Modèle simple

Le premier modèle considère un contrôleur et un mécanisme transparent (la com- mande par admittance est capable de rendre parfaitement la dynamique désirée). Une fonction de transfert notée imperfections est aussi ajoutée afin de représenter l’effet du filtrage, des imperfections de la commande et des petits délais.

2.3.1.1 Opérateur en boucle ouverte

Le premier modèle suppose que l’opérateur est en boucle ouverte avec le système, c’est-à-dire qu’il applique une force indépendamment du mouvement du robot. Le mo- dèle est montré à la figure 2.1 où s est la variable de Laplace, m est la masse virtuelle, c est l’amortissement virtuel, fH est la force d’interaction (c’est-à-dire la force appli- quée par l’opérateur), x est la position, x0 est un résultat intermédiaire et T est une constante.

fH 1 s_(ms+c) T s1₊₁ x Admittance Imperfections x′

Fig. 2.1 – Modèle simple considérant l’opérateur en boucle ouverte. La fonction de transfert est :

V (s) FH(s)

= 1/c

(m_cs + 1)(T s + 1) (2.1)

où V (s) est la transformée de Laplace de v, la vitesse (la dérivée temporelle de x) et FH est la transformée de Laplace de fH.

Pour une entrée donnée, la vitesse en régime permanent est plus faible pour un amortissement virtuel plus grand. Par ailleurs, la masse virtuelle a l’effet d’un filtre passe-bas : le bruit du capteur de force et les grandes variations de la force d’interaction sont ainsi filtrées. Cependant, si la masse est trop grande, la coopération n’est plus intuitive car une fois le mouvement commencé, il est difficile de l’arrêter. Ce modèle nous aide à comprendre grossièrement le comportement du système lorsque l’opérateur interagit de manière douce avec le système, sans être raide.

2.3.1.2 Opérateur en boucle fermée

Le second modèle suppose que l’opérateur est raide et agit donc comme un ressort Ceci simule en même temps l’effet d’un environnement général raide. Le modèle est montré à la figure 2.2 où m est la masse virtuelle, c est l’amortissement virtuel, fH est la force d’interaction (c’est-à-dire la force appliquée par l’opérateur), KH est la raideur de l’opérateur, xhd est la position désirée par l’opérateur (qui est réglée à zéro dans les simulations) et T est une constante.

PSfragrepla ements fH 1 s(ms+c) T s1+1 x KH Modèleopérateur Admittan e Imperfe tions + - xhd x′ 0 0.5 -0.5 1 -1 1.5 2 -2 3 -3 4 -4 2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.7 0.6 100 -100 200 -200 300 -300 400 -400 600 -600

Fig. 2.2 – Modèle simple considérant l’opérateur en boucle fermée. La fonction de transfert est :

V (s) FH(s) = s mT s3_{+ (cT + m)s}2_{+ cs + K} H . (2.2)

Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

L’analyse de stabilité est démontrée avec une analyse du déplacement des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée dans le domaine de Laplace et du critère de Routh-Hurwitz. En appliquant ce dernier critère à l’équation (2.2), la condition

c2T + cm − mT KH = m(c − T KH) + c2T > 0 (2.3) est obtenue afin que le système soit stable. Pour un amortissement, des imperfections et une raideur constante, trois cas sont possibles et déterminés en isolant la masse m lorsque l’équation (2.3) est égalée à zéro : (1) c − T KH = 0 (2) c − T KH > 0 et (3) c − T KH < 0. Pour les deux premiers cas, les pôles sont dans le plan gauche de Laplace pour n’importe quelle masse virtuelle. Dans le troisième cas, la masse virtuelle devrait être

m < c

2_T

T KH − c (2.4)

afin que le système soit stable. Par exemple, pour des valeurs réalistes de c = 20N s/m, T = 0,1, K = 550N/m, m < 1,14kg est obtenue. Pour le cas (2), obtenu à partir d’une bonne conception de l’amortissement virtuel, nous pouvons apprendre qu’une plus grande masse mène à un système plus sous-amorti, sans toutefois passer au demi- plan droit tel que montré à la figure 2.3. Le point de départ est représenté par un cercle et les paramètres varient en direction du carré. Il faut noter que les graphiques de pôles dans ce chapitre montrent l’évolution des pôles par rapport à un paramètre qui varie mais ne représentent toutefois pas le lieu des racines classique. L’évolution des pôles de ce système est très similaire à un vrai système masse-amortisseur-ressort. Il y a donc en quelque sorte une masse maximale au-dessus de laquelle il n’est pas intuitif de collaborer car une fois le système parti, il est difficile de l’arrêter. En pratique, ces oscillations sont à très faible fréquence et l’opérateur est capable de les contrôler. Lorsque la masse virtuelle augmente, la fréquence naturelle et le ratio d’amortissement diminuent de manière asymptotique puis se stabilisent, tel que montré à la figure 2.4. Pour une masse virtuelle faible, le système est plus amorti, mais à des fréquences plus élevées. Même si le ratio d’amortissement est alors plus grand, le résultat est pire étant donné que la fréquence des vibrations est grande, que ceci devient donc inconfortable et plus difficile à contrôler par l’opérateur et que ceci pourrait exciter des termes dynamiques non modélisés. De plus, une masse virtuelle plus élevée diminue l’impact du bruit du capteur de force.

