Considération des saturations

Pour des raisons de sécurité, la vitesse et l’accélération devraient être limitées tel que montré à la figure 1.1. Cependant, ceci peut mener à des profils d’accélération et de secousses abrupts ce qui n’est pas désirable car il en résulterait de rudes variations de la commande et un comportement contre-intuitif pour l’opérateur. Le problème est encore plus important avec une commande par couple pré-calculé car la commande dépend directement de la vitesse et de l’accélération désirée.

1.5.4.1 Limite en vitesse

Si une saturation en vitesse simple était utilisée, tel que représenté à l’équation (1.62), l’accélération, une fois rendu à la saturation, passerait d’une valeur donnée à zéro en un pas de temps, menant à un profil d’accélération et de secousse brusque.

vout = vmax si vin > vmax (1.62)

vout = −vmax si vin < −vmax

vout = vin si − vmax< vin< vmax

où vin est la vitesse d’entrée, vout la vitesse de sortie et vmax la vitesse de saturation.

La vitesse désirée pourrait être filtrée, adoucissant le profil d’accélération, mais aux dépens d’un délai. Même en limitant la valeur de l’accélération désirée, le profil d’accélération et de secousse demeureraient tout de même abrupts. Il est donc proposé de limiter graduellement la vitesse désirée lorsque celle-ci s’approche de la limite de saturation. Ceci est fait ici avec un polynôme d’ordre trois ou cinq tel que montré à la figure 1.15. Pour le polynôme d’ordre trois, la vitesse de sortie est égale à la vitesse d’entrée pour des vitesses sous (vmax− δ/

√

alors qu’elle est égalée à vmax lorsque la vitesse est supérieure à (vmax+ δ). Entre ces deux vitesses, le polynôme d’ordre trois est obtenu en égalant la vitesse de sortie à la vitesse d’entrée pour des vitesses d’entrée de (vmax − δ/

√

2) et (vmax + δ) et pour ces mêmes vitesses d’entrée, la dérivée première est respectivement réglée à 1 et 0. L’équation est donnée tel que :

vsout= savsin3 + sbvsin2 + scvsin+ sd (1.63) où vsin est la vitesse d’entrée et vsout est la vitesse de sortie et

sa = −α + 2γ − β (α − β)(−2βα + β2_{+ α}2₎ (1.64) sb = −(−2α2 _{+ 3αγ − 2βα + 3γβ − 2β}2₎ (α − β)(−2βα + β2 _{+ α}2₎ sc = β(−4α2 _{+ 6αγ − βα − β}2₎ (α − β)(−2βα + β2 _{+ α}2₎ sd = α2_(2β2_{+ αγ − 3γβ)} (α − β)(−2βα + β2_{+ α}2₎

où α = γ −δ/q(2) et β = γ +δ. Pour le polynôme d’ordre cinq, la dérivée seconde est aussi réglée à zéro pour les mêmes entrées de vitesse. La figure 1.16 présente la vitesse désirée, l’accélération et la secousse en réponse à une force d’entrée de l’opérateur en forme de sinus et seuls les résultats du polynôme d’ordre trois sont montrés par simplicité. Il est montré que l’accélération désirée est plus douce avec le polynôme d’ordre trois (secousse d’environ 40) qu’avec la saturation classique (secousse d’environ 270). La douceur de la transition peut être variée avec le paramètre δ. Dans cet exemple, la limite en vitesse est de 0,7 m/s alors que δ a été réglé à 0,23. En pratique, la vitesse en sortie n’atteindra pas facilement la limite de saturation, tel que montré à la figure 1.16, car la saturation proposée produit un effet similaire à de l’amortissement.

