Modélisation du transfert thermique radiatif

Les premières observations expérimentales du chapitre 2 ont mis en lumière une action probable du développement du jet sur l’ODS. Afin de s’assurer que la simulation reproduit un jet se développant de manière conforme au tir LP10-25, les signatures IR des jets cal-culés sont comparées avec celle du jet expérimental. Pour cela, un couplage one-way avec le solveur de transfert radiatif Astre de la plate-forme Cedre est mis en place. En effet, ce solveur permet de calculer le champ surfacique de flux radiatif (W.m−2) sur les frontières du domaine ainsi que le champ volumique de puissance radiative (terme source en W.m−3

qui apparaît dans l’équation de bilan d’énergie) sur l’ensemble du volume du domaine de calcul. Le calcul des flux incidents sur une surface placé dans le plan du capteur de la ca-méra et pour l’intervalle spectral du filtre considéré équivaut à construire une image IR

numériquement.

Le code Astre [Tessé 2011, Tessé 2004, Tessé 2006] est fondé sur une approche statis-tique du transfert radiatif dans les écoulements à l’aide d’une méthode de Monte-Carlo. Cette approche consiste à simuler un grand nombre de trajectoires de paquets d’énergie (depuis l’émission jusqu’à l’absorption totale). Ces paquets sont des quantités macrosco-piques d’énergie, que l’on peut voir comme des groupes de photons identiques. Le caractère aléatoire de la méthode de Monte-Carlo réside dans la définition des propriétés d’un paquet lors de son émission (direction et point d’émission, longueur d’onde) ainsi que dans les évé-nements physiques le long de sa trajectoire (diffusion, rebond sur les parois2, à l’exception de l’absorption). Ces propriétés sont tirées au sort en suivant des distributions de probabi-lité. Le phénomène d’absorption est quant à lui traité de façon déterministe, en calculant la décroissance exponentielle de l’énergie transportée le long du trajet. Cette méthode, ap-pelée pathlength method [Farmer 1998] ou energy partitioning [Modest 2003] est utilisée pour réduire la variance des simulations Monte-Carlo. Cette approche implique qu’un pa-quet dépose de l’énergie dans chaque cellule qu’il traverse. Le papa-quet est suivi jusqu’à ce qu’il quitte le domaine de calcul ou tant que son énergie est supérieure à un seuil. Puisque chacun de ces paquets est indépendant, la parallélisation du solveur est obtenue par une distribution des paquets sur les cœurs de calcul disponibles.

Pour modéliser le transfert d’énergie entre les cellules, Astre propose, outre la classique

Forward Method (FM), des méthodes réciproques basées sur les formulations d’échange de

transfert radiatif : ERM, ARM et ORM [Tessé 2002, Dupoirieux 2006]. La méthode

Emis-sion Reciprocity Method (ERM) [Tessé 2002] est celle retenue dans cette étude. Un schéma

du principe de la méthode ERM est présenté sur la figure 3.4. Un maillage cartésien est représenté en pointillés. Les flux radiatifs du jet rond représenté en coupe sont calculés sur la paroi grisée à droite du maillage. Pour calculer les flux avec la méthode ERM, des trajectoires sont tout d’abord construites depuis des points choisis aléatoirement sur la paroi et dans toutes les directions (aussi de manière aléatoire). Le sens de construction d’une trajectoire, en partant par exemple du point de la figure 3.4, définit le sens direct, le sens opposé étant appelé réciproque. La trajectoire est construite de manière stochastique (tirage aléatoire des changements de direction dus à la diffusion par les particule). Dans l’exemple de la figure 3.4, la trajectoire passe par le point 2. Lors du calcul de la trajectoire

directe, la transmitivité et l’énergie absorbée sont calculées dans chaque cellule traversée.

Du point de vue géométrique, si un paquet d’énergie peut aller du point 1 au point 2, alors un autre paquet peut aller du point 2 vers le point 1. Du point de vue énergétique, la

puis-2. Le rebond sur les parois peut être spéculaire, i.e. l’angle du rebond est symétrique par rapport à l’angle d’incidence, ou diffus, quand la direction du rebond est tirée aléatoirement, pour modéliser les surfaces impar-faitement lisses.

sance transférée de 2 vers 1 Pν,2→1, qui emprunte la trajectoire réciproque, est fonction de la puissance transportée de 1 vers 2 et du rapport des luminances du rayonnement d’équilibre en 2 L0 ν(T₂) et en 1 L0 ν(T₁) : Pν,2→1 = ^L 0 ν(T2) L0 ν(T₁)^Pν,1→2 (3.81) Finalement, la luminance incidente à la surface est obtenue en sommant les contributions de toutes les cellules le long de chaque trajectoire. Par rapport aux méthodes forward,

l’ap-P aroi Air Jet 2 1 Réciproque Direct

Figure 3.4 – Schéma de principe de la méthode ERM. Le sens

direct est utilisé pour le calcul des trajectoires géométriques, et

le sens réciproque pour le transfert d’énergie vers la paroi sur laquelle sont calculés les flux radiatifs

proche ERM permet de minimiser le coût de calcul, car seuls les paquets d’énergie contri-buant au flux radiatif sur la paroi sont suivis. Ce n’est pas le cas avec les méthodes de Monte-Carlo classiques FM, pour lesquelles il est nécessaire de faire émettre des paquets d’énergie depuis l’ensemble des éléments du domaine de calcul, jusqu’à ce qu’un nombre suffisant pour que le résultat soit convergé ait atteint la paroi sur laquelle sont calculés les flux.

