Un plan d'habitat est une interface plane entre la phase austénite et la phase martensite. Deux cas sont possibles et sont décrits successivement ci-dessous.
3.6.1 Plan d'habitat avec une seule variante de martensite
Dans un premier cas, la zone martensitique est constituée d'une seule variante de martensite. Pour qu'il y ait compatibilité entre l'identité I et une variante Ui, il faut que la deuxième valeur
propre de Ui soit égale à un (voir théorème section 3.4. Si on note λ1, λ2 et λ3 les trois valeurs
propres de Ui, classées par ordre croissant, la condition est donc [62] :
3.6. MODÉLISATION D'UN PLAN D'HABITAT 45
La microstructure est alors modélisée par l'équation suivante :
Ri/AUi − I = bi/A⊗ ˆmi/A (3.6.2)
dans laquelle les indices i/A signi ent que le plan d'habitat existera entre l'austénite et la variante de martensite i.
Cette microstructure existe dans certains matériaux (les CuZnAl par exemple, voir gure 3.6.1) ayant une tranformation cubique-monoclinique. Pour la transformation cubique-orthorhombique, des travaux récents ont été menés dans le but de fabriquer des alliages se rapprochant de cette relation λ2 = 1: voir les références [63, 37, 132, 41]. Ces références s'intéressent à cette relation
car il est en eet démontré et validé expérimentalement que plus λ2 se rapproche de un, plus
l'hystérésis de la transformation de phase diminue, et en conséquence, la durée de vie de l'AMF augmente (du point de vue de la fatigue associée à la transformation de phase) [64, 51, 82].
Dans le présent travail, on ne traitera pas ce cas λ2= 1.
Figure 3.6.1 Plan d'habitat entre l'austénite avec une seule variante de martensite. A gauche : image faite au microscope électronique à transmission montrant les atomes de part et d'autre du plan d'habitat dans un CuZnAl [74]. A droite : modèle associé à la microstructure.
3.6.2 Plan d'habitat avec un twin de martensite
S'il n'y a pas compatibilité entre l'austénite et une variante de martensite (λ2 6= 1), la com-
patibilité au niveau du plan d'habitat se fait grâce à deux variantes de martensite (voir gure 3.6.2-a). La zone martensitique est constituée par conséquent, de nes lamelles de variantes twin- nées (Ui/Uj/Ui/Uj/Ui/....). La proportion d'une variante par rapport à l'autre est telle qu'en
moyenne [62], l'austénite est compatible avec la zone martensitique. Cette microstructure peut être schématisée comme l'indique la gure 3.6.2-b. Très localement, il existe en fait une zone de transition séparant l'austénite de la martensite. Il y est observé de légères déformations élastiques pour accommoder localement le passage de l'austénite à chacune des deux variantes de martensite. Cette microstructure est modélisée par le système d'équations suivant, où les inconnues sont Rij, aij, ˆnij, ¯R, λ, bij/A et ˆmij/A [12, 15, 62, 18] :
(
RijUj− Ui= aij⊗ ˆnij
¯
R[λRijUj+ (1 − λ)Ui] − I = bij/A⊗ ˆmij/A
(3.6.3)
L'équation 3.6.3-1 traduit la compatibilité des deux variantes de martensite (paragraphe 6.3.10). La seconde équation 3.6.3-2 traduit celle entre l'austénite (I) et le mélange entre les deux variantes
Figure 3.6.2 Plan d'habitat avec un twin de martensite. (a) Micrographie. (b) Schématisation, où λ est la proportion de variante j dans la zone twinnée (i : j).
de martensite, où λ est la proportion de la variante j dans la zone de martensite twinnée (i : j). Cette proportion λ est donc comprise entre 0 et 1. Il faut noter que la normale unitaire au plan d'habitat, notée ˆmij/A, est identique dans les con gurations initiale et nale, du fait que l'austénite
est présente d'un coté du plan d'habitat.
