Des modèles microscopiques 3D visant à décrire de façon la plus réaliste possible la formation de la microstructure au cours du temps ont été développés. Parmi les plus célèbres, on peut citer les modèles de Maekawa et al. [Maekawa et al., 99] (DUCOM), de Van Breugel [Van Breugel, 97]
(HYDROSTRUC), le modèle de l’EPFL (µIC) [Bishnoi et Scrivener, 08] ou bien le modèle du NIST (CEMHYD3D) développé par Bentz [Bentz et al., 00] basé sur le modèle de Knudsen [Knudsen, 84]. Ces modèles semblent être capables de prédire correctement certaines propriétés physico-chimiques et mécaniques pour différentes formulations. Cependant, même en se limitant à la description de la pâte de ciment, les temps de calculs restent très longs. Récemment, Stefan [Stefan, 09] a généré des microstructures en se basant sur les modèle de Powers et Brownyard [Powers et Brownyard, 47] ou de Jennings et Tennis [Jennings et Tennis, 94] afin d’étudier le
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seuil de percolation d’une pâte de ciment mais le passage à l’échelle du mortier reste très gourmand en termes de ressources informatiques ou nécessite l’utilisation de modèles d’homogénéisation.
Dans notre étude, nous avons choisi de rester à l’échelle macroscopique et de décrire l’évolution des cinétiques d’hydratation comme une fonction du temps en ne considérant qu’un degré d’hydratation global. En effet, nous n’étudions qu’une seule formulation et notre objectif est de décrire le comportement structurel d’un béton ce qui n’est pas compatible avec ce type de modèle.
b. Modélisation macroscopique
i. Modèles isothermes et endogènes
Plusieurs auteurs [Gutteridge et Dalziel, 90], [Roelfstra et Salet, 94] cités dans [Buffo-Lacarrière, 07] se sont attachés à proposer des lois empiriques donnant une évolution du degré d’hydratation du ciment en fonction du temps. Ces lois, bien que simples et donc pratiques, ont le défaut de ne pas prendre en compte la thermo-activation des réactions d’hydratation car elles se placent en conditions isothermes et endogènes.
ii. Modèle endogène a) Modèles analytiques
Dès 1947, Powers et Brownyard [Powers et Brownyard, 47] ont développé un modèle capable de calculer les fractions volumiques des phases avec l’avancement de la microstructure en considérant trois phases principales : le ciment anhydre, l’eau et les hydrates. Ainsi, le volume total est divisé en cinq volumes (ciment anhydre, hydrates, eau des C-S-H, eau capillaire, retrait chimique) permettant de procéder au calcul des proportions des phases en fonction du degré d’hydratation.
Le modèle de Jennings et Tennis [Jennings et Tennis, 94] repart des équations de Bogue modifiées par Taylor [Taylor, 89], pour calculer les fractions volumétriques de chaque phase minéralogique trouvée dans le ciment anhydre (clinker). Le degré d’hydratation de chaque phase est alors calculé à l’aide de l’équation d’Avrami [Avrami, 39] :
) ) ( exp(
1 i i ci
i a tb
[I-17]
où ai, bi, ci sont des paramètres identifiés sur phase pure.
Le degré d’hydratation total étant ensuite calculé par une moyenne pondérée des degrés d’hydratation de chacune des phases.
Les principaux avantages des modèles analytiques sont la simplicité et la rapidité des calculs. Par contre, ils ne sont pas capables de décrire l’effet de la finesse du ciment ou les interactions entre les phases.
b) Modèle thermo-chimique et notion d’affinité chimique En utilisant l’âge équivalent (équation [I-15]) comme variable dans l’équation :
) 0 ( T L dT Bd
dA ii [I-18]
découlant des expressions de l’énergie libre et des équations d’état [Torrenti et al., 04], et en négligeant la dépendance de l’affinité chimique aux déformations volumiques, on trouve :
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dteq parfaits [8,314 J.mol-1.K-1], T est la température en Kelvin, et teq est le temps équivalent. Le facteur η(ξ) traduit le phénomène de micro-diffusion de l’eau à travers les couches d’hydrates formées pour accéder aux anhydres et l'influence de l'avancement de la réaction d'hydratation sur ce phénomène (Figure I-3).
