3. Simulation du réacteur de pyrolyse de SEA Marconi
3.2 Distribution des temps de séjour (DTS) des solides
3.2.4 Comparaison avec le modèle de Saeman
Le modèle de Saeman présenté dans la section 1.5.2.1 est facilement adaptable au cas de deux solides dans une situation de mélange parfait, Cela nous permet de voir quel type d’impact aurait l’utilisation d’un modèle conventionnel utilisé pour les fours tournants sur le cas SEA Marconi, où l’effet du mélange binaire a un effet extrêmement important. Dans la section suivante, on verra la première de toutes les modifications apportées au modèle présenté dans la section 1.5.2.1, pour comparer le modèle DEM et le modèle de Saeman.
3.2.4.1 Modèle à mélange parfait (MP)
Hypothèse
1) Le mélange entre les deux solides est parfait Qa
Qb
⁄ =Va
Vb
⁄ = C = constante, où Qa est le débit volumique d’acier, Qb est le débit volumique de bois, Va est le volume de particules d’acier dans le tambour et Vb est le volume de particules de bois dans le tambour
137 Si on fait cette hypothèse, ce que l’on a vu dans le paragraphe 1.5.2.1 vaut aussi pour deux types de particules qui ne ségrègent pas, Q sera alors le débit volumique de deux solides (Qa+ Qb) et donc on peut calculer le volume total en utilisant l’expression :
V = ∫ Sdz
L
0
Équation 3.4
Où S est la section transversale occupée par le solide et V est le volume occupé par le solide. Pour trouver enfin les deux temps de séjour, il est possible de résoudre ce système :
{ Va Vb ⁄ = C Va+ Vb = V = ∫ Sdz z=L 0 Système d’équation 3.5
S peut être obtenue par des simples relations géométriques :
𝑆 = R2arccos (1 −h
R) − (R − h)√h2− 2hR Équation 3.6
Les résultats de ce système donnent les volumes occupés dans le réacteur par les deux espèces bois et acier ; on peut alors calculer le temps de passage des solides.
τ = Va Qa= Vb Qb = Vtot Qa+ Qb Équation 3.7
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3.2.4.2 Modèle de sortie conique
La forme des parois du réacteur a été présentée plus haut (Figure 3.1). On voit sur cette figure une sortie de type conique. Cet effet est important pour une représentation correcte du profil de hauteur et du temps de séjour des différentes phases. Les équations mathématiques présentées dans ce paragraphe ont été établies par Spurling [149]. Les effets du cône sont une réduction de rayon du système plus un effet de montée, qui augmentent le temps de séjour. Pour tenir compte des effets engendrés par le cône, il faut modifier les équations écrites dans le paragraphe 1.5.2.1. Le réacteur a deux zones (figure 3.13) : une zone cylindrique, de longueur Lcylinder et rayon RM, et une conique de longueur Lcone et de rayon R(z).
Figure 3.13: Système à sortie conique
Deux types de traitement peuvent être choisis :
1) Un traitement à système de référence solidaire avec les parois du réacteur (traitement relatif) 2) Un traitement à système de référence fixe et parallèle à l’horizontale (traitement absolu) Le traitement du type 2 sera choisi. La hauteur sera donc définie sur la base du rayon maximal du système, soit
ha(z) = max(RM− Y(z)) = hr(z) − ∆R Équation 3.8
139 Où Y est l’ensemble de toutes les positions radiales du lit solide dans une section transversale, ∆R est la différence entre RM et R(z), hr est la hauteur relative (évaluée avec le traitement relatif) et ha
est la hauteur absolue (évaluée avec le traitement absolu). Comme auparavant, les équation 1.6 et suivantes sont valables, mais la distance transversale parcourue dans la couche active c sera
c = 2√(r2− r02), r ∈ [RM− ∆R, r0], r0= RM− ha(z) Équation 3.9
Vu que l’équation 1.11 est valable elle aussi, il est possible de passer directement à la définition du débit différentiel comme nous l’avons déjà fait pour les autres systèmes
dq = vdS = lc tcdS = 2ω ( tan(ψ) tan(β)+ tan(θ) sin(β)) r√(r2− r02)dr Équation 3.10
On calcule Q par intégration sur la section transversale :
Q =2ω 3 ( tan(ψ) tan(β)+ tan(θ) sin(β)) [(R M− ∆R)2− (ha− RM)2]3/2 Équation 3.11
Enfin en connaissant la définition de tan(ψ) (équation 1.16), il est possible de réarranger le système pour obtenir l’équation différentielle pour la hauteur
dha dz = 3Qbtan(β) 2ω [(R M− ∆R)2− (ha− RM)2]−3/2−dR dz Équation 3.12
Dans cette expression il y a deux parties relatives au cône : le premier terme, qui lie la hauteur au rayon actuel, et le deuxième terme qui tient compte de l’angle de pente du cône. L’angle θ est négatif, donc dR/dZ augmentera la hauteur et le temps de séjour des particules.
