Modèles d’homogénéisation

Les matériaux cimentaires sont des matériaux hétérogènes multiéchelle. La prédiction des propriétés élastiques par des moyens empiriques pour un tel matériau, qui a en plus un caractère fortement évolutif au très jeune âge, n’est pas adéquate. Avec le développement d'outils numériques qui arrivent à prédire les fractions volumiques de chaque phase il devient possible d’appliquer les méthodes d'homogénéisation au niveau du VER. Ces méthodes permettent de prédire les caractéristiques élastiques d’un matériau composite, à partir des caractéristiques connues des phases constituantes. La description de la méthodologie est tirée de [BOR01] et [SML06].

Les modèles d’homogénéisation relient les grandeurs microscopiques locales (contraintes et déformations) aux grandeurs respectives macroscopiques. Le premier pas est de décrire la géométrie de l’ensemble, ainsi que d'identifier les phases qui se trouvent dans le VER défini. Sur la géométrie choisie, des conditions limites sont imposées (en termes de contraintes et de déformations homogènes sur le contour du VER considéré), sous la forme :

( ) = Σ _(1-63)

( ) = E _(1-64)

est la contrainte macroscopique est la déformation macroscopique Les valeurs moyennes pour le VER :

Σ = _{( )}¹ = 〈 〉 (1-65)

E = ¹ _{( )} = 〈 〉 (1-66)

L'étape suivante est de décrire les lois de localisation des contraintes et des déformations :

( ) = ( ): Σ (1-67)

( ) = ( ): (1-68)

avec ( ) et ( ) des fonctionnelles de localisation. Ainsi, les grandeurs macroscopiques sont reliées aux grandeurs locales. Les équations constitutives qui relient les grandeurs locales sont définies sous la forme :

( ) = ( ): ( ) (1-69)

( ) = ( ): ( ) (1-70)

( ) représente le tenseur des rigidités ( ) représente le tenseur des souplesses

Pour obtenir les tenseurs des rigidités et de souplesses effectives, les équations (1-67) et (1-70) sont introduites dans équation (1-66) (de même pour les équations (1-68), (1-69) et (1-65)) :

Σ = ¹ : : = : : = : (1-71)

E = ¹ : : Σ = : : Σ= : Σ (1-72)

avec r les phases, et fr leur fraction volumique. En suivant les étapes du calcul d’homogénéisation, et en passant ensuite par le calcul des bornes, l’estimation des constantes élastiques des matériaux composites est ensuite possible. Les bornes de Hill sont applicables aux matériaux biphasiques, en combinant l’approche du modèle en parallèle de Voigt avec le modèle en série de Reuss. Les hypothèses prises sont que la déformation est homogène en tout point et égale à la déformation moyenne. Il y en va de même pour les contraintes. Les bornes de Hashin et Shtrikman sont applicables de manière plus générale aux matériaux hétérogènes à n phases.

Plusieurs méthodes d’homogénéisation ont été développées. Le cadre général d’applicabilité, selon la morphologie du matériau à modéliser et de la précision requise mène vers l’utilisation de deux méthodes particulières dans le cas des matériaux cimentaires. Le schéma de Mori – Tanaka est applicable pour des matériaux avec une matrice bien définie, ayant des inclusions rigides discontinues, comme montré sur la Figure 1-86. Les équations pour calculer le module de compressibilité et de cisaillement sont ([SML06]):

= ∑ 1 + − 1 ∑ 1 + − 1 (1-73) = ∑ 1 + − 1 ∑ 1 + − 1 (1-74) = ₃ ³ _{+ 4 (1-75)} = ₁₅ ^{6 + 12} _{+ 20} (1-76)

avec les indices 0 et r qui représentent respectivement la matrice et les inclusions. Les termes et sont dérivés de la définition du tenseur d’Eshelby.

