Interaction de la lumi`ere avec les surfaces peintes

La lumière, nous le savons, a un comportement complexe qui peut être tantôt appréhendé en utilisant une description corpusculaire, et tantôt en la considérant comme une onde. Les deux aspects sont en réalité complémentaires mais permettent, cha- cun, d’élaborer des méthodes de simulations bien spécifiques. Nous en donnons un bref aper¸cu dans les sections suivantes.

7.1.1 L’optique g´eom´etrique

La nature particulaire de la lumière est sans doute celle qui a été appréhendée en premier dans l’histoire, par le biais de l’optique géométrique. Initiée, notamment, par les travaux d’Euclide (∼325 av. JC - ∼265 av. JC), elle s’attache à décrire par de simples relations géométriques, le trajet de la lumière et, les phénomènes de réflection et réfraction qui se produisent aux interfaces entre différents milieux. La lumière est représentée par des rayons rectilignes et ses interactions avec les surfaces se résument en de simples changements de direction.

Cette représentation est aussi celle qui nous servira pour les modélisations présentées un peu plus loin. Nous en proposons ici une illustration classique en figure 7.1, ainsi que les équations qui y sont associées (cf formules 7.1). Sur la figure et dans les équations, on note θi l’angle que forme le rayon incident avec la normale à la surface, θs l’angle

que forme le rayon réfléchi avec cette même normale, et θrl’angle du rayon réfracté. n1

et n2 sont les indices de r´efractions des milieux qui se trouvent de part et d’autre de

l’interface repr´esent´ee sur la figure 7.1.

θi = θs et n1· sin θi= n2· sin θr (7.1)

Nous pouvons d’ores et déjà noter que l’utilisation de ces lois assez simples nous permet de comprendre intuitivement l’influence que la rugosité d’une surface peut avoir

i Réflection (spéculaire) Réfraction Rayon incident s r

n

Figure _{7.1 – Réflection et réfraction de la lumière `}_{a l’interface entre deux matériaux} d’indices différents (n1 et n2)

sur son apparence. Pour s’en faire une idée, nous pouvons considérer la figure 7.2 qui indique comment la représentation géométrique de la propagation de la lumière induit la présence de zones d’ombres où aucun rayon ne pourra parvenir et de différences d’éclairement des diverses facettes de la surface.

Source "//"

Figure _{7.2 – Déviation des rayons et ombrages sur une surface rugueuse. Ici, pour} simplifier le schéma, nous avons considéré une source de lumière collimatée pour avoir des rayons incidents parallèles entre eux. La zone grisée correspond à la section de la surface qui n’est pas éclairée.

7.1.2 L’optique physique

matière est alors dictée par les équations de Maxwell que nous rappelons en (7.2).          div ~B = 0 rot ~E = −∂ ~_∂tB div ~D = 0 rot ~H = ∂ ~_∂tD + ~jcond (7.2)

Nous ne mènerons ici aucun développement supplémentaire à partir de ces équations sauf à faire les quelques remarques suivantes. Tout d’abord ces équations assez complexes se placent dans un cadre plus général que la lumière visible. Ici la lumière est une onde électromagnétique caractérisée par les champs électriques et magnétiques, ~E et ~B, et va influencer le comportement du matériau où elle est plongée, comportement modélisé par l’induction du champ électrique ~D = ǫǫ0E et de l’intensité du champ~

magn´etique ~H = _µµ1₀B.~

De tout ceci, nous retiendrons que ces équations mettent en évidence la dépendance des interactions entre lumière et matière, vis à vis des propriétés de la matière. En particulier, nous voyons ici que jouent la répartition des charges électriques, à travers la perméabilité diélectrique ǫ et, l’aimantation, à travers la perméabilité magnétique µ1_{. Nous pouvons aussi noter l’influence que peuvent avoir des paramètres extérieurs}

comme la présence d’un courant électrique, noté ici ~jcond. Le lecteur qui voudra se faire

une meilleure idée de la fa¸con dont ces interactions se transposent dans le cas des aciers plats pourra se référer notamment à la thèse d’A. Aubert[2].

