La transformée en ondelettes pour les images

cos^ω 2 p˜q−1 X k=0 C_k^q−1+kcos^ω 2 2k . (2.37)

2.1.3.5 La transformée en ondelettes pour les images

Afin d’être utilisée sur des images, de manière plus rapide et moins coûteuse en mé-moire, la transformée en ondelettes peut utiliser des bases d’ondelettes séparables et mettre en œuvre l’algorithme rapide vu précédemment pour les signaux à une dimension. Nous allons en présenter brièvement le principe. Nous aborderons ensuite les traitements aux bords qui sont susceptibles d’être appliqués pour limiter les artefacts dus à la transformée en ondelettes aux bords des images.

- Bases d’ondelettes séparables et transformée en ondelettes d’une image : Le pro-duit tensoriel est utilisé pour étendre les espaces de signaux monodimensionnels à des espaces de signaux multidimensionnels (comme pour les images, où les signaux sont de dimension 2). Ils fournissent une méthode simple pour construire des bases de fonctions séparables pour ces espaces. D’autres constructions sont possibles à partir de bases de fonctions non séparables [Antoine et al., 2004].

+ Multirésolutions séparables : Comme en dimension 1, la notion de multirésolu-tion est formalisée avec des projecmultirésolu-tions orthogonales sur des sous-espaces emboîtés. L’ap-proximation d’un signal I(x1, x2) à la résolution 2−j est définie comme la projection de I sur un espace V2

j inclus dans L2(R). Cette approximation remplit les propriétés décrites au paragraphe 2.1.3.1.

Dans le cas des multirésolutions séparables de dimension 2, V2

j est constitué des produits tensoriels de V_j définissant une multirésolution de L2(R) :

V²

j = Vj⊗ Vj. (2.38)

L’espace V2

j est l’ensemble des fonctions d’énergie finie I(x1, x2), combinaisons linéaires de fonctions séparables :

I(x1, x2) = ^X n1∈Z, n2∈Z

En se basant sur les propriétés du produit tensoriel16, on peut définir une fonction échelle φ2 telle que {φ2

j,(n1,n2)}(n1,n2)∈Z soit une base orthonormée de V2

j, à partir d’une fonction échelle φ telle que {φj,n}n∈Zsoit une base orthonormée de V2

j :  φ²_j,(n1,n2)(x₁, x₂) = φ_j,n1(x₁) φ_j,n2(x₂) = ¹ 2j φ x1− 2jn1 2j  φ x2− 2jn2 2j  (n1,n2)∈Z . (2.40) De même, une base orthonormée d’ondelettes séparables de L2(R²) est construite à partir de produits séparables d’une fonction d’échelle φ et d’une ondelette ψ sur l’espace de détails W2 j, complémentaire orthogonal de V2 j : V2 j−1 = V2 j ⊕ W2 j. Trois ondelettes sont définies :

ψ¹(x1, x2) = φ(x1)ψ(x2), ψ²(x1, x2) = ψ(x1)φ(x2), ψ³(x1, x2) = ψ(x1)ψ(x2), (2.41) et on pose pour 1 6 k 6 3 ψ_j,(n^k _1,n2)(x1, x2) = ¹ 2j ψ^k x1− 2jn1 2j ,^x2− 2jn2 2j  . (2.42) La famille d’ondelettes ⁿψ1 j,(n1,n2), ψ2 j,(n1,n2), ψ3 j,(n1,n2) o

(n1,n2)∈Z2 est une base de W2 j, et n ψ1 j,(n1,n2), ψ2 j,(n1,n2), ψ3 j,(n1,n2) o

(j,(n1,n2))∈Z3 est une base de L2(R2).

Les trois ondelettes extraient des détails de l’image suivant des échelles et des orientations différentes. Si l’ondelette ψ(t) est à support compact de largeur K, alors les trois onde-lettes ψk(x1, x2) ont un support carré de même largeur.

D’après (2.41), on peut écrire : ˆ

ψ1(ω₁, ω₂) = ˆφ(ω₁) ˆψ(ω₂), ˆψ2(ω₁, ω₂) = ˆψ(ω₁) ˆφ(ω₂), ˆψ3(ω₁, ω₂) = ˆψ(ω₁) ˆψ(ω₂). (2.43) | ˆψ1(ω1, ω2)| est grand aux basses fréquences horizontales (ω1) et hautes fréquences ver-ticales (ω2) ; | ˆψ2(ω₁, ω₂)| est grand aux hautes fréquences horizontales et aux basses fré-quences verticales, et | ˆψ3(ω1, ω2)| est grand aux hautes fréquences horizontales et verti-cales.

Ainsi, on a défini une transformée en ondelettes séparable qui pourra être appliquée sur une image en traitant d’abord les lignes puis les colonnes (ou inversement).

+ Transformée rapide en ondelettes en dimension 2

Décomposition : De la même manière qu’en dimension 1, une transformée en ondelettes rapide peut être implémentée en dimension 2. À chaque échelle 2j et pour tout n = (n1, n2), on note : a_j[n] =f, φ2 j,n  et dk j[n] =f, ψk j,n  pour 1 6 k 6 3. (2.44)

16Ces propriétés sont :

– Linéarité : ∀λ ∈ C, λ(f1⊗ f2) = (λf1)⊗ f2= f1⊗ (λf2).

