Travaux personnels
II.2 Résistance au roulement
II.2.2 Modélisation mécanique du test de décélération
II.2.2.1 Description du mouvement et hypothèses de modélisation
Un test de décélération consiste à pousser le fauteuil en ligne droite sur sol parfai- tement plat jusqu’à une certaine vitesse, puis à le laisser continuer son mouvement (cf section II.2.3). Le fauteuil décélére alors naturellement sous l’effet de différentes forces :
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la résistance aérodynamique, les frottements internes, et surtout la résistance au roule- ment. Le poids de l’utilisateur est représenté par l’ajout de masses fixes sur le fauteuil.
Les valeurs de résistance aérodynamique à faible vitesse rencontrées dans la litté- rature étaient faibles devant celles de la résistance au roulement, de plus les masses additionnelles présentent beaucoup moins de prise au vent qu’un utilisateur (aire fron-
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tale plus faible). Nous avons donc fait l’hypothèse que la résistance aérodynamique était négligeable pour ces tests. De la même manière, nous considérerons le moment résistant dans les roulements à billes comme n’influençant pas suffisamment le mouvement pour être pris en compte. Enfin, les roues seront considérées comme sans pincement, ce qui élimine les actions autres que le roulement entre le sol et les roues.
Il a ainsi été considéré que seule la résistance au roulement contribuait à la décélé- ration du système pour cette démonstration [65, 132].
Pour modéliser la résistance au roulement au niveau d’une roue, les paramètres λf
et λr doivent être introduits, ils sont appelés paramètres de résistance au roulement des
roues avant et arrière. Exprimés en [m], ces paramètres représentent le décalage du
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point d’application des efforts du sol sur la roue par rapport à la verticale passant par le centre de l’axe de roue.
Ensuite, en utilisant la modélisation du paramètre de résistance au roulement, nous pouvons établir le schéma mécanique ci-dessous, représentant le fauteuil chargé décé- lérant librement en ligne droite et sur sol plat, sous l’unique action de la résistance au
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roulement (figure II.6). Nous noterons que pour un mouvement en ligne droite, il est possible d’utiliser un schéma plan en vue sagittale et les roues sont traitées par paires.
FIGURE II.6 – Schéma du fauteuil décélérant librement en ligne droite sur sol plat
Où :
• S est le système constitué du fauteuil (Châssis+roues) et des masses addition- nelles.
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• ~x est la direction du mouvement en ligne droite, horizontale. • ~y est la verticale.
• (~x, ~y) forment un repère orthonormé R0
• Of et Or sont les centres de pivot des roues avant et arrière • rf et rr sont les rayons des roues avant et arrière, en [m]
II.2. RÉSISTANCE AU ROULEMENT
• Af et Ar sont les points d’application des résultantes du sol sur les roues avant et arrière
• λf et λrsont les paramètres de résistance au roulement de chaque roue, en [m]
• ωf et ωr sont les vitesses de rotation des roues avant et arrière, en [rad/s]
• wb est la distance entre les axes des roues avant et arrière, donc la distance OrOf,
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selon x, en [m]
• G est le centre de gravité du système fauteuil + masses additionnelles
• df et dr sont les distances selon l’axe ~x des centres des roues avant et arrière au centre de gravité G, en [m].
• h est la hauteur du centre de gravité G par rapport au sol.
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• Rfx et RfN, Rrx et RrN sont les composantes selon les axes ~x et ~y de la résultante
des action du sol sur les roues, appliquées aux points Af et Ar, en [N].
• ~W = −mg~y est le poids du système, s’appliquant au point G, en [N]. Nous noterons également W = mg.
• g est l’accélération gravitationnelle, en [m/s2].
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II.2.2.2 Obtention des équations de mouvement exhaustives
Nota : dans cette section ne seront présentées que les étapes principales des calculs, afin que le lecteur puisse en suivre le raisonnement. Les calculs précis sont détaillés en annexe D.
Isolement du système complet (Châssis chargé + roues) 20
En appliquant la deuxième loi de Newton à ce système, nous pouvons établir une relation entre les efforts appliqués sur le fauteuil et l’accélération γG/R0 du centre de
gravité G du système complet S. En projetant cette relation sur l’axe ~x nous obtenons une relation entre l’accélération suivant l’axe ~x de G et les efforts du sol sur le système Rfx et Rrx
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m γGx = Rfx+ Rrx (II.2.1)
En projetant ce même équilibre sur l’axe vertical ~y, nous obtenons une deuxième équation liant la masse totale du système aux réactions normales du sol sur les roues.
m g = RfN + RrN (II.2.2)
En appliquant la loi de Newton généralisée à ce système, il est possible d’écrire une égalité entre le moment des efforts extérieurs au point G et le moment dynamique du fauteuil en son centre de gravité G (Le terme δF RM,G est développé en annexe F) :
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Où δf,Of et δr,Orsont les moment dynamiques des roues avant et arrière selon ~z aux point
Of et Or.
Isolement d’une roue
En isolant cette fois-ci la roue avant et en appliquant la loi de Newton généralisée en son centre Of, nous pouvons exprimer le moment des forces extérieures sur cette roue
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en fonction de son accélération angulaire ˙wf = −γG/rf et de son moment d’inertie If
(exprimée en son centre de gravité Of, selon l’axe ~z).