3.3.2.1 Échange entre solveurs

Le solveur Charme transmet au solveur de transfert radiatif les valeurs de tempéra-ture, pression et composition chimique sur l’ensemble du domaine de calcul du solveur Astre toutes les0,5 ms de temps simulé. La fraction volumique d’alumine est déduite de la fraction massique d’alumine et du rapport entre la masse volumique du mélange et la masse volumique de l’alumine.

3.3.2.2 Modélisation des propriétés radiatives

Dans la gamme spectrale du filtre IR (cf. figure 2.5), seules les particules d’alumine et les espèces gazeuses CO₂ et H₂O participent au transfert radiatif. De plus, les effets d’ab-sorption par H2O contenu dans l’air ambiant entre le jet et la caméra sont négligés.

Un modèle Correlated-K (CK) est utilisé pour calculer les coefficients d’absorption du mé-lange gazeux CO₂+ H₂O. Les paramètres du modèle CK ont été déterminés par Soufiani et Taine [Soufiani 1997] pour le rayonnement infrarouge (dans la gamme spectrale [1:67] µm) des espèces gazeuses H₂O et CO₂ dans la plage de température [300:2500] K. Bien que ces paramètres aient été générés pour la pression atmosphérique, ils ont été utilisé dans cette étude alors que la pression dans le jet est comprise entre 0,2 et 2,7 bar. En effet, au moment de cette étude, le code Astre ne permet pas de meilleur modèle pour cette application. Un modèle statistique à bandes étroites (MSBE), plus adapté aux variations de pression, sera prochainement implanté.

Les gouttelettes d’alumine sont considérées sphériques et homogènes en masse et tempé-rature. Les coefficients d’absorption et de diffusion ainsi que la fonction de phase sont alors obtenus par application de la théorie de Mie [Bohren 1983]. L’indice complexe de réfraction de l’alumine m est modélisé en fonction de la longueur d’onde λir et de la température T :

m = n(T,λ_ir) + ik(T,λ_ir) (3.82)

où l’indice de réfraction n et l’indice d’absorption k sont obtenus à partir des formules de Dombrovskii [Dombrovskii 1982] : n(T,λ_ir)=h 1 + λ²_ir( ^1,024 λ2 ir− 0,003776⁺ 1,058 λ2 ir− 0,01225⁺ 5,281 λ2 ir− 321,4⁾ i0,5 h 1 + 2,02. 10⁻⁵(T − 473)ⁱ, (3.83) k(T,λir)=0,002(0,06λ²_ir+ 0,7λir+ 1) exp[1,847. 10⁻³(T − 2950)], ^(3.84) avec λir en µm.

Le fait de traiter l’alumine comme un gaz équivalent implique nécessairement que le gaz d’alumine, et donc les particules d’alumine pour Astre, est à l’équilibre thermique avec le gaz. Le nombre de Biot compare la conductivité thermique du gaz Λ_f à la conductivité thermique de la particule λ_p :

Bi = ^{N upΛf}

2λ_p (3.85)

où Nu_pest le Nusselt particulaire, qui tend asymptotiquement vers 2 lorsque le nombre de Reynolds particulaire Rep = Dpu_r/ν_f est faible, avec Dp le diamètre de la particule, ur la différence de vitesse entre la particule et le fluide et ν_f la viscosité cinématique du fluide. Pour l’application considérée, Bi ≈ 0,03, et la particule peut être considérée comme ayant une température homogène. Un bilan des échanges entre la particule et le fluide permet d’évaluer la réponse de cette dernière à un changement brutal de température du fluide. Le temps de retour à l’équilibre (90% de l’écart de température comblés) dépend du diamètre

de la particule :

t = 6,97. 10⁶D²_p (3.86)

La distribution des particules en taille est approchée par une fonction gaussienne avec une écart type de 10% autour d’un diamètre moyen fixé arbitrairement. L’équation (3.86) donne pour une particule d’un micron, un temps caractéristique de 7 µs, et 0,7 ms pour une particule de 10 microns. Aux vitesses caractéristiques envisagées (environ 2400 m.s−1dans le plan de sortie tuyère), cela représente des distances parcourues considérables. Cette étude montre que les particules ne sont donc pas à l’équilibre thermique. Cependant, un calcul diphasique serait bien trop coûteux et complexe à mettre en œuvre, aussi l’hypothèse de gaz équivalent est maintenue. Il faudra cependant rester circonspect à l’analyse des calculs de transfert radiatif.

3.3.3 Évaluation du code