1.5.4.2 Limite d’accélération

Une situation commune où l’accélération peut varier abruptement (autre qu’une force d’entrée variant rapidement) survient lorsque l’accélération maximale n’est pas la même que la décélération maximale. L’existence de ce problème provient d’une consi- dération de sécurité selon laquelle il ne doit pas être possible d’augmenter la vitesse très rapidement alors qu’il est souhaitable de pouvoir arrêter rapidement. Lorsque le système passe d’une phase de décélération à une phase d’accélération, l’accélération

57 Polynomialeordre 3 Classique Polynomialeordre5 Vitessed'entrée (m/s) Velo ity2 Vitesse de sortie (m/s) 0 0 0.5 1 1.5 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.7 0.6

Fig. 1.15 – Saturation en vitesse théorique.

désirée varie abruptement de la valeur maximale de décélération à la valeur maximale d’accélération. Il serait possible d’utiliser un filtre aux dépens d’un délai, ce qui n’est pas souhaitable.

Comme dans le cas de la saturation en vitesse, il est souhaité de limiter l’accéléra- tion désirée de manière graduelle. Pour se faire, il est proposé d’utiliser une fonction exponentielle utilisant la vitesse désirée comme paramètre. En effet, la transition entre les deux accélérations limites se produit à une vitesse nulle et l’accélération est donc graduellement variée en fonction de la vitesse désirée. La transition de l’accélération est donc représentée par :

am = ¨ x+ m+ ¨x − m 2 sign(¨xd) − −¨x+ m+ ¨x − m 2 sign( ˙xd)  1 − e−|γax˙d| _(1.65)

où γaest un paramètre de douceur, amest la limite maximale d’accélération/décélération effective, ¨x+

m est l’accélération maximale et ¨x −

m est la décélération maximale. Le para- mètre γa devrait être assez élevé afin d’obtenir assez de douceur mais pas trop car il affecte aussi l’accélération maximale lorsque la vitesse est près de zéro.

La figure 1.17 présente les résultats en réponse à une force d’entrée de l’opérateur en forme de sinus. Il y est montré que la transition est plus douce lorsque la saturation de l’accélération est variée graduellement. En effet, une secousse d’environ 500m/s3

est obtenue avec une saturation de base alors qu’elle n’est que de 30m/s3 _{lorsque la}

saturation graduelle de l’équation (1.65) est utilisée (lorsque γa est réglé à 40). Une limite sur la secousse pourrait aussi être utilisée mais est plus difficile à mettre en oeuvre en pratique en raison du bruit de mesure.

PSfragrepla ements Pasde saturation Saturation lassique Polynomialeordre3 Temps(s) Se ousse ( m / s 3 ) A élération ( m / s 2 ) Vitesse ( m / s ) 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 1 1 1 1 1 -1 1.5 1.5 1.5 2 2 2 2 -2 2.5 2.5 2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.7 0.6 100 -100 200 -200 300 -300

Fig. 1.16 – Vitesse, accélération et secousse désirées avec une saturation en vitesse en réponse à une force d’entrée de l’opérateur en forme de sinus.

PSfrag repla ements Pas desaturation Saturation lassique Graduelle exponentielle Temps (s) Se ousse ( m / s 3 ) A élération ( m / s 2 ) Vitesse ( m / s ) 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 1 1 1 1 -1 1.5 1.5 1.5 2 2 2 2 2 -2 -2 3 3 3 -3 4 -4 2.5 2.5 2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.7 0.6 100 -100 200 -200 300 -300 400 -400 600 -600

Fig. 1.17 – Vitesse, accélération et secousse désirées avec et sans limite graduelle de l’accélération.

1.5.4.3 Limite virtuelle

Une manière assez simple de mettre en oeuvre une limite virtuelle est de commander une vitesse désirée nulle si la position est plus grande qu’une limite donnée et que la vitesse est dans la direction de cette limite. Afin d’éviter que la limite virtuelle ne requière une accélération infinie ou très grande, une limite d’accélération pourrait être mise en oeuvre, quoi que ceci mènerait quand même à des profils d’accélération et de secousse abrupts. Une autre solution pourrait être de régler la force à zéro, tout en utilisant une limite de descente sur la force, et de choisir des paramètres d’admittance adéquats. Ces paramètres d’admittance peuvent aussi varier en fonction de la position du système et un terme de raideur peut aussi être ajouté.