− If γG/rf = rf Rfx+ λf RfN (II.2.4)
Cette expression nous permet d’exprimer l’effort tangentiel du sol sur les roues avant Rfx en fonction des autres grandeurs :
Rfx = − λf rf RfN − If r2 f γG (II.2.5)
De la même façon, nous obtenons l’effort tangentiel sur les roues arrière :
10 Rrx = − λr rr RrN − Ir r2 r γG (II.2.6)
Accélération en fonction des efforts normaux
En remplaçant les efforts tangentiels dans l’équation II.2.1 par leur expression (équa- tions (II.2.6) et (II.2.5)), nous pouvons exprimer l’accélération en fonction uniquement des efforts normaux.
− λf rf RfN − λr rr RrN = m + If r2 f + Ir r2 r ! γG (II.2.7)
En utilisant (II.2.2) dans l’expression précédente, nous pouvons garder uniquement
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la composante normale des efforts sur la roue avant pour exprimer l’accélération (Rappel de notation : W = mg). RfN = rfrr λrrf − λfrr " λr rr W + m + If r2 f + Ir r2 r ! γG # (II.2.8) Par ailleurs, en combinant (II.2.1) et (II.2.2) dans (II.2.3) nous pouvons établir l’équa- tion suivante : m + If rf h + Ir rr h hγG = −(wb+ λf − λr)RfN + (−dr+ λr)W (II.2.9)
II.2. RÉSISTANCE AU ROULEMENT
Expression de la décélération en fonction des réglages du fauteuil
En combinant les équations (II.2.8) and (II.2.9), RfN est éliminé de l’équation, ce qui
nous permet d’exprimer la décélération γGen fonction des paramètres géométriques du
fauteuil et de matériau des roues. γG= −mg λf rf dr wb +λr rr df wb +λfλr rfrr rf − rr wb m + If r2 f + Ir r2 r ! 1 + λf − λr wb + m + If rfh + Ir rrh λr rr −λf rf h wb (II.2.10) Remarques : 5
Dans cette équation, la vitesse n’apparaît pas explicitement, la décélération γG ne
semble donc dépendre que des réglages du fauteuil. Cependant cette vitesse pourrait avoir une influence sur les paramètres de résistance au roulement λf et λr, comme les
études de Chua [20] et Frank [52] semblent le montrer.
De plus si l’on voulait ajouter les résistances aérodynamiques et des paliers à cette
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équation, les forces résultantes aérodynamique ( Faero) et des paliers (Fpaliers) apparaî-
traient dans le terme de droite de l’expression (II.2.1). Il serait alors possible de rem- placer le terme γG par l’expression γG−
Faero+ Fpaliers
m pour intégrer ces résistances à la formulation (II.2.10).
II.2.2.3 Simplification des équations de mouvement 15
Comme il est difficile d’estimer les paramètres de résistance au roulement à la vue des équations précédentes, qui présentent trop d’éléments à estimer, il est donc judicieux de simplifier ces équations pour permettre la caractérisation des paramètres λf et λr.
Afin d’estimer quels termes pourraient être éliminés sans altérer fortement les ré- sultats, la formulation suivante est proposée, négligeant les termes inertiels devant la
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masse du fauteuil et la différence de paramètres de résistance au roulement devant les rayons de roue ou l’empattement :
γG= −g λf rf dr wb + λr rr df wb (II.2.11) Ensuite, 100 000 étapes de calcul de décélérations ont été exécutées, en modifiant aléatoirement les valeurs géométriques et physiques à chaque étape, mais en imposant leurs variations dans la limite des valeurs rencontrées dans la littérature ou détermi-
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nées expérimentalement :
• Paramètres de résistance au roulement : entre 1 et 3 mm [115, 111, 14] • Rayons des roues avant : de 30 à 100 mm
• Hauteur h du centre de gravité du fauteuil chargé : de 500 à 700 mm • Masse totale du système : de 75 à 100kg [27]
• Moment d’inertie des roues avant If : de 0,005 à 0,02 kg.m2
• Moment d’inertie des roues arrière Ir: de 0,1 à 0,2 kg.m2 [27, 111]
• Distribution de masse avant / arrière (pour les valeurs dr et df) : de 30 à 60 % de la
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charge sur les roues avant [111].
Les valeurs de décélération obtenues ont ensuite été comparées à celles obtenues avec la formule exhaustive (II.2.10)
Les résultats montrent que la formule simplifiée (II.2.11) a entraîné une différence moyenne de 3,3% avec la formule complète.
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Les simplifications effectuées permettent donc d’estimer la décélération d’un fauteuil roulant en ligne droite avec une erreur acceptable, puisqu’en moyenne inférieure à 3,5 %. Nous pouvons, au vu de ces résultats, conserver la formulation simplifiée du test de décélération.
Par ailleurs, en notant que les termes dr wb
et df wb
sont égaux aux portions de poids
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Pf et Pr appliquées respectivement sur les roues avant et arrière, nous retrouvons la
formulation de Lavaste [84] : γG = −g λf rf Pf + λr rr Pr (II.2.12) Ensuite, en multipliant les termes de cette équation par la masse totale du système, nous obtenons la force de résistance au roulement globale en fonction des charges avant et arrière Wf et Wr, en accord avec les formulations déjà exprimées dans la littérature
20 [24, 116] : Froll = − λf rf Wf + λr rr Wr (II.2.13) Dans ces formules, les paramètres de résistance au roulement des roues sont systé- matiquement divisés par leur rayon. On introduit donc le terme de facteur de résistance au roulement, égal au ratio entre le paramètre de résistance au roulement et le rayon de la roue. Ainsi les roues arrière, de diamètre 5 à 10 fois plus élevé que les roulettes avant,
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auront un facteur de résistance au roulement plus faible à paramètre λ équivalent.