques se fait par la d´etection des zones lambda-plates de l’image, et ceci pour rester coh´erent avec notre d´emarche orient´ee vers un traitement respectueux des fortes pentes. Sur chaque zone d’influence des r´egions lambda-plates, nous avons essay´e comme op´erateur d’extrapolation tour `a tour des filtres m´edians, un simple calcul de moyenne ou encore une r´egression lin´eaire, mais nous ne traiterons par la suite que de l’utilisation de la r´egression lin´eaire qui donne de bien meilleurs r´esultats.

4.1.2.5 Extrapolation par zones d’influence support´ee par les fronti`eres (EZIF)

Nous allons enfin discuter d’une variante sp´ecifique de la m´ethode EZI. En effet, comme nous l’avons dit, nous sommes libres de choisir la m´ethode que nous souhaitons pour r´ealiser l’´etape faisant appel `a un op´erateur d’extrapolation sur chaque zone d’in- fluence. Nous nous proposons ici de voir l’int´erˆet que nous avons `a choisir un op´erateur support´e par les fronti`eres des zones non mesur´ees. Nous avons repr´esent´e sur la fig- ure 4.6, deux algorithmes d’EZI, l’un appliquant une simple r´egression lin´eaire sur

Ce sch´ema repr´esente en fait tout l’int´erˆet que la combinaison d’un EZI et d’un op´erateur support´e par les fronti`eres (formant donc une extrapolation par zone d’in- fluence, support´ee par les fronti`eres : EZIF) peut avoir. En effet nous voyons bien que la partie droite de l’image qui nous sert d’exemple, se prˆete mal `a une simple r´egression lin´eaire, mais que deux r´egressions lin´eaires locales permettent d’obtenir un bon r´esultat. Cependant nous avons aussi vu pr´ec´edemment que ce genre de r´egression lin´eaire ne permettait pas de rendre correctement les fortes transitions telles que celle qui est pr´esente au milieu de l’image du sch´ema 4.5. Mais dans ce cas les extrapolations par zones d’influence ont permis de contourner cette limitation.

D’une fa¸con plus g´en´erale, les classes cr´e´ees lors de la phase de partitionnement des EZI, bien que regroupant des pixels assez similaires, n’ont pas de raison particuli`ere de bien se prˆeter `a une m´ethode d’extrapolation quelle quelle soit. Le principal avantage des EZI consiste `a proposer d’embl´ee un d´ecoupage des zones aveugles suivant l’em- placement pr´esum´e des lignes de forte transition. Cependant, pour une classe donn´ee, le simple fait de consid´erer ind´ependamment chaque zone non mesur´ee et sa fronti`ere pour r´ealiser une extrapolation parait plus raisonnable. Cela revient, en effet, `a con- sid´erer que localement la surface se prˆete bien `a l’op´eration d’extrapolation choisie, ce qui est une hypoth`ese bien plus acceptable et somme toute assez classique.