Les modèles dérivés de ces équations montrent aussi que l’onde lumineuse va réagir différemment suivant sa pulsation. Nous engageons le lecteur qui voudrait en savoir plus à se référer aux chapitres 4 à 7 du livre La couleur. Lumière, vision et matériaux [16] où certains de ces modèles sont présentés et clairement expliqués. Il nous suffira ici d’observer que les influences combinées des propriétés intrinsèques des matériaux et de la pulsation de la lumière qui s’y propage, sont à la base de l’apparition de la couleur des matériaux2. Outre les exemples d’applications fournis dans le livre sus-cité, il est aussi bon de noter que, pour la couleur des revêtements des aciers plats, plusieurs modèles prédictifs sont en cours d’élaboration, comme par exemple au VUB (Bruxelles) avec les travaux de V. Goossens[19, 18].

Rajoutons enfin que, sur le plan de la physique, la couleur peut aussi être influencée par la géométrie à très petite échelle des surfaces, et l’on pense ici par exemple à des phénomènes d’interférences produisant des surfaces irisées (comme celles des CD notamment). Dans un cadre plus général, l’appréciation de la couleur par les êtres humains est une expérience subjective, qui dépend aussi de nombreux facteurs externes tels que l’environnement lumineux. Devant toutes cette complexité, que nous n’avons fait qu’effleurer ici, nous allons considérer par la suite que la couleur et l’aspect plus ou moins réfléchissant des matériaux sont des paramètres que nous n’essaierons pas de calculer ni de prédire, mais que nous considérerons plutôt comme des données et tout au plus comme des paramètres à ajuster.

7.1.3 Radiom´etrie

Repla¸cons nous maintenant dans le cadre de notre démarche qui consiste à simuler l’aspect peint des aciers plats. Nous avons déjà prévenu que nous ne détaillerons ni les

1. ǫ0et µ0sont des constantes bien connues désignant les perméabilités diélectrique et magnétique

du vide

2. Nous parlons ici de la couleur au sens physique qui la définit comme une sélection de certaines longueurs d’onde de la lumière visible qui seraient transmises par le matériau vers l’extérieur.

phénomènes physiques de l’interaction entre la lumière et la matière qui compose la tôle peinte, ni les phénomènes physiologiques et psychologiques qui accompagnent la perception de cette lumière lorsqu’elle arrive au yeux de l’observateur. Il nous reste alors comme tâche essentielle à déterminer la propagation de la lumière entre sa source, la surface que l’on veut caractériser et l’oeil de l’observateur. Et, suite à cette propagation, nous devons savoir “sous quelle forme” et “en quelles quantités” cette lumière arrive à l’observateur.

Cette problématique relève d’un domaine particulier de l’étude des phénomènes lumineux, et des ondes électromagnétiques en général : la radiométrie. Cette discipline consiste à déterminer, pour une scène donnée (c’est à dire un arrangement donné de plusieurs objets) la répartition de l’énergie lumineuse dans l’espace. Il est en outre possible d’estimer cette répartition de l’énergie longueur d’onde par longueur d’onde, ce qui donne accès ensuite aux informations de couleurs. Enfin, si, parmi les surfaces présentes, nous considérons la rétine d’un observateur ou, au choix, le capteur d’une caméra, la radiométrie peut nous permettre de synthétiser l’image per¸cue de la tôle.

Cette technique est d’ailleurs, à ce titre, le fondement des algorithmes de synthèse d’images et nous allons ici en présenter certains éléments clés. Le lecteur trouvera des informations plus détaillées dans le livre Advanced Global Illumination[14].

