Modélisation micro Eléments Finis (µEF) simplifiée

Les modélisations micro Eléments Finis sont basées sur l‟exploitation des données ob-tenues par imagerie. Différentes possibilités de modélisation sont envisageables :

- Soit par des éléments poutres : si la complexité des modèles est grandement réduite par l‟utilisation de ce type d‟éléments, leur limitation actuelle à la phase élastique [HAL07] ne permet pas d‟envisager leur exploitation en grandes déformations. D‟autre part, une connaissance rigoureuse des paramètres trabéculaires est préala-blement nécessaire afin d‟assigner aux éléments poutres les bonnes caractéris-tiques géométriques et mécaniques.

- Soit par des éléments tétraédriques : Ce maillage constitue de loin la méthode la plus adaptée à une représentation réaliste de l‟architecture spongieuse. Toutefois, la complexité de la structure engendre une importante distorsion des éléments pénali-sant inévitablement les temps de simulation.

- Soit par des éléments hexaédriques : Malgré la présence de « marches d‟escalier », cette modélisation assure une bonne description de l‟architecture pour des coûts de simulation acceptable, comparativement à des modèles en éléments tétraédriques. Pour cette étude, nous avons donc pris le choix de modéliser l‟architecture trabéculaire au moyen d‟éléments hexaédriques afin de minimiser les temps de simulations.

a. Modélisation en éléments hexaédriques

Les informations obtenues par imagerie sont directement exploitées afin de construire le modèle EF. Chaque voxel (caractéristique de la matière) est ainsi remplacé par un élément hexaédrique, auquel est associé les propriétés mécaniques homogénéisées du matériau consti-tutif. Si cette méthode a montré son efficacité dans de précédentes études [RIE95] [NIE00], elle engendre (à partir d‟acquisitions à hautes résolutions), une densité de maillage excessive (Fi-gure III.6) et donc d‟importants temps de simulation. Une simplification du maillage est donc nécessaire si l‟on souhaite réaliser rapidement plusieurs simulations numériques.

Figure III.6 - modèle Eléments Finis d’un échantillon de 5 mm de côté (760 264 nœuds - 894 423 éléments).

b. Simplification du maillage

Afin de diminuer la complexité de ces modèles, deux méthodes sont à ce jour proposées :

- L‟utilisation de données obtenues par imagerie à faible résolution [FOL02] : Elle con-traint à réaliser une deuxième acquisition, cette fois-ci à une résolution plus élevée, si l‟on souhaite connaître exactement les principales propriétés architecturales de l‟échantillon modélisé.

- La deuxième méthode propose d‟intervenir directement sur les images tomogra-phiques (Figure III.7). Les auteurs procèdent au groupement des voxels afin de gé-nérer des éléments plus grands et donc de diminuer la densité de maillage [RIE95]. Il est ainsi possible de générer à partir de 8 voxels de 20 µm de côté, un élément de 40 µm de côté.

Figure III.7 - principe de groupements des voxels.

Cette deuxième méthodologie présente le plus grand intérêt puisqu‟elle permet la cons-truction de modèles micro Eléments Finis à partir d‟une seule acquisition. Elle engendre toute-fois une diminution de la masse du modèle (jusqu‟à 30% de perte de masse selon les cas), notamment sur les bords des travées. Si le nombre de voxels est en effet insuffisant pour assu-rer leurs groupements, l‟élément équivalent n‟est pas créé et l‟information n‟est pas prise en compte dans le modèle généré (Figure III.8).

c. Amélioration de la procédure de simplification du maillage

Afin de corriger ce défaut de groupement des voxels et améliorer la représentativité des modèles simplifiés, nous avons associé à la création du maillage, une condition particulière de groupement des voxels. Celle-ci permet de générer un nouvel élément, même si le nombre de voxels nécessaire n‟est pas présent. Un nombre minimal de voxels pleins (que nous appelle-rons nbmin pour nombre minimal de voxels nécessaire à la création d‟un élément) est ainsi défini afin de forcer la création de l‟élément à partir des voxels existants. Si, le nombre de voxels pleins est supérieur ou égal au critère nbmin, l‟élément peut être créé. Par exemple, si le critère de groupement est fixé à 5, un élément est créé si le nombre de voxel est supérieur ou égal à cette valeur (Figure III.9).

