2.3 Description d’une méthode de segmentation de texture par modèle d’arbre
2.3.1 Modélisation des données
2.3.1.1 Modélisation de la distribution des coefficients issus de la transformée en ondelettes
L’étude des coefficients issus de la DWT d’une image est un outil privilégié pour l’étude des textures. Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, à chaque niveau de décimation, la valeur des coefficients dépend de la régularité du signal. Une singularité va se traduire par un fort coefficient18en ondelettes qui peut se propager à tra-vers les échelles [Mallat et Zhong, 1992, Mallat et Liang Hwang, 1992], ce qui permet de le distinguer de celui généré par un bruit : c’est la propriété de « persistance ». À l’inverse, une zone homogène donnera lieu à une série de petits coefficients. La transformée en on-delettes possède également la propriété de « clustering » selon laquelle si un coefficient d’ondelettes est grand (respectivement petit), les coefficients adjacents sont probablement grands19 (petits) [Ramchandran et Orchard, 1998] et la propriété dite de « compression » qui tend à rendre parcimonieuse la transformée en ondelettes des signaux réels : il y a un petit nombre de grands coefficients portant la majeure partie de l’énergie du signal et un grand nombre de petits coefficients.
La distribution des coefficients à une échelle et dans une sous-bande donnée ne peut être approximée par une gaussienne. La distribution est leptokurtique : elle présente un
18ou par un groupe de coefficients de forte amplitude, selon le type et l’ordre d’ondelettes utilisés.
pic prononcé en 0 avec des queues lourdes [Boubchir, 2007]. Crouse a choisi de modéliser la distribution des coefficients par un mélange de gaussiennes [Crouse et al., 1998] : une gaussienne à forte variance (et moyenne nulle) pour les forts coefficients et une gaussienne à faible variance pour les petits coefficients (cf. figure 2.8).
FIG. 2.8 – Le modèle de mélange de gaussiennes à moyenne nulle à 2 états. (a) Distribution des grands coefficients (b) Distribution des petits coefficients (c) Le mo-dèle de distribution des coefficients en ondelettes dans une sous-bande à une résolution donnée.
Cette modélisation simple permet de bien approximer la distribution des coefficients en ondelettes dans la plupart des images réelles et, en particulier, dans les images que nous souhaitons traiter. D’autres modélisations, plus complexes, existent dans la littérature [Liu et Moulin, 2001, Portilla et al., 2003, Boubchir, 2007], par exemple, mais nous ne les aborderons pas ici.
La modélisation de Crouse est la suivante : à chaque coefficient d’ondelette20Wi, est associé un état discret caché Si qui prend ses valeurs dans m = P, G (signifiant Petite et Grande variance) avec des fonctions de masse (Probability Mass Function, pmf ) pSi(m). Si Si = m, alors Wi est gaussien avec une moyenne µi,m et une variance σ2
i,m. Ainsi, la pdf de Wiest donnée par
f (wi) = X m=P,G
pSi(m)f (wi|Si = m), (2.52)
où f(wi|Si = m)∼ N (wi, µi,m, σ2
i,m) et pSi(G) + pSi(P ) = 1.
2.3.1.2 Modélisation de la distribution jointe des coefficients issus de la transformée en ondelettes
Les propriétés de persistance et de clustering de la transformée en ondelettes conduisent à des dépendances locales entre les coefficients en ondelettes. Deux coefficients voisins (en temps ou en échelle) peuvent être modélisés par des mélanges de gaussiennes avec des va-riables d’état interdépendantes. Crouse a proposé d’utiliser un graphe probabiliste21 pour modéliser cette dépendance. Pour simplifier le modèle, il a choisi de ne prendre en compte
20Avertissement : dans cette partie, nous utiliserons la notation Wi pour désigner un coefficient issu de la transformée en ondelettes. Il ne faut cependant pas confondre avec la notation employée dans la partie précédente pour désigner les sous-espaces complémentaires Wj.
21Dans un graphe probabiliste, chaque variable aléatoire est associée à un nœud d’un graphe et les dépen-dances entre les paires de variables sont représentées par des liens connectant ces noœuds.
que les dépendances père-fils, considérant que une partie de l’influence entre les coeffi-cients d’une même échelle était « incluse » dans les dépendances père-fils22. Ces dernières sont modélisées par un arbre de Markov caché (Hidden Markov Tree, HMT) à une dépen-dance23qui connecte les variables d’états cachés à travers les échelles (cf. figure 2.9). Les dépendances entre variables d’état sont modélisées via des probabilités de transition entre l’état d’un père et l’état de ses fils. La matrice des probabilités de changement d’état est de la forme : εp=Pf =P εp=Pf =G εp=Gf =P εp=Gf =G = εp=Pf =P 1− εp=Pf =P 1− εp=Gf =G εp=Gf =G , (2.53) où εp=a
f =b représente la probabilité que le père soit à l’état a quand le fils est à l’état b. On espère que grâce à la propriété de « persistance », εp=P
f =P et εp=G
f =Gsoient grands.
FIG. 2.9 – Modélisation de la transformée en ondelettes : a) Les dépendances père-fils des sous-bandes de la DWT. Chaque flèche part d’un coefficient d’ondelettes père et pointe vers ses 4 coefficients fils à la résolution supérieure. (b) La structure en quadtree du mo-dèle, détaillée pour une sous-bande. (c) Le modèle HMT, détaillé pour une sous-bande. Chaque coefficient en ondelettes (nœud noir) est modélisé par un mélange de gaussiennes, contrôlé par un état caché (nœud blanc).
Tel quel, le modèle HMT possède 4n paramètres pour une image de n pixels. Ceci peut rendre le modèle difficile à apprendre automatiquement si le nombre des images d’appren-tissage est faible. Heureusement, les coefficients d’ondelettes à une même échelle tendent à avoir les mêmes propriétés statistiques. C’est pourquoi un seul jeu de paramètres sera uti-lisé à chaque échelle. Au final, le modèle HMT comporte, pour chaque échelle de chaque sous-bande de la transformée en ondelettes, un vecteur de paramètre M composé de la moyenne de la variance et de la fonction de masse des gaussiennes modélisant la distribu-tion des coefficients en ondelettes et de la matrice de probabilités de transidistribu-tions de l’état d’un père à l’état d’un fils : M := {µm, σ2
m, pS(m), εmn} avec m, n ∈ {P, G}.
22En pratique, on s’aperçoit que, à cause du pouvoir décorrélateur de la transformée en ondelettes, l’in-fluence entre les coefficients d’une même échelle décroît très rapidement et que seuls les coefficients proches (fils d’un même père ou dont les pères sont eux même fils d’un même grand-père) sont affectés.