Figure 1-86 : Matériau avec inclusions discontinues [SML06]

Figure 1-87 : Matériau a structure interconnectée [SML06]

Le modèle auto cohérent est applicable aux milieux à structure désordonnée, comme cela est montré sur la Figure 1-87, et défini par des équations à solution implicite. Le milieu de référence est le milieu homogénéisé [BER03] :

= 1 + − 1 1 + − 1 (1-77) = 1 + − 1 1 + − 1 (1-78)

Les méthodes d’homogénéisation ont été appliquées par plusieurs chercheurs pour estimer l’évolution des propriétés élastiques des matériaux cimentaires. Les modèles numériques peuvent donner, pour chaque pas d’hydratation, les fractions volumiques des phases solides (anhydres et hydrates) et de la porosité. Pour pouvoir poursuivre aux calculs, la connaissance des propriétés élastiques de chaque phase est nécessaire. Avec le développement des techniques de nanoindentation, les propriétés élastiques des C-S-H et des phases minéralogiques principales du clinker ont été évaluées ([ACK01], [CST04], [VEL01]). Ainsi, en regroupant un modèle d’hydratation qui donne les proportions volumiques, auxquelles on associe les caractéristiques élastiques trouvées expérimentalement, toutes les données d’entrée nécessaires pour poursuivre les calculs par homogénéisation sont réunies.

Bernard et al. ([BER03]) proposent un modèle d’hydratation basé sur un jeu d’équations qui suivent l’avancement et la cinétique d’hydratation, et divisent le matériau en plusieurs échelles, comme illustré à la Figure 1-88. Pour chaque échelle, une méthode d’homogénéisation est appliquée, en fonction de la définition du VER.

À l’échelle de la pâte de ciment, la méthode auto-cohérente est appliquée, à cause des caractéristiques géométriques imposées par un matériau au cours de l’hydratation, ayant un fort caractère évolutif. Une délimitation claire entre la matrice et les inclusions est difficile à faire, surtout au voisinage du seuil de percolation. De plus le schéma auto-cohérent a dans sa définition, un seuil de percolation imposé à 50% de solides en volume. Bernard et al. ([BER03])

montrent que cela correspond à un mélange à rapport eau – ciment de 0.318, et que, pour de plus faibles valeurs de ce rapport, l’application du schéma auto-cohérent donne des prédictions inexactes à très jeune âge. Une décomposition similaire, en fonction de l’échelle du matériau est faite par [CST04] pour des pâtes de ciment, et [YAM02b] applique les méthodes d’homogénéisation à l’échelle du béton. En utilisant un modèle d’hydratation discret (Cemhyd3D), [SML06] utilise l'homogénéisation associée au concept de percolation implémenté dans le logiciel, pour pouvoir capturer le moment de connexion entre les phases solides.

Figure 1-88 : Décomposition selon l’échelle de la microstructure [BER03]

Il faut aussi préciser que le seuil de percolation du schéma autocohérent est tributaire de la morphologie des phases. Le schéma considère les particules comme étant sphériques, mais Sanahuja et coll. ([SAN07]) montrent qu'en utilisant des particules de forme elliptique ou des aiguilles (au niveau des C-S-H), la réponse du modèle est différente en termes de seuil de percolation et de l'évolution du module de Young.

77 PARTIE II

ÉTUDE EXPÉRIMENTALE

La deuxième partie présente les résultats expérimentaux obtenus, et sera structurée en deux sections principales. Une première section présente la méthodologie utilisée pour le développement des essais expérimentaux nécessaires à la validation du modèle. Chaque essai est décrit, suivant les lignes directrices qui nous ont amenés à choisir une procédure au détriment d’une autre. Une étude des facteurs influençant les essais, et les mesures prises pour enlever les artefacts expérimentaux, ainsi que les résultats issus de chaque essai, avec une analyse sur la validité des courbes, seront présentés. Dans une deuxième partie, une comparaison entre les divers résultats obtenus sera faite. Les essais seront compilés, de manière à estimer l’évolution du développement des propriétés des matériaux cimentaires au jeune âge. Une étude comparative avec les résultats les plus importants issus de la littérature clora la section.