Figure III.9 - exemple d’application du critère de groupement (nbmin=5) sur une travée osseuse.

A l‟image des modélisations simplifiées classiques [ULR98], la procédure proposée in-troduit une surestimation ou une sous-estimation de la masse du modèle par rapport à une modélisation voxel/élément conventionnelle. Contrairement à la méthode classique, l‟erreur commise est toutefois moins importante. Le Tableau III.2 dresse ainsi un récapitulatif des varia-tions moyennes constatées pour différents modèles selon la valeur de nbmin fixée.

Tableau III.2 - variation de masse introduite par la condition de groupement.

Nbmin ERREUR COMMISE

0 -1 gain de 20 à 25% 2 gain de 15 à 20% 3 gain de 10 à 25% 4 gain de 5 à 10 % 5 perte de 5 à 10% 6 perte de 10 à 15% 7 perte de 15 à 20% 8 perte de 20 à 25%

Une valeur nbmin de 0 correspond à la création d‟un maillage Eléments Finis par une conversion directe des voxels en éléments hexaédriques (maillage voxel/élément). Une valeur de 8 correspond à la création d‟un maillage hexaédrique à partir de 8 voxels pleins. Une valeur comprise entre 1 et 7 assure la création du maillage selon la procédure proposée. Une valeur de nbmin comprise entre 1 et 4 (1 à 4 voxels minimums sont nécessaire pour créer le nouvel élément), entraine une surestimation de la masse, comparativement au maillage voxel/élément pris pour référence. Pour une valeur comprise entre 5 et 7, la masse des modèles créés est sous-estimée. La méthode proposée est donc judicieuse pour une valeur de nbmin minimisant la variation de masse, soit un nbmin fixé à 4 ou 5 (variation de masse inférieure à ±10%).

d. Exemple de maillages hexaédriques d’une structure spongieuse

Une même architecture trabéculaire est maillée à partir de différentes conditions de groupement afin de juger de la discrétisation pour chacune d‟entre elles (Figure III.10). La figure (a) présente la modélisation de cette structure pour un maillage voxel/élément classique (nbmin=0) constitué de 894 423 nœuds pour 760 264 éléments. La figure (b) présente la modé-lisation de cette même architecture, pour un groupement des éléments selon la méthodologie proposée (nbmin=4), constituée de 139 841 nœuds pour 105 520 éléments. Finalement, la fi-gure (c) présente cette architecture modélisée à partir d‟un groupement classique des éléments (nbmin=8) et constituée de 117 520 nœuds et 84 146 éléments. Pour le premier maillage, la taille des éléments générés est de 20 µm alors que pour les deux autres modèles, la taille de maille est de 40 µm. Dans chaque cas, la visualisation d‟une même section est proposée afin de juger de la qualité du maillage généré.

Figure III.10 - maillages hexaédriques d’une même architecture pour différentes conditions de groupement. (a) nbmin=0 (maillage voxel/élément) ; (b) nbmin=4 (condition particulière de groupement) ;

(c) nbmin=8 (condition classique de groupement)

La méthode proposée de groupement des voxels (Figure III.10 (b)) divise par 7 le nombre d‟éléments par rapport à un maillage voxel/élément conventionnel. Pour un nbmin fixé à 8, le nombre d‟éléments est divisé par 9. Toutefois, cette diminution entraine des modifica-tions significatives de la connectivité du réseau et un amincissement des parois non caractéris-tique. Le critère proposé permet d‟améliorer significativement la description de la topologie tra-béculaire en minimisant notamment l‟élimination de zones trop minces pour être prises en compte par un groupement classique des éléments. D‟autre part, la méthode proposée génère une variation de masse de seulement 5,25% par rapport au modèle de référence. L‟analyse des

réponses Eléments Finis menée dans la deuxième partie de ce chapitre permettra toutefois de juger des effets d‟une telle variation de masse sur les propriétés mécaniques extraites.