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3.2.4.3 Étude de maillage
Avant de réaliser une étude complète avec ce modèle de Saeman, une analyse du maillage a été conduite pour choisir la taille optimale des mailles. Il faut étudier la variabilité des résultats des systèmes étudiés dans les paragraphes 3.2.4.1 avec la taille des mailles qui composent la discrétisation axiale du réacteur. Dans cette analyse, la sortie conique ne sera pas considérée. Cette analyse est très importante pour déterminer la taille optimale en-dessous de laquelle il n’y a plus de variabilité des résultats avec la taille des éléments dnz. Dans ce travail, le maillage considéré sera uniforme, c’est-à-dire que la longueur de chaque élément est toujours la même. Cette solution n’est pas extrêmement efficiente, parce que la zone la plus délicate est la zone de sortie ou les dérivées sont importantes et donc un maillage variable permettrait de mailler finement dans la zone de sortie et de façon plus grossière à l’entrée du système, mais le maillage uniforme rend plus facile la transcription en code Matlab. Dans la figure 3.13 le temps de séjour est reporté en fonction de la taille des mailles avec les conditions du système reporté dans le tableau 3.3; on voit que le système atteint une valeur stationnaire vers une taille de maille dnz de 0.002 m.
Figure 3.14: Temps de séjour pour le modèle MP en fonction de la taille des éléments du maillage
Qb (débit de bois) [=] kg/h 50
Qa (débit d’acier) [=] sphères/s 4.5
L (longueur du réacteur) [=] m 2.775
ω (vitesse de rotation du réacteur) [=] rpm 5
β (angle au repos) [=] ° 20
R (rayon du réacteur) [=] m 0.1705
A (rapport Qa sur Qb) 3.133
Tableau 3.3: Paramètres de la convergence du maillage 6 9 12 15 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 τ [= ] m in dnz [=] m
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3.2.4.4 Comparaison DEM vs. modèle de Saeman modifié
À ce stade, il est possible de comparer les résultats du modèle de Saeman avec les résultats obtenus avec le modèle DEM. Les seuls facteurs inconnus sont les angles de repos, qui dans ce cas ont été extrapolés à partir du modèle DEM via un script Matlab (figure 3.15). Ce script Matlab divise le réacteur en tranches d’épaisseur 0.1 m. Pour trouver la valeur de β à la position axiale zi, le script calcule la moyenne sur un tour de la pente de la courbe de régression obtenuse par les centres des particules de la couche active.
Figure 3.15: Angle au repos en fonction de la position axiale (a) et un schéma simplifié pour le calcul du coefficient angulaire à la position axiale zi (b)
Il est alors possible d’utiliser les angles au repos obtenus dans la simulation DEM pour le modèle 1D. Tout d’abord, les profils de hauteur du lit ont été comparés (figure 3.16).
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Figure 3.16: Hauteur relative en fonction de la position axiale pour le DEM et pour le modèle unidimensionnel MP (mélange parfait)
Les hauteurs sont bien calculées par le modèle unidimensionnel mais ce sont surtout les résultats concernant les temps de séjour qui sont intéressants (figure 3.16).
Figure 3.17: Temps de séjour moyens pour les modèles unidimensionnels et pour le DEM
Ce graphique corrobore les indications qualitatives du § 3.2.3 sur le mélange et la ségrégation. Dans le cas du mélange parfait, les valeurs de τ pour le bois et l’acier sont égales par hypothèse, mais ces valeurs se situent entre celles obtenues avec le modèle DEM, où l’un des solides est amené vers les parois du réacteur par la ségrégation et l’autre vers le centre. L’élément amené vers les parois du réacteur reste en moyenne plus de temps dans la couche active, et fait donc en moyenne un parcours axial plus long par tour, Alors que l’élément qui reste dans le cœur du lit solide, couvre
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 0,5 1 1,5 2 2,5 h [ =] m z [=] m h MP hDEM 0 2 4 6 8 10 12 14 MP DEM τ [=] min Acier Bois
143 en moyenne une distance axiale plus courte car il reste moins dans la couche active, ce qui entraîne des temps de séjour plus élevés.