Afin de se placer déjà dans le cadre de la synthèse d’image, nous faisons ici l’hy- pothèse d’un régime stationnaire des transferts d’énergie. Nous pouvons aussi ajouter l’hypothèse que le comportement des objets présents se résume par des lois de comportement de leurs surfaces. L’exercice de la radiométrie consiste alors à calculer des bilans d’énergie en prenant en compte les énergies re¸cues, absorbées, transmises et réfléchies. Nous pouvons, pour cela, manipuler des flux d’énergie, usuellement notés Φ, et nous commen¸cons par définir le flux d’énergie re¸cu par unité de surface, aussi appelé éclairement, noté E (W att.m−2). Mais, ici une remarque s’impose, car ces grandeurs surfaciques, si elles sont bien adaptées à réaliser des bilans de transferts d’énergie sur des surfaces, ne donnent accès ni à la provenance des flux, ni à leur destinations. Dès lors, mêmes les lois macroscopiques les plus simples, comme celles de Snell-Descartes, ne peuvent permettre d’exploiter des informations aussi synthétiques. Ceci ne laisse pas beaucoup de possibilités pour suive les trajets de la lumière des sources jusqu’à l’observateur et donc ne permet pas une synthèse d’image correcte.

Afin de pouvoir caractériser les transferts d’énergie en tenant compte de leur direction d’incidence et d’émission, il faut introduire la notion de luminance. La luminance émise, par exemple, correspond à la portion du flux surfacique total qui n’est envoyé que dans un cône infinitésimal dont le sommet est à la surface de l’objet considéré. Ce cône est défini par la direction θ de son axe par rapport à la normale à la surface et l’angle solide dω qui définit son ouverture angulaire. La luminance s’écrit alors :

L = d

2_Φ

dωdA cos θ (7.3)

La luminance est définie de fa¸con similaire dans le cas de la lumière incidente et la figure 7.3 représente les deux “types” de luminance. Pour distinguer les deux, une nota- tion classique consiste à appeler L(x → Θ) la luminance émise vers le cône infinitésimal Θ et L(x ← Ψ) celle re¸cue depuis le cône Ψ.

N

d

Figure _{7.3 – Luminances émise (à gauche) et re¸cue (à droite). Sur cette figure, Ψ} représente le cône d’incidence, et Θ celui de l’émission. Alternativement, Ψ, Θ et N peuvent aussi être considérés comme des vecteurs pointant dans les directions indiquées sur le schéma.

le cône d’incidence Ψ qui contribuera à la luminance émise vers le cône Θ. Ceci est résumé par l’équation (7.4). Cette fonction est dépendante des directions d’incidence et d’émission ainsi que du point considéré à la surface de l’objet. C’est par cette fonction que l’on peut modéliser les phénomènes de réflection et aussi certains comportements particuliers des surfaces, comme leur tendance à diffuser la lumière.

fr(x, Ψ → Θ) = dL(x → Θ)

dE(x ← Ψ) =

dL(x → Θ)

L(x ← Ψ)cos(θ′)dω′ (7.4)

Nous finirons notre survol de la radiométrie en précisant que les grandeurs présentées jusqu’ici servent à écrire l’équation du rendu (7.5) qui, en tout point d’une surface, donne accès à la luminance émise dans une direction particulière. Notons, afin de clar- ifier l’équation présentée ici, que l’on ajoute classiquement un terme Le(x → Θ) qui

permet de prendre en compte le cas où la surface émettrait une lumière propre.

L(x → Θ) = Le(x → Θ) +

2π

fr(x, Ψ → Θ)L(x ← Ψ)cos(θ′)dω′ (7.5)

Nous avons donc pu poser les principaux piliers des méthodes radiométriques pour évaluer la répartition des énergies sur les objets d’une scène. Il faut ajouter à cela que si l’on considère pour les luminances et les BRDF des dépendances suivant la pulsation des ondes lumineuses, cela nous permet de synthétiser aussi les couleurs des objets de la scène. Comme nous l’avons annoncé, ces méthodes sont à la base des algorithmes de synthèse d’image qui cherchent à résoudre les équations de rendu dans des situations complexes où de nombreuses surfaces sont en vis-à-vis. Pour avoir plus de renseignement à ce sujet, nous invitons à nouveau le lecteur à se référer au livre Advanced Global Illumination[14] ainsi qu’au chapitre 12 du livre Couleur. Lumière, vision et matériaux [16].

Dans le document Modélisation mathématique de l'évolution de la topographie des couches successives des surfaces peintes destinées au secteur automobile (Page 152-156)