3.6.3 Résolution du plan d'habitat
On sait que l'équation de twinnage 3.6.3-1 possède zéro ou deux solutions [62]. Il y a toujours deux solutions dans le cas des transformations cubique-tétragonale et cubique-orthorhombique. Lorsqu'elle a des solutions, elles seront distinguées, pour des raisons de commodité d'écriture, par les exposants I et II (pour type I et type II, même dans le cas où les solutions sont de type compound, voir section 3.5.3) :
(RIij, aIij, ˆnIij), (RIIij, aIIij, ˆnIIij)
Pour résoudre l'équation 3.6.3-2, on applique la procédure suivante [62]. Pour chacune des deux solutions du twin (i : j) ci-dessus, les deux grandeurs suivantes δij et ηij sont d'abord calculées. A
partir de la solution I de l'équation de twinnage, on calcule : δIij= aIijUj(Uj2− I) −1nˆI ij (3.6.4) ηijI = T r(U 2 j) − Det(U 2 j) − 2 + | aI ij | 2 2δI ij ! (3.6.5)
et à partir de la solution II de l'équation de twinnage, on calcule : δIIij = aIIijUj(Uj2− I) −1nˆII ij (3.6.6) ηijII = T r(Uj2) − Det(Uj2) − 2 + | aII ij |2 2δII ij ! (3.6.7)
3.6. MODÉLISATION D'UN PLAN D'HABITAT 47
Théorème
Le système d'équations associé au plan d'habitat entre l'austénite et un twin de martensite aura une solution si et seulement si [12, 15, 62, 18] :
δ ≤ −2 (3.6.8)
et
η ≥ 0 (3.6.9)
Ce théoréme est à appliquer indépendamment pour les solutions I et II du twinnage (i : j). La connaissance de δI
ij et δ II
ij permet ensuite de calculer les proportions λ de martensite j dans la zone
de martensite twinnée (i : j). Pour chacun des deux cas, il y a en fait deux proportions possibles : λet λ0= 1 − λ, sauf dans le cas où λ = 0, 5.
A partir de la solution I de l'équation de twinnage, on calcule : λIij= 12 1 −q1 +δ2I ij λ0Iij= 1 − λI ij (3.6.10)
et à partir de la solution II de l'équation de twinnage, on calcule : λII ij = 12 1 −q1 + 2 δII ij λ0IIij = 1 − λIIij (3.6.11)
Ensuite pour chacune des quatre proportions λI
ij, λ0Iij, λIIij et λ0IIij , la résolution de l'équation
3.6.32 est faite grâce aux formules de la section 3.4.2. A chaque fois, il y a zéro ou deux solutions
en termes de ¯R, bij/A et ˆmij/A.
A noter que certaines solutions sont identiques si la proportion λ est égale à 0,5. A l'issue de cette procédure, le système d'équations associé au plan d'habitat possède soit 0, 2, 4, 6 ou 8 solutions.
3.6.4 Famille de plans d'habitat équivalents
Comme cela a été fait pour la microstructure twin, il est possible de montrer qu'il existe des familles de plans d'habitat cristallographiquement équivalents. Si la rotation Q appartient au groupe ponctuel des rotations laissant invariant le réseau cubique telle que Uk = QTUiQ et Ul=
QTU
jQ, alors la solution pour le plan d'habitat avec le twin (k : l) peut être déduite de la solution
du plan d'habitat avec le twin (i : j) par : bkl= QTbij, mkl = QTmij et Rkl/A= QTRij/AQ.
3.6.5 Notion de déformation moyenne
Dans le but de simpli er l'écriture du système d'équations 3.6.3 modélisant le plan d'habitat entre l'austénite et un twin de martensite, on utilisera une déformation moyenne de la zone martensitique twinnée . Le terme ¯R[λRijUj + (1 − λ)Ui], issu de l'équation 3.6.3-2 traduit le
fait que les variantes Ui et Uj sont présentes dans le twin de martensite, respectivement dans les
proportions 1 − λ et λ. En utilisant la décomposition polaire 3.2.4, ce terme s'écrira de la façon suivante : Rij/AUij/A. Autrement dit :
¯
R[λRijUj+ (1 − λ)Ui] notation
z}|{= R
ij/AUij/A (3.6.12)
Le système d'équations 3.6.3 s'écrira alors de manière compacte : (
RijUj− Ui= aij⊗ ˆnij
Rij/AUij/A− I = bij/A⊗ ˆmij/A
(3.6.13)
C'est cette écriture qui sera utilisée dans toute la suite de ce document.