– Distributivité : (f1+ g1)⊗ (f2+ g2) = (f1⊗ f2) + (f1⊗ g2) + (g1⊗ f2) + (g1⊗ g2). – Si H, H₁et H₂sont des espaces de Hilbert tels que H = H₁⊗ H2. Si {e1

n}n∈Net {e2

n}n∈Nsont deux bases de Riesz de H₁et H₂respectivement, alors {e1

n⊗ e2

m}(n,m)∈N2est une base de Riesz de H. Si les deux bases sont orthonormées, alors la base produit tensoriel l’est également.

Pour toute paire de filtres monodimensionnels y[n] et z[n], on écrit le filtre produit yz[n] = y[n1]z[n2] et y[n] = y[−n]. Soient h[n] et g[n] les filtres miroirs conjugués associés à l’on-delette ψ. Les coefficients à l’échelle 2j+1se calculent à partir de aj avec des convolutions bidimensionnelles séparables et des sous-échantillonnages (cf. figure 2.4) :

aj+1[n] = aj⋆ hh[2n] (2.45)

d¹_j+1[n] = aj⋆ hg[2n] (2.46)

d²_j+1[n] = aj⋆ gh[2n] (2.47)

d³_j+1[n] = aj⋆ gg[2n] (2.48)

Reconstruction dans le cas des ondelettes orthogonales : Si on note ˇy[n] = ˇ

y[n1, n2] l’image construite en insérant une ligne et une colonne de 0 entre chaque ligne et chaque colonne de y[n], l’approximation a_j peut être reconstruite à partir de l’approxi-mation aj+1à l’échelle plus grossière et à partir des espaces de détails dk

j+1(cf. figure 2.4) par la formule : aj[n] = ˇaj+1⋆ hh[n] + ˇd¹_j+1⋆ hg[n] + ˇd²_j+1⋆ gh[n] + ˇd³_j+1⋆ gg[n]. (2.49) lignes _colonnes a_{j h 2 h 2} a_j+1 g 2 d1 j+1 g _{2 h 2} d2 j+1 g 2 d3 j+1 lignes colonnes a_j h 2 h 2 ⊕ g 2 ⊕ g 2 h 2 ⊕ g 2

FIG. 2.4 – Schéma de décomposition de a_j avec 6 blocs de convolutions monodimen-sionnelles et de sous-échantillonnage le long des lignes et des colonnes, puis reconstruc-tion de aj à partir de l’approximation aj+1 et des espaces de détails dk

j+1 avec 6 blocs de sur-échantillonnage et de convolutions monodimensionnelles le long des colonnes et des lignes.

Reconstruction dans le cas des ondelettes biorthogonales : Comme en di-mension 1, la décomposition est identique à celle des ondelettes orthogonales. Pour la reconstruction, il suffit de remplacer les filtres h et g dans l’équation 2.49 par les filtres duaux ˜h et ˜g

aj[n] = ˇaj+1⋆ ˜hh[n] + ˇd¹_j+1⋆ ˜hg[n] + ˇd²_j+1⋆ ˜gh[n] + ˇd³_j+1⋆ ˜gg[n]. (2.50)

- Signaux finis : Les signaux considérés (quelle que soit la dimension) sont des signaux finis de N échantillons. Pour calculer les convolutions avec h et g en des abscisses proches de 0 ou de N − 1, il faudrait connaître le signal au delà des bords n = 0 et n = N − 1. Pour régler ce problème, trois méthodes peuvent être utilisées :

+ Rendre le signal périodique : C’est-à-dire dupliquer le signal de manière à ce que (f(−1) = f(N − 1), f(−2) = f(N − 2), . . . , f(−N + 1) = f(1), f(−N) = f(0)). Pour réaliser cette opération, les convolutions des équations 2.22 et 2.23 sont remplacées par des convolutions circulaires. Cela revient à décomposer le signal sur une base d’onde-lettes périodiques de L2[0, 1]. Cet algorithme présente l’inconvénient de créer de grands coefficients d’ondelettes aux bords (singularité entre l’abscisse N − 1 et l’abscisse 0).

+ Replier les bords du signal : Les valeurs du signal sont dupliquées en miroir (f(−1) = f(1), f(−2) = f(2), . . . , f(−N + 1) = f(N − 1)). Il est équivalent de décom-poser un signal replié sur une base d’ondelettes et de décomdécom-poser ce signal (non replié) sur une base d’ondelettes repliées :

Z 1 0 f (t)ψ_j,n^repl(t) dt = Z +∞ −∞ f^repl(t)ψ_j,n(t) dt. (2.51) Le signal est ainsi classiquement décomposé sur une base d’ondelettes repliées de L2[0, 1]. Cette méthode engendre des coefficients aux bords plus petits que la méthode précédente. Malheureusement, peu d’ondelettes à support compact possèdent une telle symétrie ; on doit se restreindre à la base de Haar, aux splines d’ordre élevé ou aux bases biorthogonales. + Utiliser des ondelettes de bord adaptées : Pour éviter de créer de grands coeffi-cients d’ondelettes près des bords, il faut construire des ondelettes de bord ayant le même nombre de moments nuls que l’ondelette ψ d’origine. En pratique, le nombre de calcul né-cessaire est identique à celui des deux autres méthodes, mais l’implémentation numérique est plus complexe [Mallat, 2000].