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II. Comportement mécanique
A. Bibliographie
La connaissance de l’évolution des propriétés mécaniques d’un béton est importante d’un point de vue pratique (décoffrage, mise en précontrainte le plus tôt possible) mais également pour la prédiction des risques de fissuration. La résistance en traction et le module de Young évoluent avec des cinétiques différentes (en général plus rapide pour le module de Young), ce qui, en cas de déformations empêchées, peut conduire à des risques de fissuration précoce. La bonne connaissance des évolutions des caractéristiques mécaniques est donc importante vis-à-vis de la prédiction des critères de fissuration mais également vis-à-vis de la prédiction des contraintes qui seront générées dans le matériau.
1. Résistance en compression
La résistance en compression dépend directement de la composition du béton. Le rapport e/c [Abrams, 18], la nature des granulats [Feret, 1892], le volume de pâte, la porosité [Powers et Brownyard, 47], la nature du ciment [Popovics, 92] sont les facteurs prépondérants. Comme nous l’avons vu dans la partie bibliographique concernant le comportement thermo-chimique, la résistance en compression et le degré d’hydratation sont liés. D’après Byfors [Byfors, 80] et
où fc est la résistance en compression et ξ est le degré d’hydratation.
Le seuil de percolation mécanique considéré dans cette relation ne doit pas être confondu avec le seuil de percolation entre les phases solides [Acker, 88]. Le seuil de percolation entre phases solides correspond à un degré d’hydratation pour lequel un chemin de percolation pour lequel il y a contact entre les grains est formé. Au début de l’hydratation, les grains anhydres sont en suspension dans la phase aqueuse, puis au cours de l’hydratation, la formation croissante des hydrates autour des grains anhydres va conduire à l’obtention d’un chemin de percolation. Cependant, ce seuil de percolation entre phases solides ne signifie pas pour autant que le matériau a acquis une résistance mécanique.
En effet, [Bernard et al., 03a] ont montré par un calcul théorique d'homogénéisation utilisant le modèle autocohérent généralisé que pour un e/c plus petit que 0,318 les grains anhydres suffisent à former un chemin de percolation alors que le matériau n’a aucune résistance. [Stefan, 09] définit le seuil de percolation mécanique comme le degré d'hydratation pour lequel, du à l'apport des hydrates, et leurs propriétés cohésives, le matériau peut être défini par sa résistance en compression et en traction (apparaissant lorsque les particules solides sont connectées entre elles par les nouveaux produits d'hydratation formés).
Le seuil de percolation entre phases solides peut être détecté par des méthodes non destructives de type acoustique (ultra-sons) [Boumiz et al., 96] alors que le seuil de percolation mécanique est lui déterminé par des mesures de caractéristique mécanique (compression, traction, module d’Young).
Il apparait comme intuitif que ces seuils de percolation seront fortement influencés par le rapport e/c et la teneur en granulats. Néanmoins, Torrenti et Benboudjema [Torrenti et Benboudjema, 05] ont montré à partir de résultats expérimentaux de Byfors [Byfors, 80] que le seuil de percolation mécanique est influencé par le rapport e/c pour les pâtes de ciments mais dès que l’on passe à l’échelle du mortier ou du béton, ce paramètre perd de son influence (Figure I-28).
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Figure I-28 : Evolution de la résistance en compression au cours de l'hydratation pour des pâtes (a), des mortiers (b), et des bétons (c) à base de CEM I et de e/c différents [Torrenti et
Benboudjema, 05]
2. Résistance en traction
Concernant la résistance en traction, [Oluokun, 91] [Oluokun et al., 91] ont défini une relation en fonction de la résistance en compression :
n t fc k
ft ( ) [I-46]
où fc est la résistance en compression et ft est la résistance en traction. Selon [De Larrard, 00], n peut prendre comme valeur 0,57 (proche de la valeur de 2/3 proposée dans [EC2-1-1 annexe française]). Quant au coefficient kt, il varie selon la nature de granulats (de 0,35 pour des calcaires à 0,45 pour des silex ou basaltes)
3. Module de Young
Le module de Young peut également être estimé correctement à partir de la résistance en compression [Neville, 00].
Expérimentalement, le module de Young peut être déterminé à partir d’essai de compression. En effet, dans la partie élastique de la loi de comportement du béton, le module de Young représente le coefficient de proportionnalité entre la contrainte appliquée au béton à la déformation de celui-ci.
Une autre voie consiste à définir le module d’Young du béton à partir des proportions de pâte de ciment, du module d’Young des granulats (Eg) et du module d’Young de la pâte de ciment (Em) par la relation [Leroy, 96] :
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où fc est la résistance en compression, g est la faction volumique du squelette dans le béton et g* est la compacité du squelette.