Figure I-3 : Schéma d’hydratation d’un anhydre
Cette affinité est un paramètre intrinsèque permettant de décrire l’évolution du degré d’hydratation.
Elle décrit le processus de dissolution/précipitation et de micro-diffusion de l’eau qui réagit avec les grains de ciment anhydres.
L’évolution du degré d’hydratation peut donc être décrite par la relation suivante [Regourd et Gautier, 80] [Atkins, 94] [Ulm et Coussy, 98] :
est l’affinité chimique normalisée, Ea est l’énergie d’activation [J.mol-1], R est la constante des gaz parfaits [8,314 J.mol-1.K-1] et T est la température en Kelvin. Il est rappelé que cette équation a été obtenue empiriquement pour des systèmes chimiques homogènes ne comprenant qu’une seule réaction. Les matériaux cimentaires étant à la fois multiphasiques et multi-réactifs, il faut considérer ici une énergie d’activation globale de la réaction d’hydratation.
La description de l’évolution du degré d’hydratation est donc pilotée par l’énergie d’activation et l’affinité chimique qui nécessitent une détermination expérimentale.
c) Détermination de l’évolution de l’affinité chimique
L’évolution de l’affinité chimique en fonction du degré d’hydratation peut être déterminée par un essai de calorimétrie adiabatique ou semi adiabatique (avec corrections des pertes) mais également à partir de l’évolution des résistances en compression.
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Détermination de l’affinité chimique par calorimétrie
Q est la quantité de chaleur [J.m-3], Tad est la température adiabatique [K], C la capacité thermique volumique [J.m-3.K-1], et A~()est une affinité normalisée et Q∞ la chaleur totale dégagée en fin de réaction (Q∞=Q(t=∞)).
On peut donc en déduire directement l’expression de l’affinité chimique :
Détermination de l’affinité chimique en utilisant l’évolution des résistances en compression
Ulm et Coussy [Ulm et Coussy, 98] ont montré que l’on peut retrouver des résultats similaires en se basant sur l’évolution des résistances en compression à condition de définir cette fois-ci le degré d’hydratation par rapport à la résistance en compression (cf. Figure I-4)
0
Figure I-4 : Affinité normalisée déterminée à partir d'un essai calorimétrique adiabatique et de l'évolution isotherme de la résistance [Ulm, 99]
iii. Modèle thermo-hydro-chimique
Enfin, il est nécessaire de prendre en compte l’influence de l’humidité interne du béton surtout pour les structures minces soumises à la dessiccation (la réaction d’hydratation s’arrête dès lors que l’humidité relative descend en dessous d’environ 70%).
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Le modèle de Bažant et Wittmann [Bažant et Wittmann, 82] cité dans [Granger, 96] ajoute au modèle thermo-chimique précédemment cité la dépendance à l’humidité relative interne à l’aide d’une fonction unique.
Oh et Cha [Oh et Cha, 03] ont repris l’idée de l’énergie d’activation thermique pour l’appliquer aux phénomènes hydriques et ainsi introduire une énergie d’activation hydrique dépendant du rapport e/c de départ et de la quantité d’eau disponible à chaque instant.
iv. Extension des modèles aux liants composés
De nos jours, les additions telles que les laitiers, les fumées de silice ou les cendres volantes sont couramment utilisées. Ces produits sont également réactifs et d’autres modèles permettant de prendre en compte les nouvelles réactions ont été développés ([Waller, 99] [De Schutter, 99a]).
Néanmoins, ces deux modèles ne concernent que des modélisations en conditions endogènes puisque l’effet de l’hygrométrie n’est pas pris en compte.
Actuellement, le modèle le plus complet est vraisemblablement le modèle proposé par Buffo-Laccarrière [Buffo-laccarrière, 07]. En effet, elle propose un modèle multiphasique déterminant les degrés d'hydratation ainsi que les états hydriques et thermiques prenant en compte une loi de cinétique propre à chaque phase anhydre (clinker et additions minérales). Ces lois cinétiques considèrent les interactions entre les différentes phases ainsi que l'effet de la teneur en eau et de la température sur ces cinétiques de réaction.