Les modèles pour la simulation de la dynamique des tambours tournants

Dans cette section, nous allons analyser en détail les modèles généralement utilisés pour la simulation des tambours rotatifs, pour comprendre l’état actuel de la technique dans le domaine.

1.5.2.1 Le modèle de Saeman [81]

Ce paragraphe présente la démarche théorique qui permet d'aboutir à l'expression mathématique du débit volumique local de solide. Les principales étapes du calcul et les hypothèses associées sont reprises et complétées le cas échéant. Le lit de particules est supposé être en régime de Rolling

60 et le transport axial de la charge est donc assuré essentiellement par la couche active. Saeman suppose que cette couche est d'une épaisseur faible devant la hauteur locale du lit. Les particules situées dans la couche passive suivent des trajectoires circulaires de rayon r à la vitesse de rotation

n du tube On cherche à écrire un modèle qui puisse traiter le système de façon unidimensionnel. A chaque passage dans la couche active, une particule va parcourir en moyenne une distance (notée lc) selon l'axe du four. Saeman effectue un calcul géométrique complet qui permet d'évaluer cette distance en fonction des différents angles qui interviennent dans le raisonnement. Cette étape est complexe et difficile à suivre dans l'article original [81]. Spurling et al. [82] reprennent tous ces éléments et les détaillent en utilisant une analyse vectorielle. Donc si h(z) est la hauteur du lit en fonction de z, γ est l’angle au repos du lit, ψ est l’angle formé par l’axe du cylindre et la tangente au profil du lit A, lc est la longueur parcourue par une particule à chaque passage dans la couche active, c’est la longueur parcourue dans le plan X-Y et θ est l’angle d’inclinaison du four selon l’horizontale. Il est alors possible d’écrire (Saeman et al [81])

l_c c ⁼ tan(ψ_𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ) Équation 1.6

La vitesse moyenne de progression axiale d’une particule peut être considérée comme étant égale au produit de la distance lc parcourue à chaque cascade et du nombre de cascades par unité de temps. Plus simplement, si on néglige le temps passé par une particule dans la couche active devant le temps de séjour local dans la couche passive, il est possible de considérer que la particule a parcouru la distance lc pendant le temps tc où tc est donné par :

t_c=^α(r) ω Équation 1.7

Où α est l’angle parcouru dans la couche passive par une particule et ω est la vitesse de rotation en rad/s (voir figure 1.29)

61

Figure 1.29: Section du tambour avec la trajectoire d’une particule dans la couche active

La vitesse axiale d'une particule qui a parcouru une trajectoire de rayon r dans la couche passive s'exprime alors en utilisant les équation 1.6 et équation 1.7:

v = ^lc t_c^{= (} tan(ψ𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ)⁾ ω α(r)^c Équation 1.8

Débit volumique de la phase solide.

Si on suppose que la particule i a parcouru dans la couche passive une trajectoire sur la circonférence de rayon r, alors la trajectoire parcourue dans la couche active sera une corde de cette circonférence. Selon l’hypothèse formulée, on a alors

c = 2√(r2− r₀2), r ∈ [R − h, R] Équation 1.9

R

62 r0 représente la valeur minimale du rayon pouvant être parcouru par une particule. Si l'on suppose que l'épaisseur de la couche active est négligeable devant la hauteur de solide et que ce rayon est tangent à la surface du lit, il est donné par :

r0= R − h(z) Équation 1.10

Il est possible d’exprimer le débit volumique élémentaire de solide qui s’écoule à travers la section transversale de solide dS, le lit granulaire est alors assimilé à un milieu continu :

dq = vdS Équation 1.11

La surface élémentaire s’exprime par la relation :

dS = rα(r)dr Équation 1.12 Donc : dq = 2 (^tan(ψ𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ)^{) ω r√(r2− (R − h)2)dr} Équation 1.13

Si on intègre sur la section :

Q = 2 (tan(ψ_𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ)^{) ω ∫ r√(r2− (R − h)2)dr} R R−h = 2 (^tan(ψ) tan(γ)⁺ tan(θ) sin(γ)^{) ω[(r} 2− (R − h)2)1.5]_R−hR Équation 1.14 Enfin : Q =² 3⁽ tan(ψ_𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ)^{) ω[(r} 2− (R − h)2)1.5]_R−h^R =² 3⁽ tan(ψ_𝑙) tan(γ) ⁺ tan(β) sin(γ)^{) (2hR − h} 2)1.5 Équation 1.15

63

ψ étant l’angle formé entre la tangente au profil du lit et l’axe z, alors on a aussi

tan(ψ_𝑙) = ^dh dz Équation 1.16

En régime stationnaire, le débit volumique peut être considéré constant s’il n’y a pas de réaction, donc on obtient une équation différentielle en h :

dh dz⁼ 3Qtan(γ) 2ω ^{(2hR − h} 2)^−1.5−^tan(β)) cos(γ) Équation 1.17

Ce modèle très intéressant représente bien le comportement en Rolling de plusieurs matériaux dans un four rotatif ne comportant pas de chicanes. Il est très souvent utilisé et donne des bons résultats en général. Ce modèle a également été validé par Gao et al. [83] avec des particules sphériques, des particules cylindriques et des particules allongées quadrilobes. Un exemple des résultats obtenus est donné (figure 1.30).

Figure 1.30: Profil de chargement pour deux débits d'alimentation en cas de particules sphériques. x est la distance de la sortie [83]

Les prédictions du modèle (traits continus) sont en adéquation avec les valeurs expérimentales, excepté à la sortie du cylindre pour le faible débit d’alimentation. Il faut cependant noter que, là encore, les particules utilisées sont calibrées. La validité de ce modèle avec un solide granulaire irrégulier n’a pas été prouvée. Enfin, avec quelques modifications, on peut adapter ce modèle au

64 cas de deux espèces parfaitement mélangées et donc comparer les résultats de ce modèle avec ceux obtenus par DEM.

