Il existe de nombreux modèles pour les matériaux magnétiques. Ils se distinguent pas leurs échelles caractéristiques, la prise en compte ou non de certains phénomènes (hysté-résis, courants de Foucault, couplage à la mécanique ...) et les méthodes de résolution.
4.2.1 Approche micromagnétique
Le micromagnétisme est une approche théorique permettant de décrire le processus d’aimantation à l’échelle du µm3. Cette échelle est suffisamment large pour qu’on puisse remplacer le caractère discret des moments magnétiques atomiques par des fonctions continues, et suffisamment fine pour rendre compte des zones de transition entre do-maines. La résolution numérique consiste à réaliser une minimisation d’une fonctionnelle énergétique contenant des termes non convexes (énergie d’anisotropie magnétocristalline)
Stratégies de modélisation de la littérature 41
Polycrystal :
RVE
Single crystal :
Grain scale
Phase :
Variant scale
FIGURE1.31: Illustration des différentes échelles dans l’approche multiéchelle
et des termes d’interface (énergie d’échange). La solution du problème n’est pas unique et conduit à des configurations en domaines caractéristiques de l’histoire magnétique et des pas de calcul employés. Le couplage avec la mécanique s’effectue grâce à l’introduction de l’énergie élastique et de la déformation libre de magnétostriction [Mballa-Mballa et al., 2014]. La résolution impose de trouver un champ de moment magnétique et de déplace-ment minimisant la fonctionnelle ainsi formée. Cette méthode est surtout employée afin de modéliser des structures fines en domaines. Elle n’est pas adaptée à la résolution d’un problème de VER polycristallin ou conduirait à des temps de calcul prohibitifs. Cette mé-thode est très voisine de la mémé-thode des champs de phase parfois employée pour le calcul de microstructure en AMF.
4.2.2 Approche macroscopique
Parmi les modèles macroscopiques disponibles, il convient de distinguer les modèles thermodynamiques anhystérétiques et/ou d’hystérésis, ou encore les modèles de pertes qui ne prédisent pas à proprement parler le comportement. Les modèles thermodynamiques utilisent habituellement une séparation formelle entre mécanismes réversibles non dissi-patifs (souvent associées à des fonctions de Langevin) et mécanismes dissidissi-patifs asso-ciés à des équations différentielles du premier ou deuxième ordre. Le plus connu de ces modèles est probablement celui de Jiles-Atherton-Sablik [Jiles et Atherton, 1984]. Il est utilisé par de nombreux auteurs, est implanté dans certains codes de calcul et a été étendu à des situations aussi diverses que le comportement dynamique ou le couplage magnéto-élastique [Sablik et Jiles, 1993] et à la plasticité. Une variante de cette catégorie de mo-dèle a été développé au LMT par Gourdin [Gourdin et al., 1998]. L’écriture du potentiel thermodynamique permet d’accéder à un modèle d’aimantation (et de magnétostriction) macroscopique élémentaire capable de décrire les microcycles en particulier. Le modèle
historique de Preisach [Preisach, 1935] rentre dans la catégorie des modèles d’hystérésis. Il fait intervenir des fonctions en série dont le sens physique des paramètres est parfois difficile à identifier. Le modèle simplifié multiéchelle [Daniel et al., 2015] issu des travaux menés au GeePs dans la continuité de ceux du LMT ou le modèle multidomaine [Lazreg et Hubert, 2011] rentrent dans la catégorie des modèles macroscopiques. Leur principale caractéristique est la notion de monocristal équivalent : un VER polycristallin peut être modélisé à moindre coût à partir de la description du comportement d’un monocristal dont l’équilibre en domaines est assuré par l’emploi d’une fonction de Boltzmann. Un couplage de ces codes au modèle de Hauser permet de rendre compte de l’hystérésis statique. Notons que le modèle de Gourdin utilise la thermodynamique des processus ir-réversibles, à l’image des modèles de Lagoudas ou Moumni pour les AMF [Lagoudas et al., 2006, Morin et al., 2011]. Le modèle de Preisach a également été employé pour ces matériaux.
4.2.3 Approche multiéchelle
Les principaux éléments de ce modèle seront repris dans la partie modélisation mul-tiéchelle du mémoire. Nous ne nous étendrons donc pas sur ce point dans ce paragraphe. Notons simplement que la modélisation multi-échelle développée depuis une quinzaine d’années au LMT [Buiron et al., 1999, Daniel et al., 2008] s’appuie sur trois échelles différentes et leurs relations de passage associées. Compte tenu de l’énergie magnéto-cristalline, il est possible de diviser le cristal en un nombre fini de familles de domaines magnétiques (domaines et familles de domaines se trouvent confondus). Ce nombre cor-respond au nombre de minima de l’énergie magnétocristalline. A chaque famille, on peut faire correspondre une fraction volumique qui est fonction de l’énergie potentielle de la famille considérée. Le raisonnement adopté est de considérer qu’à l’échelle du grain, l’équilibre anhystérétique correspond à un minimum énergétique déterminé en combinant une formulation explicite inspirée d’une fonction de Boltzmann pour calculer les frac-tions volumiques des familles de domaines et la minimisation de l’énergie totale pour calculer l’orientation de l’aimantation des domaines. Un changement d’échelle (locali-sation et homogénéi(locali-sation sous certaines hypothèses) permet de définir le comportement magnétique, élastique et magnéto-élastique à l’échelle du monocristal (ou du grain). Un deuxième changement d’échelle (localisation et homogénéisation sous certaines hypo-thèses) permet de définir le comportement d’un VER. La notion de facteurs d’anisotro-pie macroscopique (effet de surface, configuration) a été introduite afin de mieux rendre compte de la distribution initiale anisotrope des domaines. Les modèles développés par l’école de Metz [Patoor et al., 1996, Patoor et al., 2006] et de Besançon [Lexcellent et al., 2006] pour les AMF utilisent des techniques de changement d’échelle proches. La loi de comportement diffère cependant puisqu’elle reste issue de la thermodynamique des processus irréversibles.
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