Lois mathématiques

Féret [FER92] propose en 1892 une formule qui relie l'évolution de la résistance d'un mélange, avec sa formulation:

= _{+ +} (1-45)

avec Vc, Ve, Va les volumes de ciment initial, d'eau et d'air occlus. La formule prend ainsi en compte l'influence du rapport eau – ciment sur la résistance en compression, ainsi que celle de la teneur de l'air occlus au moment de gâchage. Le coefficient matériau Kg prend en compte la résistance du ciment, le type de granulats, etc.

Une des premières lois qui essayent de donner une estimation de la croissance des résistances en compression est donnée par Abrams en 1918 [ABR18]. L’observation des courbes expérimentales qui relient la résistance en compression à 28 jours, au rapport eau – ciment des bétons, mène à la relation :

fc = A×B-e/c (1-46)

avec A et B des paramètres matériau qui dépendent du type de ciment utilisé, de l’âge du matériau, des conditions de cure, etc. La loi souligne l’effet marquant du rapport eau – ciment sur les propriétés mécaniques des matériaux cimentaires, et par le biais des paramètres identifiés, elle prend en compte de manière empirique les autres facteurs d'influence.

Ce n’est que plus tard que l’apport de la composition du ciment est introduit de manière explicite dans les lois. À partir de l’hypothèse que le C3S se trouve en importante proportion dans les grains anhydres, à partir de 3 jours une relation linéaire entre la teneur en C3S et la résistance en compression est supposée ([WOD32], [WOD33], [BRE01]). À partir de 28 jours après le contact eau – ciment, une relation linéaire avec la teneur en C2S est trouvée. Popovics [POP92] donne une relation qui relie la résistance en compression à la quantité de C3S, et, par le biais de paramètres matériau, à la température, à la quantité de C3A, à la finesse du ciment, au rapport eau – ciment, etc.

= 100

= 100 ^{(1 −} ) + (100 − )(1 − )

(1 − ) + (100 − )(1 − ) ^(1-47) t est l'âge de l’éprouvette

C3S est la quantité de C3S calculée a1, a2 sont des paramètres matériau

Plusieurs autres lois qui relient la résistance en compression à la composition du ciment, à la température de cure ou à la porosité existent dans la littérature. Elles sont généralement basées sur le même principe d’identification de paramètres matériau à partir les courbes expérimentales [POP92].

Partant de l’idée que la résistance du matériau est réduite par la présence des pores dans la microstructure, [HAN66] propose une loi qui relie la résistance en compression à la porosité sous la forme :

= × (1 − 1.12 / ) (1-48)

avec f0 la résistance de la partie solide et P la porosité. D'autres relations qui expriment l’interdépendance porosité – résistance en compression, peuvent également être trouvées dans la littérature :

= × (1 − ) proposé par [BAL49] (1-49)

= × exp (− ) proposé par [RYS53] (1-50)

Les paramètres à déterminer dépendent du type de sollicitation, de la distribution des pores et de la forme des pores.

Le concept de "gel – space" ratio a été proposé par Powers et Brownyard [POW47]. Le "gel – space" ratio X représente le rapport entre le volume des produits d’hydratation et la somme des volumes des produits d’hydratation et de la porosité capillaire. À partir du modèle de Powers, X peut être exprimé en fonction du rapport eau – ciment et le degré d'hydratation α.

(∝) =

+ _é ⁼

0.68 ∝

La résistance en compression est reliée au concept de "gel – space ratio" par la relation :

= × (1-52)

avec f0 la résistance intrinsèque de la pâte. Le concept relie le gain en résistance à l'évolution de la microstructure.

De la même manière, le module de Young peut être relié à la porosité capillaire, avec une décroissance du module avec l'augmentation de la proportion des pores capillaires trouvés dans la microstructure, comme illustré sur la Figure 1-73.

Figure 1-73 : Relation module de Young – porosité capillaire (tiré de [GUI04])

Powers [POW60] exprime cette relation sous la forme:

= × (1 − ) (1-53)

avec E0 le module intrinsèque de la pâte, porosité non comprise.

Une relation similaire, mais qui prend en compte une porosité critique, pcr, pour laquelle le module de Young est nul, est proposée par [KAD73].