1.5.2.2 Discrete element method (DEM)

Cette méthode s’applique en principe à tous les régimes d’écoulement. Ce modèle numérique a été présenté par Cundall et Strack [84] en 1979, mais ce n’est que récemment qu’il est devenu populaire grâce à la possibilité d’utiliser des ordinateurs de plus en plus puissants. L’algorithme DEM permet la simulation Lagrangienne des grains au sein du système. Chaque grain est considéré comme un organe à part entière et, à chaque instant du temps, on évalue la résultante des forces sur chaque particule et on procède à la mise à jour de sa position dans l’espace. La méthode est intrinsèquement non stationnaire. Les particules sont autorisées à se chevaucher, pour calculer une déformation qui serait par ailleurs extrêmement lourde à calculer ; selon la superposition de volume, il est possible de calculer les forces en raison des contacts particule-particule.

Il est possible de décrire simplement le cycle des calculs effectués par cet algorithme à un instant de temps t’ :

 Recherche de contacts : l’algorithme recherche dans un volume fini V au centre duquel se trouve la particule i les contacts au sein de V

 Calcul des forces : selon le chevauchement entre deux particules génériques i et j, on calcule les forces de contact et la force résultante agissant sur la particule i

 Calcul du déplacement sur la base de la force résultante sur la particule i, une intégration numérique est faite pour évaluer la position de la particule i à l’instant t’+ Δt.

 Calcul de la position : en se basant sur la résultante des forces exercées sur la particule i, on effectue une intégration numérique pour calculer la position de la particule i à l’instant t’+Δt

Cet algorithme a connu une évolution rapide ces dernières années [85–90], et sa capacité a été prouvée à maintes reprises. Cette méthode est effectivement très puissante, mais elle est difficile à appliquer pour des particules non-sphériques et elle souffre de temps de calcul qui, pour les très gros systèmes, peuvent être prohibitifs.

65

1.5.2.3 La méthode Monte-Carlo

La méthode de Monte-Carlo permet de simuler le comportement individuel des particules. Des fonctions de probabilité sont utilisées pour décrire les différentes possibilités de mouvement : probabilité de passer dans la couche active, longueur parcourue dans la couche active, angle de descente lors du roulement. Le choix des probabilités considérées ainsi que les valeurs qui leur sont associées influencent donc fortement les résultats obtenus. Cette méthode peut permettre une description fine de l’évolution du lit mais est très coûteuse en temps de calcul et n’est par conséquent pas utilisée pour les modélisations à l’échelle pilote ou à l’échelle industrielle

1.5.2.4 Représentations empiriques

Les corrélations empiriques sont les plus fréquentes. Elles permettent généralement de relier le temps de passage 𝜏 aux paramètres opératoires et éventuellement au produit utilisé. Le temps de passage est le rapport entre la masse retenue dans le cylindre et le débit massique d’alimentation

𝑄̇.

𝜏 =^𝑚

𝑄 ^{[=] 𝑚𝑖𝑛} Équation 1.18

Les corrélations suivantes ont été tous établies dans de cas de régimes d’avalanches, où la majorité de ces réacteurs sont utilisés. La première corrélation a été établie par Sullivan et al. [91] pour les cylindres sans diaphragme de sortie.

𝛕 = 𝟏. 𝟕𝟕 𝐋√𝛄

𝟐𝐑𝛚𝛂 Équation 1.19

Dans cette corrélation, les caractéristiques du cylindre sont prises en compte via sa longueur et son rayon (𝐿 et 𝑅). L’angle de repos dynamique γ est caractéristique du solide et les paramètres opératoires sont la vitesse de rotation 𝜔 et α, inclinaison du cylindre.

66 De nombreux auteurs se sont ensuite attachés à proposer des relations prenant en compte d’autres paramètres. C’est notamment le cas de Chatterjee et al. [92] qui considèrent que le débit volumique de solide 𝑄̇𝑣 a une influence sur le temps de passage. La relation suivante est proposée :

τ = K^L 3 Q_v⁽ β α⁾ 1.054 (^Qv L3ω⁾ 0.981 Équation 1.20

où 𝐾 est une constante. Il faut cependant noter que, d’après cette expression, l’influence du débit d’alimentation en solide est faible en comparaison avec les autres paramètres de fonctionnement. Sai et al. [93] établissent également une expression du temps de passage. Les matériaux utilisés sont du sable, du charbon et de l’ilménite. La corrélation proposée présente l’avantage de prendre en compte la hauteur du diaphragme (ℎ𝑑) disposé en sortie du cylindre.

τ = 1315.2 ^hd

0.24

Q̇0.072ω0.88α1.02

Équation 1.21

Où Q∙ est le débit massique de solide (kg/h). Le temps de passage est ici considéré comme indépendant du matériau utilisé.

Plus récemment, Thibault et al. [94] étudient l’écoulement de farine de poisson, farine de soja, sable et sciure dans un séchoir rotatif. Les influences respectives du produit, du débit d’alimentation en solide et en gaz, de l’inclinaison et de la vitesse de rotation du cylindre sont étudiées. Les résultats expérimentaux ont tout d’abord été exploités sous forme de la corrélation suivante.

τ = ρ_s( ^0.151

Q̇0.81ω0.6) (1 − 11.97α)(1 − 5.4Ġ) Équation 1.22

67 Où 𝜌𝑠 est la masse volumique du solide et G∙ est le débit massique de gaz. Il faut cependant noter que malgré la présence de releveurs qui augmentent le contact entre le gaz et les particules, l’effet du débit de balayage sur le temps de passage reste faible en comparaison de celui des autres paramètres.