Indicateur de non-compatibilité d'un wedge

Figure 4.1.2  Illustration de la problématique.

4.2 Indicateur de non-compatibilité d'une microstructure wedge

4.2.1 Relâchement virtuel du plan midrib

Pour mémoire (voir section 3.8), les équations dénissant un wedge CSF [(i : j)(k : l)] sont les suivantes :     

Rij/AUij/A− I = bij/A⊗ ˆmij/A

Rkl/AUkl/A− I = bkl/A⊗ ˆmkl/A

Rkl/AUkl/A− Rij/AUij/A= aijkl⊗ ˆnijkl

(4.2.1)

La description des wedges pouvant exister dans des conditions de non-compatibilité a été ini- tiée dans la référence [10] sur des AMF à base cuivre (CuZnAl). Pour mener à bien l'étude des wedges ne satisfaisant pas aux équations 4.2.1, l'idée repose sur un  relâchement virtuel du plan midrib (l'interface entre les deux zones martensitiques). Cette idée est illustrée sur la Figure 4.2.1. La Figure 4.2.1-a représente la conguration initiale (cristal d'austénite). Les plans indiqués en pointillés deviendront des interfaces dans la conguration transformée. Les Figures 4.2.1-b et -c représentent cette conguration transformée avec le relâchement virtuel du plan midrib (wedge ou- vert) : il apparaît un angle ψ entre les deux zones martensitiques. Cet angle constitue un indicateur géométrique de la non-compatibilité de la microstructure. Un wedge est CSF lorsque ψ est nul.

4.2.2 Equations d'un wedge non-compatible

Que représente cet angle de non-compatibilité ψ du point de vue des équations de compatibilité ? On peut le faire apparaître quand on écrit les équations de compatibilité d'un wedge [(i : j)(k : l)] non-compatible :     

Rij/AUij/A− I = bij/A⊗ ˆmij/A

Rkl/AUkl/A− I = bkl/A⊗ ˆmkl/A

¯

R Rkl/AUkl/A
− Rij/AUij/A= aijkl⊗ ˆnijkl

Figure 4.2.1  (a) Conguration initiale : cristal d'austénite. (b) Wedge ouvert dans la congra- tion transformée. (c) Vue en élévation : visualisation de la crossing line.

où la diérence par rapport aux équations dans le cas CSF est la matrice ¯R apparaissant dans la troisième équation. Cette matrice ¯R est une rotation qui doit assurer que les intersections de toutes les interfaces de la microstructure se fassent sur une même ligne de l'espace (la crossing line du wedge, dénie par le vecteur ˆv sur la Figure 4.2.1-c). Si cette propriété n'est pas vériée, la microstructure ne pourrait pas être construite spatialement.

Plus concrètement, la matrice ¯Rtraduit une rotation autour de l'axe ˆv. Elle doit donc rendre invariant le vecteur ˆv. Comme ce vecteur s'obtient par ˆv = ˆmij/A∧ ˆmkl/A, la matrice ¯Rdoit vérier

la propriété suivante :

¯

R ( ˆmij/A∧ ˆmkl/A) = ˆmij/A∧ ˆmkl/A (4.2.3)

De plus, il peut être montré que l'angle de non-compatibilité ψ correspond à l'angle de la matrice de rotation ¯R. La valeur absolue de l'indicateur de non-compatibilité s'écrit donc :

|ψ| =    arccos tr ¯_{R − 1} 2     . (4.2.4)

Evidemment, un wedge est CSF lorsque la matrice de rotation ¯R est la matrice identité.

4.2.3 Calcul pratique de l'angle de non-compatibilité

Le vecteur ˆnijkl est la normale, dans la conguration non déformée, du plan qui deviendra le

plan midrib dans la conguration déformée (voir Figure 4.2.1-a). Si on relâche virtuellement la compatibilité cristallographique au niveau de ce plan, le vecteur ˆnijkl se transforme en n1 et n2de

part de d'autre du wedge dans la conguration déformée (voir Figure 4.2.1-b). On a donc : n1= (Rij/AUij/A)−Tˆnijkl (4.2.5)

et

n2= (Rkl/AUkl/A)−Tnˆijkl. (4.2.6)

L'angle de non-compatibilité ψ est donné par l'angle entre les normales n1 et n2. La valeur

absolue de ψ peut donc s'obtenir également par la relation suivante : |ψ| =arcsin |n1∧ n2|

|n1| |n2|



4.2. INDICATEUR DE NON-COMPATIBILITÉ D'UN WEDGE 67

4.2.4 Lien entre ψ et le niveau de contraintes

La valeur de ψ est d'une certaine manière un indicateur du niveau de contraintes dans la micro- structure. En eet, le relâchement du plan midrib ne se fait pas dans la réalité. Lorsque ψ est non nul, la formation de la microstructure génère des déformations additionnelles (élastiques et/ou ané- lastiques), ce qui se traduit par l'apparition de contraintes. La Figure 4.2.2 illustre cette idée. Elle représente le champ de contraintes existant dans une microstructure wedge non-CSF. La méthode numérique consiste à refermer l'angle de non-compatibilité, selon une procédure spécique. Pour plus d'informations, le lecteur pourra se reporter à l'article [10]. L'étude du champ de contrainte ne sera pas menée dans ce document. De nombreuses questions se posent avant d'eectuer systé- matiquement des calculs de contrainte dans les microstructures.

On peut dire que plus la valeur de |ψ| est grande, plus le niveau de contrainte sera élevé, et par conséquent plus la probabilité de former la microstructure sera faible (ou alors avec des irréversibilités mécaniques comme des dislocations).

Figure 4.2.2  Illustration du lien entre l'angle ψ et le niveau de contraintes dans un wedge non-CSF. a) Maillage d'un wedge ouvert. b) Champ de contrainte causé par la fermeture de l'angle de non-compatibilité (voir Réf. [10] pour plus de détails).

4.2.5 Autre indicateur de non-compatibilité d'une microstructure ?

Dans la littérature, un autre paramètre a été proposé pour quantier la non-compatibilité d'un wedge [58]. Cet indicateur est basé sur la condition de parallélisme des vecteurs bij/Aet bkl/A(voir

condition 3.8.2, paragraphe 3.8.1). On dénit l'angle χ entre bij/A et bkl/A. Un wedge sera CSF si

et seulement si χ = 0, ce qui est une condition équivalente à ψ = 0. Toutefois, il peut être montré que cet angle χ n'est pas un bon indicateur de non-compatibilité. En eet, en testant diérents jeux de paramètres de maille, des calculs non présentés ici montrent que :

 une même valeur de χ 6= 0 peut correspondre à des valeurs distinctes de ψ, donc à diérents niveaux de contraintes ;

 de valeurs faibles de χ ne correspondent pas toujours à de faibles valeurs de ψ.

Ces deux raisons montrent que la non-compatibilité est mal mesurée par l'angle χ. L'indicateur ψproposé dans le cadre de ce thèse semble plus approprié pour caractériser la non-compatibilité d'une microstructure wedge.