= (1-54)

La prise en compte de tous les facteurs qui interviennent pendant le durcissement des matériaux cimentaires dans une seule loi nécessite l’identification d’un nombre important de paramètres matériau. Ainsi, en partant de l’hypothèse que l’augmentation de la résistance en compression est proportionnelle à la quantité des hydrates formés, des expressions qui relient les propriétés mécaniques à l’évolution du degré d’hydratation sont développées. Le modèle iBMB (tiré de [KRA06]) propose la relation suivante :

0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 Porosité capillaire (%) M odu le d e Y oun g ( G P a) e/c = 0.25 e/c = 0.40 e/c = 0.50

= ∝ −∝ 1 −∝ ^(1-55) (∝) ∈ { , , } = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧¹₂ 1 3 2 Xi1 = propriété finale (α=1) α0 = fin de la période dormante

ni = paramètre de la propriété

Cependant, selon De Schutter et al. ([SHT96]), les valeurs des coefficients dépendent aussi du le type de ciment utilisé, comme cela est illustré dans le Tableau 1-6.

Tableau 1-6 : Coefficients matériau

nEct nfct nfc

CEM I 52.5 0.26 0.46 0.84

CEM III/B 32.5 0.62 0.88 1.40 CEM III/C 32.5 0.43 0.78 0.97

Des lois exponentielles qui relient les résistances mécaniques au temps équivalent existent, et une identification des paramètres matériau sera également nécessaire ([KRA06], [ATR03]):

( ) = 1 − ²⁸₋ (1-56) ( ) ∈ { , , } = ^é é 1 X28 = propriété à 28 jours te = temps équivalent t0 = prise mécanique ni, s = paramètres matériau

Les résultats expérimentaux montrent une relation linéaire entre la résistance en compression pour certains auteurs ([TAP59], [BYF80]), et une loi non – linéaire surtout pour des faibles degrés d’hydratation, pour d’autres ([LOC76]), comme illustré sur la Figure 1-74.

L'effet des températures différentes de cure n’est pas pris en compte par les modèles présentés. Comme montré par plusieurs chercheurs ([BYF80], [TOR92]), la relation résistance – degré d’hydratation dépend de la température du béton. La prise en compte des effets supplémentaires induits par les différences de température sur la cinétique d’hydratation et de gain en résistance est possible en utilisant le concept de maturité. La loi de maturité, énoncée par Saul ([SAU51] tiré de [ALO01]), affirme que : « Deux bétons de même composition ayant même valeur de maturité, auront même résistance quelle que soit l’histoire de températures ayant conduit à cette valeur de maturité ». Elle est exprimée par une loi qui se trouve sous la forme :

, ( ) = ( ) (1-57)

, ( ) ( )

( )

= maturité à l’instant t, pour une histoire de températures H(T) = constante cinétique pour la température T donnée

= température absolue à l’instant t

L’expression de la constante cinétique englobe la réponse à la sensibilité de la vitesse de la réaction du matériau à la température. Une loi d’Arrhenius, qui permet pour grand nombre de réactions chimiques de décrire la variation de la vitesse d'une réaction chimique en fonction de la température, est utilisée dans le cas des matériaux cimentaires ([REG80]):

( ) = ∙ exp − (1-58)

A = constante de proportionnalité [1/s] R = constante des gaz parfaits [J/mol K]

= énergie d’activation apparente [J/mol]

En exprimant le concept de temps équivalent, qui représente le temps nécessaire au matériau maintenu à une température de 20°C pour atteindre la même maturité qu’en conditions réelles de cure :

= − _{( ) −}^{1 1}

é (1-59)

et en imposant 2 histoires de température différentes, l’énergie d’activation peut être définie selon :

= − ₁

( ) − ¹( )

^{( )}

( ) ^(1-60)

avec le taux d’avancement de la réaction exprimée par une loi de type Arrhenius, qui dépend du degré d’avancement de la réaction, α.

Cela revient à générer deux courbes de résistance en compression du même matériau, qui a subi deux histoires de température différentes (Figure 1-75), les superposer, et déterminer l’énergie d’activation en exprimant les résistances en fonction du temps équivalent (Figure 1-76).

De la même manière, l'énergie d'activation peut être trouvée à partir des mesures calorimétriques.

1.7.2. Modèles numériques