De nombreux auteurs se sont intéressés à des méthodes non destructives de mesures du module d’Young et notamment par l’utilisation d’ultrasons.
Parmi ces travaux, citons notamment ceux de [Byfors, 80] qui propose un rapport entre le module dynamique (Edyn) et le module statique (Estat) égal à 1,2. Néanmoins, d’autres auteurs [l’Hermite et al., 65], [Stanton, 44] cités dans [Martinez, 92] ont montré que le rapport Edyn/Estat n’est pas constant et diminue au cours du temps.
Enfin, des travaux récent de Stefan [Stefan, 09] montrent qu’il est possible par homogénéisation de prédire correctement l’évolution du module de Young des matériaux cimentaires à partir des propriétés de chacune de phases (anhydres, hydrates, granulats).
4. Loi globale d’évolution des caractéristiques mécaniques
Des lois exponentielles qui relient les résistances mécaniques au temps équivalent existent mais une identification de paramètres matériaux est nécessaire ([Krauβ et Hariri, 06][Atrushi, 03]). Ces lois empiriques sont celles utilisées par l’Eurocode 2 [EC2-1-1 annexe française] concernant les bétons :
s = paramètre matériau dépendant du type de ciment
Les plus utilisées restent cependant les lois (également empiriques) proposées par De Schutter et Taerwe [De Schutter et Taerwe, 96] qui peuvent se résumer de la façon suivante :
aX réaction représentant le seuil de percolation mécanique (identique pour fc, ft et E), X∞ est la valeur pour un temps théorique infini de la propriété mécanique considérée (X = ft, fc, E). Dans l’écriture proposée par De Schutter, représente le degré d’avancement de la réaction (c’est pour cela qu’on retrouve au dénominateur un degré d’avancement final de 1). Cependant, les mêmes relations basées sur le degré d’hydratation peuvent être écrites [Bentz et al., 05][Benboudjema et Torrenti, 08] :
aX
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La littérature utilise souvent une loi linéaire pour modéliser l’évolution de la résistance en compression. Néanmoins certains auteurs proposent des valeurs différentes. Le Tableau I-12 propose une synthèse non exhaustive des ces valeurs.
Tableau I-12 : Valeurs des paramètres des lois proposées par De Schutter de la littérature
afc aft aE Remarques
IBMB TU Braunschweig
[Krauβ et Hariri, 06] 3/2 1 ½
[Laube, 90] et [Onken et Rostásy,95]
Cité dans [Laccarrière, 07] 3/2 2/3
[Gutsch et Rostásy, 94] 3/2 2/3
[Buffo-Laccarrière, 07] 1 2/3 2/3
[De Schutter et Taerwe, 96] 0,84 – 1,4 0,46 – 0,88 0,26 à 0,62 Fonction du type de ciment Des méthodes théoriques de prédiction de l’évolution des caractéristiques basées sur la prédiction numérique de l’évolution de la microstructure couplée à des méthodes d’homogénéisation (essentiellement de type Auto-cohérent ou Mori-Tanaka) ont vu le jour récemment [Bernard et al., 03a], [Torrenti et Benboudjema, 05], [Smilauer et Bittnar, 06], [Yang et Li, 06], [Stefan, 09].
La première étape de ce type de modèle est la prédiction de l’évolution de la microstructure de la pâte de ciment. Dans un deuxième temps, on remonte à l’échelle supérieure (échelle mésoscopique : mortier puis macroscopique : béton) par des techniques d’homogénéisation. Ce type de calcul est dit
« multi-échelles ». Ces techniques sont parfois très couteuses en ressources informatique et reste essentiellement limitées au comportement élastiques. Elles ne sont donc pas adaptées à notre objectif (le comportement macroscopique du béton ainsi que le comportement structurel d’ouvrages).
5. Coefficient de Poisson
Le coefficient de Poisson(υ) est assez peu variable. [Neville, 00] préconise une valeur de 0,2 pour la plupart des bétons. Néanmoins, [De Schutter, 02a] a proposé une évolution fonction du degré d’hydratation :
) 10 exp(
5 , 2 0 sin 18 , 0 )
(
[I-51]
Pour un degré d’hydratation nul, on retrouve une valeur du coefficient de poisson égale à 0,5, caractéristique des fluides incompressibles. Par homogénéisation, Stefan [Stefan, 09] a également proposé des lois d’évolutions du coefficient de Poisson en fonction du degré d’hydratation pour plusieurs e/c.
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B. Evolution de la résistance en compression, en traction et du module de