83 Réel Imaginaire 0 0 0.1 -0.1 0.2 -0.2 0.3 -0.3 0.4 -0.4 0.5 -0.5 0.6 -0.6 0.7 -0.7 0.8 -0.8 0.9 -0.9 1.1 -1.1 1.2 -1.2 1.3 -1.3 1.4 -1.4 1.5 -1.5 1.6 -1.6 1.7 -1.7 1.8 -1.8 1.9 -1.9 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9 11 -11 12 -12 13 -13 14 -14 16 -16 17 -17 18 -18 19 -19 10 -10 15 -15 20 -20 25 -25 30 -30 35 -35 40 -40 45 -45 50 -50 55 -55 60 -60 65 -65 70 -70 75 -75 80 -80 85 -85 90 -90 95 -95 110 -110 115 -115 120 -120 125 -125 130 -130 135 -135 140 -140 145 -145 150 -150 155 -155 160 -160 165 -165 170 -170 175 -175 180 -180 185 -185 190 -190 195 -195 100 -100 150 -150 200 -200 250 -250 300 -300 350 -350 400 -400 450 -450 500 -500 550 -550 600 -600 650 -650 700 -700 750 -750 800 -800 850 -850 900 -900 950 -950 1000 -1000 2000 -2000 3000 -3000 4000 -4000 5000 -5000 6000 -6000 7000 -7000 8000 -8000 9000 -9000

Fig. 2.3 – Pôles pour le modèle simple considérant l’opérateur en boucle fermée pour le cas (2) avec une masse virtuelle variant entre 1kg (cercle) et 200kg (carré). c = 120, T = 0,1 et KH = 550. ωn (r a d / s) Masse virtuelle (kg) ζ 0₀ 0 0 0.5 1 5 10 50 50 100 100 150 150 200 200

Fig. 2.4 – Modèle simple considérant l’opérateur : fréquence naturelle et ratio d’amor- tissement pour le pôle sous-amorti vs masse virtuelle variant entre 1kg et 200kg. c = 120, T = 0,1 et KH = 550.

Certains pôles se retrouvent dans le demi-plan droit, sauf sous une masse virtuelle donnée. Dans cet exemple, la masse critique est de 1,14kg et la masse virtuelle devrait être plus faible que cette valeur pour que le pôle soit dans le demi-plan gauche, c’est- à-dire théoriquement stable. Duchaine et Gosselin (2008) utilisent cette région afin de déterminer en ligne la masse ou l’amortissement virtuel critique à appliquer afin d’être dans cette région stable. L’objectif est ainsi de rendre un contrôle stable dans le cas c − T KH < 0. Cependant, il est dit dans Linde (2003); Lammertse (2004) que la masse minimale pouvant être rendue par un système d’admittance est d’environ une fraction entre six et dix fois la masse réelle et ceci correspond aussi à notre expérience. Étant donné que la masse du système d’assistance est de 500kg, la règle du pouce tend à montrer que la masse critique minimale serait d’environ 50kg, bien plus que la valeur de 1.14kg trouvée précédemment. En pratique, il ne serait pas possible de rendre une masse aussi faible car le contrôleur ne serait pas capable de réagir suffisamment rapidement et que des termes d’ordre supérieurs non modélisés seraient excités. Même s’il serait possible de rendre une masse très faible avec un autre robot, ce ne serait pas faisable en pratique car les pôles obtenus dans le demi-plan gauche à la figure 2.5 correspondent à une fréquence très élevée et sous-amortie et des vibrations importantes seraient perçues en pratique. Bien qu’une zone stable existe en théorie pour le cas (3), celle-ci n’est pas utilisable car il ne serait pas possible d’atteindre cette zone et même si elle pouvait être atteinte, la réponse serait très sous-amortie et l’opérateur ressentirait des vibrations importantes.

Il est donc proposé ici de modifier la masse et l’amortissement virtuel afin de de- meurer dans le cas (2) avec une réponse douce car la coopération ne doit pas seulement être stable mais doit aussi être intuitive et libre de vibrations. Ce modèle nous a per- mis d’apprendre qu’il existe un amortissement virtuel en-dessous duquel le système est instable mais il n’a pas montré l’existence d’une masse minimale tel qu’obtenu dans les expérimentations et dans la littérature (Linde, 2003; Lammertse, 2004). Bien que ce modèle simple puisse être utilisé en tant que guide, il ne représente pas suffisamment bien la réalité. Un modèle détaillé est donc présenté dans la section suivante.

85 Réel Imaginaire 0 0 0.1 -0.1 0.2 -0.2 0.3 -0.3 0.4 -0.4 0.5 -0.5 0.6 -0.6 0.7 -0.7 0.8 -0.8 0.9 -0.9 1.1 -1.1 1.2 -1.2 1.3 -1.3 1.4 -1.4 1.5 -1.5 1.6 -1.6 1.7 -1.7 1.8 -1.8 1.9 -1.9 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 5 -5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9 11 -11 12 -12 13 -13 14 -14 16 -16 17 -17 18 -18 19 -19 10 -10 -10 15 -15 -15 20 -20 25 -25 30 -30 35 -35 40 -40 45 -45 50 -50 55 -55 60 -60 65 -65 70 -70 75 -75 80 -80 85 -85 90 -90 95 -95 110 -110 115 -115 120 -120 125 -125 130 -130 135 -135 140 -140 145 -145 150 -150 155 -155 160 -160 165 -165 170 -170 175 -175 180 -180 185 -185 190 -190 195 -195 100 -100 150 -150 200 -200 250 -250 300 -300 350 -350 400 -400 450 -450 500 -500 550 -550 600 -600 650 -650 700 -700 750 -750 800 -800 850 -850 900 -900 950 -950 1000 -1000 2000 -2000 3000 -3000 4000 -4000 5000 -5000 6000 -6000 7000 -7000 8000 -8000 9000 -9000

Fig. 2.5 – Pôles pour le modèle simple considérant l’opérateur en boucle fermée pour le cas (2) avec une masse virtuelle variant entre 1kg (cercle) et 200kg (carré). c = 20, T = 0.1 et KH = 550.